高中数学选择性必修三第八章 81 成对数据的统计相关性.docx

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高中数学选择性必修三第八章81成对数据的统计相关性

§8.1　成对数据的统计相关性

学习目标

　1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义.2.了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.3.结合实例，会通过样本相关系数比较多组成对样本数据的相关性．

知识点一　相关关系

1．相关关系的定义：

两个变量有关系，但没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．

思考　相关关系是函数关系吗？

答案　不是．函数关系是唯一确定的关系．

2．相关关系的分类

（1）按变量间的增减性分为正相关和负相关．

①正相关：

当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势；

②负相关：

当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势．

（2）按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关（曲线相关）．

①线性相关：

如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关；

②非线性相关或曲线相关：

如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，我们称这两个变量非线性相关或曲线相关．

知识点二　相关关系的刻画

1．散点图：

为了直观描述成对样本数据的变化特征，把每对成对样本数据都用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图．

2．样本相关系数

（1）我们常用样本相关系数r来确切地反映成对样本数据（xi，yi）的相关程度，其中r＝

.

（2）样本相关系数r的取值范围为[－1,1]．

①若r>0时，成对样本数据正相关；

②若r<0时，成对样本数据负相关；

③当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；

④当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．

1．函数关系是一种确定关系，而相关关系是一种不确定关系．（　√　）

2．样本相关系数r越大，两变量的相关性越强．（　×　）

3．散点图可以直观地分析出两个变量是否具有相关性．（　√　）

4．若变量x，y满足函数关系，则这两个变量线性相关．（　×　）

一、变量间相关关系的判断

例1　

（1）（多选）下列关系中，属于相关关系的是（　　）

A．正方形的边长与面积之间的关系

B．农作物的产量与施肥量之间的关系

C．出租车费与行驶的里程

D．降雪量与交通事故的发生率之间的关系

答案　BD

解析　A中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；B中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；C为确定的函数关系；D中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．

（2）某种产品的广告支出费x与销售额y之间有如下对应数据（单位：

百万元）：

x

2

4

5

6

8

y

30

40

60

50

70

①画出散点图；

②从散点图中判断销售金额与广告支出费成什么样的关系？

解　①以x对应的数据为横坐标，y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如图所示．

②从图中可以发现广告支出费与销售金额之间具有相关关系，并且当广告支出费由小变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即x与y成正相关关系．

反思感悟　两个变量是否相关的两种判断方法

（1）根据实际经验：

借助积累的经验进行分析判断．

（2）利用散点图：

通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．

跟踪训练1　（多选）在下列所示的四个图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（　　）

答案　BC

解析　图A的两个变量具有函数关系；图BC的两个变量具有相关关系；图D的两个变量之间既不是函数关系，也不是相关关系．

二、样本相关系数的性质

例2　

（1）甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得样本相关系数r如下表：

甲

乙

丙

丁

r

0.82

0.78

0.69

0.85

则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性（　　）

A．甲B．乙C．丙D．丁

答案　D

解析　|r|越接近1，相关性越强，故选D.

（2）在一组成对样本数据为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若这组成对样本数据的样本相关系数为－1，则所有的样本点（xi，yi）（i＝1,2，…，n）满足的方程可以是（　　）

A．y＝－

x＋1B．y＝x－1

C．y＝x＋1D．y＝－x2

答案　A

解析　∵这组成对样本数据的样本相关系数为－1，

∴这一组成对样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）线性相关，且是负相关．

∴可排除B，C，D，故选A.

反思感悟　样本相关系数的性质

（1）r的绝对值越接近0，相关性越弱．

（2）r的绝对值越接近1，相关性越强．

跟踪训练2　

（1）对变量x，y有成对样本数据（xi，yi）（i＝1,2，…，10），得散点图图1；对变量u，v有成对样本数据（ui，vi）（i＝1,2，…，10），得散点图图2.由这两个散点图可以判断（　　）

A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关

C．变量x与y负相关，u与v正相关

D．变量x与y负相关，u与v负相关

答案　C

解析　由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关．

（2）（多选）对两个变量的样本相关系数r，下列说法正确的是（　　）

A．|r|越大，相关程度越大

B．|r|越小，相关程度越大

C．|r|趋近于0时，没有线性相关关系

D．|r|越接近1时，线性相关程度越强

答案　AD

解析　对于A，|r|越大，相关程度越大，A正确；对于B，|r|越小，相关程度越小，B错误；对于C，|r|趋近于0时，线性相关关系越弱，C错误；对于D，|r|越接近1时，线性相关程度越强，D正确．综上，正确的是AD.

三、样本相关系数的计算及应用

例3　某厂的生产原料耗费x（单位：

百万元）与销售额y（单位：

百万元）之间有如下的对应关系：

x

2

4

6

8

y

30

40

50

70

（1）画出（x，y）的散点图；

（2）计算x与y之间的样本相关系数，并刻画它们的相关程度．

解　

（1）画出（x，y）的散点图如图所示．

（2）

＝5，

＝47.5，

＝120，

＝9900，

iyi＝1080，

故样本相关系数r＝

＝

≈0.9827.

