中考数学二次函数经典压轴题及详细答案.docx

中考数学二次函数经典压轴题及详细答案.docx

《中考数学二次函数经典压轴题及详细答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二次函数经典压轴题及详细答案.docx（30页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

中考数学二次函数经典压轴题及详细答案

-X二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1.已知二次函数y=α√-2αχ+3的最大值为4,且该抛物线与A轴的交点为C,顶点为

D∙

（1）求该二次函数的解析式及点C,D的坐标:

（2）点P（ΛO）是X轴上的动点，

1求IPC-PDl的最大值及对应的点P的坐标：

2设0（0,2/）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a∖x∖1-2a∖x∖+3的图像只有一个公共点，求f的取值范围.

【答案】（i）y=-χ2+2x+3,C点坐标为（0,3）,顶点D的坐标为（1,4）；

（2）①最

_37

大值是J∑,P的坐标为（一3,0）,②,的取值范围为U_3或才Qv3或心?

・

22

【解析】

【分析】

（1）先利用对称轴公式X=

孕=1,计算对称轴，即顶点坐标为（1,4）,再将两点代2a

入列二元一次方程组求出解析式：

（2）根据三角形的三边关系：

可知P、C、D三点共线时IPC-PDl取得最大值，求出直线CD与X轴的交点坐标，就是此时点P的坐标；

（3）先把函数中的绝对值化去，可知y=<

—χ-+2λ"+3,Xn0,

,此函数是两个二次函数

—XJ—2x+3,X<0.

的一部分，分三种情况进行计算：

①当线段PQ过点（0,3）,即点Q与点C重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ过点（3,0）,即点P与点（3,0）重合时，两函数有两个公共点，写出t的取值：

②线段PQ与当函数y=a∣x∣2-2a∣×∣+c（x>0）时有一个公共点时，求t的值：

③当线段PQ过点（-3,0）,即点P与点（-3,0）重合时，线段PQ与当函数y=a∣x∣2-2a∣x∣+c（×<0）时也有一个公共点,则当t冬3时,都满足条件;综合以上结论，得出t的取值.

【详解】

—2a

（I）VX=・•・y=ax'-ax+3的对称轴为X=1・

Ty=ax2-ax+3人最大值为4,

•••抛物线过点（1,4）.

得a-2a+3=4,解得a=-l.

•••该二次函数的解析式为y=—X?

+2x+3.

C点坐标为（0,3）,顶点D的坐标为（1,4）.

（2）①.∙IPC-PDI≤CD,

.∙.当P,C,D三点在一条直线上时，IPC—PD|取得最大值.

连接DC并延长交y轴于点P,IPC-PDI=CD=λ^l2+（4-3）2=√2•

∙,∙∣PC-PD∣的最大值是•

易得直线CD的方程为y=χ+3.

把P（t,0）代入，得t=-3.

此时对应的点P的坐标为（-3,0）.

r

©y=alxl2-2a|x|+3的解析式可化为y=]^x,+?

A+处≥。

，

—X~—2x+3,XV0.

设线段PQ所在直线的方程为y=kx+b,将P（t,O）,Q（0,2t）的坐标代入，可得线段

PQ所在直线的方程为y=-2x+2t・

（1）当线段PQ过点（-3,0）,即点P与点（—3,0）重合时,线段PQ与函数

—X厶+2x+3,Λ,≥0,

y=,的图像只有一个公共点，此时t=-3・

—X"—2x+3,JVV0.

广.

・・・当t≤-3∣⅛,线段PQ与函数y={-x,+2x+3,Λ'0,的图像只有一个公共点.

—X~—2λ,+3,X<0.

（2）当线段PQ过点（0、3）,即点Q与点C重合时，线段PQ与函数

■■）

y=-x,+2x+3,x≥O,的图像只有—个公共点此时t=γ

—X—2x+3,X<0.2

当线段PQ过点（3,0）,即点P与点（3,0）重合时，t=3,此时线段PQ与函数

y=<[-x^+"+H≥°，的图像有两个公共点.

—x~—2x+3,XV0.