由样本相关系数r≈0.9827，可以推断生产原料耗费与销售额这两个变量正线性相关，且相关程度很高．

反思感悟　线性相关强弱的判断方法

（1）散点图：

散点图只是粗略作出判断，其图象越接近直线，相关性越强．

（2）样本相关系数：

样本相关系数能够较准确的判断相关的程度，其绝对值越大，相关性越强．

跟踪训练3　假设关于某种设备的使用年限x（单位：

年）与所支出的维修费用y（单位：

万元）有如下统计资料：

x

2

3

4

5

6

y

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

计算y与x之间的样本相关系数（精确到0.001，已知

＝90，

≈140.8，

iyi＝112.3，

≈8.9，

≈1.4）．

解　∵

＝

＝4，

＝

＝5.

iyi－5

＝112.3－5×4×5＝12.3，

－5

2＝90－5×42＝10，

－5

2＝140.8－125＝15.8，

∴r＝

＝

＝

＝

≈

≈0.987.

1．（多选）下列命题正确的是（　　）

A．任意两个变量都具有相关关系

B．圆的周长与该圆的直径具有相关关系

C．某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系

D．当两个变量相关且样本相关系数r>0时，表明两个变量正相关

答案　CD

解析　A显然不对，B是函数关系，CD正确．

2．若变量y与x之间的样本相关系数r＝－0.9832，则变量y与x之间（　　）

A．不具有线性相关关系

B．具有线性相关关系

C．它们的线性相关关系还需要进一步确定

D．不确定

答案　B

解析　变量y与x之间的样本相关系数r＝－0.9832，|r|＝0.9832接近1，样本相关系数的绝对值越大，相关性越强，∴变量y与x之间有较强的线性相关关系，故选B.

3．两个变量x，y的样本相关系数r1＝0.7859，两个变量u，v的样本相关系数r2＝－0.9568，则下列判断正确的是（　　）

A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强

B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强

C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强

D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强

答案　C

解析　由样本相关系数r1＝0.7859>0知x与y正相关，由样本相关系数r2＝－0.9568<0知u，v负相关，又|r1|<|r2|，∴变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强．故选C.

4．据两个变量x，y之间的成对样本数据画出散点图如图，这两个变量是否具有线性相关关系________．（填“是”或“否”）

答案　否

解析　图中的点分布杂乱，两个变量不具有线性相关关系．

5．部门所属的10个工业企业生产性固定资产价值与工业增加值资料如下表（单位：

百万元）：

固定资产价值

3

3

5

6

6

7

8

9

9

10

工业增加值

15

17

25

28

30

36

37

42

40

45

根据上表资料计算的样本相关系数约为________．

答案　0.9918

解析　

＝

＝6.6，

＝

＝31.5.

∴r＝

≈0.9918.

1．知识清单：

（1）相关关系．

（2）散点图．

（3）正相关、负相关、线性相关、非线性相关．

（4）样本相关系数．

2．方法归纳：

数形结合．

3．常见误区：

相关关系与函数关系不分，样本相关系数绝对值的大小与相关程度的关系．

1．若“名师出高徒”成立，则名师与高徒之间存在什么关系（　　）

A．相关关系B．函数关系

C．无任何关系D．不能确定

答案　A

2．（多选）给出下列关系，其中有相关关系的是（　　）

A．人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系

B．曲线上的点与该点的坐标之间的关系

C．苹果的产量与气候之间的关系

D．森林中的同一种树木，其截面直径与高度之间的关系

答案　ACD

3．两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是（　　）

A．①②③B．②③①C．②①③D．①③②

答案　D

解析　对于

（1），图中的点成带状分布，且从左到右上升，是①正相关关系；对于

（2），图中的点没有明显的带状分布，是③不相关；对于（3），图中的点成带状分布，且从左到右是下降的，是②负相关关系．故选D.

4．（多选）某校地理学兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．沸点与海拔高度呈正相关

B．沸点与气压呈正相关

C．沸点与海拔高度呈负相关

D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强

答案　BCD

解析　由左图知气压随海拔高度的增加而减小，由右图知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关，由于两个散点图中的点都成线性分布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故B，C，D正确，A错误．

5．变量X与Y相对应的一组成对样本数据为（10,1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4），（13,5），变量U与V相对应的一组成对样本数据为（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1）．r1表示变量Y与X之间的样本相关系数，r2表示变量V与U之间的样本相关系数，则（　　）

A．r2

C．r2<0

答案　C

解析　由已知中的数据可知：

第一组成对样本数据正相关，则样本相关系数大于零，第二组成对样本数据负相关，则样本相关系数小于零，故选C.