37

综上所述，t的取值范围为t≤-3或-≤t<3或t=L

22

【点睛】

本题考查了二次函数的综合应用，先利用待左系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起：

同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解.

2.如图，抛物线y=a×2+bx+3（α≠0）的对称轴为直线X=-1,抛物线交X轴于4、C两点，与直线y=X-I交于人、B两点，直线&3与抛物线的对称轴交于点F.

（1）求抛物线的解析式.

（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若AABP的而积最大，求此时点P的坐标.

（3）在平而直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标.

【答案】（l）y=-χ2-2x+3：

（2）点P（-£,£）;⑶符合条件的点D的坐标为Dl（0,3）,

24

D2（-6,-3）,D3（-2,-7）.

【解析】

【分析】

（1）令y=0,求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是X=-I,求出点C的坐标，再根据待泄系数法求出抛物线的解析式即可；

（2）设点P（m,-m2-2m+3）,利用抛物线与直线相交，求岀点B的坐标，过点P作PFlly轴交直线AB卜点F,利用SAABP=SAPBF+Sama,用含m的式子表ZF出△ABP的而枳，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；

⑶求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到直线DID2、直线D1D3.直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标.

【详解】

解：

⑴令y=0,可得：

X-1=0,解得：

x=l,

.∙.点A（l,0）,

V抛物线y=aχ2+bx+3（aH0啲对称轴为直线X=-1,

.∙.-1×2-1=-3,即点C（-3,0）,

・•・抛物线的解析式为:

y=-X2-2x+3;

（2）∙.∙点P在直线AB上方的抛物线上运动,

.β.设点P（m,-m2-2m+3）t

•・・抛物线与直线y=x・1交于A、B两点，

二点B（■4,-5）,

如图，过点P作PFIly轴交直线AB于点F,则点F（m,m-1）>.∙.PF=・m2-2m+3-m+l=-m2・3m+4,

「•SaABP=SAPBF÷SδPFA

~-m2-3m+4）（m+4）+-（-m2-3m+4）（l-m）

53125

——（rπ+—）+»

228

⑶当X=-I时,y=・1・1=・2,

•••点、E（-l,-2）,

如图，直线BC的解析式为y=5x+15,直线BE的解析式为y=X・1,直线CE的解析式为y

=-X・3,

∙.∙以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，

.∙.直线D1D3的解析式为y=5x+3,直线D1D2的解析式为y=x+3,直线D2D3的解析式为y=∖=5x+3

联立

〔y=x+3

同理可得D2（-6,-3）,D3（-2,-7）,

综上所述，符合条件的点D的坐标为6（0,3）,D2（-6,-3）,D3（-2,-7）.

y

本题考查二次函数的综合应用，解决第

（2）小题中三角形而积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键：

对于第（3）小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解.

3.已知，m,门是一元二次方程x2+4x+3=O的两个实数根，且ImlVin抛物线尸*+bχ+c的图象经过点A（∏7,O）,B（0,n）,如图所示.

（1）求这个抛物线的解析式：

（2）设

（1）中的抛物线与X轴的另一个交点为抛物线的顶点为D,求出点C,D的坐标，并判断△BCD的形状；

（3）点P是直线Be上的一个动点（点P不与点3和点C重合），过点P作X轴的垂线，交抛物线于点M,点Q在直线8C上，距离点P为J∑个单位长度，设点P的横坐标为r,ΔPMQ的面积为S,求岀S与r之间的函数关系式.

备用图

【答案】

（1）），=十一2兀一3：

（2）C（3,0）,D（1,-4）,ΔBCD是直角三角形;

]3

—√+2-r（0

（3）

22

13_『2_二/（『<（）或/>3）

122

【解析】

试题分析：

（2）先解一元二次方程，然后用待泄系数法求出抛物线解析式；

（2）先解方程求出抛物线与X轴的交点，再判断出ABOC和ABED都是等腰直角三角形,从而得到结论：

（3）先求出QF=I,再分两种情况，当点P在点M上方和下方，分别计算即可.

试题解析：

解（I）••・X+4x+3=0,・••召=一1,欠2=一3,Vm,n是一元二次方程

χ+4x+3=0的两个实数根，且∣m∣<∣n∣,Λm=-1,n=-3,T抛物线y=F-2x-3

1—Z?