6．如图所示的两个变量不具有相关关系的有________．（填序号）

答案　①④

解析　①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系．

7．给出下列x，y值的数据如下：

x

1

2

4

8

y

3

5

9

17

则根据数据可以判断x和y的关系是________．（填“确定关系”“相关关系”或“没有关系”）

答案　确定关系

解析　由表中数据可以得到x，y之间是一种函数关系：

y＝2x＋1，所以x，y是一种确定的关系，即函数关系．

8．对某高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：

分）进行统计得到如图所示的散点图．下面关于这位同学的数学成绩的分析中，正确的序号有________．

①该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高；

②该同学在这连续九次测试中的最高分与最低分的差超过40分；

③该同学的数学成绩与测试序号具有线性相关性，且为正相关．

答案　①②③

解析　散点图从左向右看呈上升趋势，所以该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高，①正确；该同学在这连续九次测试中的最高分大于130分，最低分小于90分，极差超过40分，②正确；该同学的数学成绩与测试序号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确．

9．某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示：

年龄x（岁）

1

2

3

4

5

6

身高y（cm）

78

87

98

108

115

120

（1）画出散点图；

（2）判断y与x是否具有线性相关关系，如果相关，是正相关还是负相关．

解　

（1）散点图如图所示．

（2）由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x具有线性相关关系，且是正相关关系．

10．关于两个变量x和y的7组数据如下表所示：

x

21

23

25

27

29

32

35

y

7

11

21

24

66

115

325

求变量y与x的样本相关系数，并判断变量y与x之间是正相关还是负相关．

解　

＝

（21＋23＋25＋27＋29＋32＋35）≈27.4，

＝

（7＋11＋21＋24＋66＋115＋325）≈81.3，

＝212＋232＋252＋272＋292＋322＋352＝5414，

iyi＝21×7＋23×11＋25×21＋27×24＋29×66＋32×115＋35×325＝18542，

＝72＋112＋212＋242＋662＋1152＋3252＝124393，

∴r＝

＝

≈

≈0.8375.

∵r>0，∴变量y与x之间是正相关关系．

11．两个变量y与x的模型中，分别选择了4个不同模型，它们的样本相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（　　）

模型

模型1

模型2

模型3

模型4

样本相关系数r

0.98

0.80

0.50

0.25

A.模型1B．模型2C．模型3D．模型4

答案　A

12．某统计部门对四组成对样本数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于样本相关系数的比较，其中正确的是（　　）

A．r4

C．r2

答案　C

解析　根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条直线附近，说明相关性越强，由题中数据可知：

（1）（3）为正相关，

（2）（4）为负相关，故r1>0，r3>0，r2<0，r4<0，又

（1）与

（2）中散点图更接近于一条直线，故r1>r3，r2

13．如图所示，有5组（x，y）数据，去掉哪一组数据之后，剩下的4组数据成线性相关关系（　　）

A．EB．DC．BD．A

答案　B

解析　去掉D组数据之后，剩下的4组数据成线性相关关系．

14．高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看：

（1）在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________；

（2）在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________．

答案　

（1）乙　

（2）数学

解析　

（1）在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；

（2）由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知，两个图中，同一个人的总成绩是不会变的．第二个图看，丙是从右往左数第5个点，即丙的总成绩在班里倒数第5.在左边的图中，找到倒数第5个点，它表示的就是丙，发现这个点的位置比右边图中丙的位置高，所以语文名次更“大”，即数学的成绩更靠前．

15．某商家今年上半年各月的人均销售额（单位：

千元）与利润率统计表如下：

月份

1

2

3

4

5

6

人均销售额

6

5

8

3

4

7

利润率（%）

12.6

10.4

18.5

3.0

8.1

16.3

根据表中数据，下列说法正确的是（　　）

A．利润率与人均销售额成正比例函数关系

B．利润率与人均销售额成反比例函数关系

C．利润率与人均销售额成正相关关系

D．利润率与人均销售额成负相关关系

答案　C

解析　根据题意，画出利润率与人均销售额的散点图，如图所示．

由散点图可知，利润率与人均销售额成正相关关系．故选C.

16．现随机抽取了我校10名学生在入学考试中的数学成绩（x）与入学后的第一次考试数学成绩（y），数据如下表：

学生号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

120

108

117

104

103

110

104

105

99

108

y

84

64

84

68

69

68

69

46

57

71

计算这10个学生的两次数学考试成绩的样本相关系数r，并判断两者是否具有线性相关关系．

解　

＝

×（120＋108＋…＋99＋108）＝107.8，

＝

×（84＋64＋…＋57＋71）＝68，

＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116584，

＝842＋642＋…＋572＋712＝47384，

iyi＝120×84＋108×64＋…＋108×71＝73796，

∴样本相关系数为

r＝

≈0.7506，

∴这10个学生的两次数学考试成绩具有线性相关关系．