+C=Ob=—2

的图彖经过点A（m,0）,B（0,n）,.∙∙{O,••・{c，・•・抛物线解析式为C=_3c=_3

y=x2-2x-3；

（2）令y=0,则χ2-2χ-3=0,・•・片=一1，召=3,.∙.C（3,0）,

∙.∙y=F-2x-3=（兀一1）2-4,.•.顶点坐标D（1,-4）,过点D作DE丄y轴，

β.∙OB=OC=3,/.BE=DE=I,.β.δBOC和△BED都是等腰直角三角形,.β.ZOBC=ZDBE=45∖

・•・ZCBD=90%A△BCD是直角三角形：

（3）如图，■/B（0,-3）,C（3,O）,A直线BC解析式为y=χ-3,T点P的横坐标为

t,PM丄X轴，.∙.点M的横坐标为t,•••点P在直线BC上，点M在抛物线上，.∙.P（t,t-

3）,M（t,尸一力一3）,过点Q作QF丄PM,.∙.△PQF是等腰直角三角形，

TPQ=√Σ，・∙∙QF=1・

①当点P在点M上方时，即0VtV3时，PM=t-3-（t2-2t-3）=-r+3/«

1]]=3

/.S=-PMxQF=-（-t2+3t）=--t2+-t,②如图3,当点P在点M下方时,即tVO或t

2222

Il13

>3时，PM=?

-2r-3-（t-3）=r2-3r»As=-pm×qf=-（r-3t）=-r--r.

J22'22

4・已知关于X的一元二次方程X2・（2∕c÷l）X^=O有两个实数根.

（1）求k的取值范围：

111

⑵设“沁方程两根，且亍厂□,求k的值.

【解析】

【分析】

（1）根据方程有两个实数根可以得到AR,从而求得k的取值范围：

（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k的值即可.

【详解】

解：

（1）△=（2∕c+l）2-4∕c2=4∕c2+4∕c+1-4∕c2=4∕c+l

T△≥0

/.4∕c+l≥0.,.∕c≥■—:

4

⑵∙.∙X1,X2是方程两根,

/.X1+X2=2∕c+1

Xl×2=k29

11I

又••—+—=

・Xlx2k_1

X1+x2_1

k_r

1

9k+∖

解得：

kl=

-ι+Gk_

2・2

又∙.∙q∖

【点睛】

本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判別式等知识，牢记"两根之和等于-匕，两根之积等于E〃是解题的关键.

aa

5・在平而直角坐标系中，我们泄义直线尸ax∙a为抛物线y=a×÷bx+c（a、b、C为常数，a≠0）的"衍生直线"：

有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其"衍生

三角形已知抛物线y=+与其"衍生直线"交于A、B两点（点A

在点B的左侧），与X轴负半轴交于点C.

（2）N点的坐标为（0,2√3-3）>（O,2√3+3）:

（3）E（-1,）、F（0,）或E（-1,）,F（-4,12^）

3333

【解析】

【分析】

（I）由抛物线的"衍生直线”知道二次函数解析式的a即可；

（2）过A作AD丄y轴于点

D∙贝IJ可知AN=AC,结合A点坐标，则可求出ON的长，可求出N点的坐标；（3）分别讨

论当AC为平行四边形的边时，当AC为平行四边形的对角线时，求岀满足条件的E、F坐标即可

【详解】

yKχ+迹

33

AA（22√3），B（1,0）:

（2）如图1,过A作AD丄y轴于点D,

在y=-班F一空γ+2中，令y=o可求得X=-3或x=l,33

AC（-X0）t且A（-2,2√3）,・•・AC=√（-2+3）2+（2√3）2=√13由翻折的性质可知AN=AC=√fJ,

∙.∙△AMN为该抛物线的"衍生三角形",・・・N在y轴上，且AD二2,在Rt∆AND中，由勾股左理可得

DN=√AN2-AD2=√TT4=3，

VOD=2√3，

∙∙∙ON=2√3-3或ON=2√J+3,

∙∙∙N点的坐标为（0,2√3-3）,（0,2石+3）：

图】

（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2,过F作对称轴的垂线FH,过A作AK丄X轴

于点K,则有ACIlEF且AC=EF,

・•・ZACK=ZEFH,

在厶ACK和厶EFH中

ZACK=ZEFH

AC=EF

•

・•・△ACK旻△EFH,

.β.FH=CK=ItHE=AK=2√3>

•••抛物线的对称轴为el,

∙∙∙F点的横坐标为O或-2,

T点F在直线AB上，

•••当F点的横坐标为O时，则F（0,±5）,此时点E在直线AB下方,

3

.∙.E到y轴的距离为EH-OF=2√3--=，即E的纵坐标为-土匕,

当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去:

②当AC为平行四边形的对角线时，

•・•C（-3z0）,且A（22√3）>

.∙.线段AC的中点坐标为（-2.5,√3），

设E（√L,t）,F（x,y）,

则x-l=2×（-2.5）,y+t=2>∕J,

.∙.x=4y=2>∕3-t»

综上可知存在满足条件的点F,此时E（・1,■士返）、（0,迹）或E（・4

【点睛】

本题是对二次函数的综合知识考査，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本

题的关键，属于压轴题

6.某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件：

若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假泄每月销售件数y（件）与价格X（元/件）之间满足一次函数关系.

（1）试求y与X之间的函数关系式；

（2）当销售价格左为多少时，才能使每月的利润最大？

每月的最大利润是多少？

【答案】

（1）Y=-IOOOOx+80000

（2）当销售价格圧为6元时，每月的利润最大，每月

的最大利润为40000元

【解析】解：

（1）由题意,可设y=kx÷b,

・・・y与X之间的关系式为：

y=-10000x+80000.

（2）设利润为W,则

W=（x-4）（-K）OOoX+80000）=—IOooo（X2-12x+32）=-K）OOO（X—6），+40000,

・・・当x=6时，W取得最大值，最大值为40000元。

答：

当销售价格泄为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元。

（1）利用待定系数法求得y与X之间的一次函数关系式。

（2）根据"利润=（售价-成本）X售岀件数"，可得利润W与销售价格X之间的二次函数关系式，然后求出其最大值。

7.如图，在平而直角坐标系中，已知点B的坐标为（一1,0）,且OA=OC=4OB,抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象经过A,B,C三点.

（1）求AC两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式：

（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作加丄AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及Pr）的最大值.

【答案】解：

（1）点A、C的坐标分别为（4,0）、（0,-4）：

；

（2）抛物线的表达式为：

y=+∙3χ∙4:

（3）PD有最大值，当x=2时，其最大值为2JI，此时点P（2,-6）.

【解析】

【分析】

（1）OA=OC=4OB=4,即可求解；

（2）抛物线的表达式为：

y=a（x+l）（χ-4）=a（x2-3x-4）,即可求解;

•・・OA=OC=4,

ZOAC=ZOCA=45°,

'：

PHIly轴，

.∙.ZPHD=ZOCA=45。

设点P（JGx2-3x—4）>则点H（X♦x-4）>

/7

PD=-（x-4-x2+3x+4）

2

=-—a-2+2√2x

2

V<0,:

.PD有最大值，当x=2时，其最大值为2√2.

此时点P（2,-6）.

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、图象的而枳计算等，其中（3）,用函数关系表示PD,是本题解题的关键

&在平而直角坐标系XOy中，顶点为A的抛物线与X轴交于B、C两点，与y轴交于点

D,已知A（l,4）,B（3,0）.

（1）求抛物线对应的二次函数表达式；

⑵探究：

如图1，连接OA,作DEIlOA交BA的延长线于点E,连接OE交AD于点F,M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成而积相等的两部分？

请说明理由；

⑶应用：

如图2,P（m,n）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n=-1,连接PA、

PC,在线段PC上确泄一点M,使AN平分四边形ADCP的而积，求点N的坐标.提示：

若点A、B的坐标分别为（X】，y】）、（×2,y2）,则线段AB的中点坐标为（冲1,卫宇丄）.

【答案】（l）y=-χ2+2x-3：

（2）0M将四边形OBAD分成而积相等的两部分，理由见解析：

47

⑶点N（y,-亍）•

【解析】

【分析】

（1）函数表达式为：

y=a（χ-2）2+4,将点B坐标的坐标代入上式，即可求解：

（2）利用同底等高的两个三角形的而积相等，即可求解；

⑶由

（2）知：

点N是PQ的中点，根据C,P点的坐标求出直线PC的解析式,同理求岀AC,DQ的解析式，并联立方程求出Q点的坐标，从而即可求N点的坐标.

【详解】

⑴函数表达式为：

y=a（×-l）2+4,

将点B坐标的坐标代入上式得：

0=a（3-l）2+4,

解得：

a=-1,

故抛物线的表达式为：

y=-×2+2x-3；

（2）0M将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由：

如图1,∙.∙DEIlAO,SAoDA=Saoea,

SAODA+S∆AOM=SAOEa+SaAOM，H卩:

S贝边吊OMAD=SAOBM，

.∙.S∆OME=SAOBM*

二S冈边ft；OMAD=SδOBM：

（3）设点P（m,n）,n=-n√+2m+3,而m+n=-1,

解得：

m=-l或4,故点P（4,-5）：

如图2,故点D作QDIlAC交PC的延长线于点Q,

由

（2）知：

点N是PQ的中点，设直线PC的解析式为y=kx÷b,

f—Z:

+/?

=O

将点C（-l,0）、P（4,-5）的坐标代入得：

仁ff“

4k+b=—5

Zr=-I

解得：

b=→

所以直线PC的表达式为：

y=-X-1...①，

同理可得直线AC的表达式为：

y=2x+2,

直线DQIlCA,且直线DQ经过点D（0,3）,

同理可得直线DQ的表达式为：

y=2x+3...②，联立①②并解得:

X=-P即点Q（-p£），

•・・点N是PQ的中点，

47

由中点公式得：

点N（-,--）.

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形而积的计算等，苴中（3）宜接利用

（2）的结论，即点N是PQ的中点，是本题解题的突破点.

9.如图甲，直线Y=-X+3与X轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=×2+b×+c与X轴的另一个交点为A,顶点为P.

（1）求该抛物线的解析式：

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C,P,M为顶点的三角形为等腰三角形？

若存在，请直接写岀所符合条件的点M的坐标：

若不存在，请说明理由：

（3）当0Vx<3时，在抛物线上求一点E,使ACBE的而积有最大值（图乙、丙供画图探

3

【答案】

（1）y=χ2-4x+3;

（2）（2,_）或（2,7）或（2,・1+2舲）或（2,-I-

2

33

2詬）：

（3）E点坐标为（一，一）时，ACBE的而积最大.

324

【解析】

试题分析：

（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待宦系数法可求得抛物线解析式；

（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示岀MC、MP和PC的长，分MC=MP.MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标：

（3）过E作EF丄X轴，交直线BC于点F,交X轴于点D,可设出E点坐标，表示岀F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出ACBE的而积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标.

试题解析：

（1）V直线y=-x+3与X轴、y轴分别交于点B、点C,

.∙.B（3,O）,C（0,3）,

9+3b+c=0b=4

把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得,

σ=3c=3

•••抛物线解析式为y=×2-4X+3：

（2）∙.∙y=×2-4×+3=（×-2）2-1,

•••抛物线对称轴为x=2,P（2,-1）,

设M（2,t）,且C（0,3）,

∙∙∙MC=J2押（f_3尸=J严-6f+13，MP=It+ι∣,PC=J2：

+（T-3尸二2歩

•••△CPM为等腰三角形，

.∙.有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况,

33

1当MC=MP时，则有J厂_6f+I3=∣t+ι∣,解得t=->此时M（2,-）:

2当MC=PC时，则有皿话2亦，解得t=-1（与P点重合，舍去）或t=7,此时M（2,

7）:

3当MP=PC时，则有∣t+l∣=2^ξ,解得t=-l+2亦或t=-l-2亦，此时M（2,-1+2亦）或（2,-l-2√ξ）:

综上可知存在满足条件的点M,其坐标为（2,

）或（2,7）或（2,-l+2√ξ）或