二次函数单元测试题含答案人教版.docx
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二次函数单元测试题含答案人教版
第I卷（选择题）
）。
1•二次函数y二ax2•bx•c的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（
C,2ab:
:
0D,a-bc：
：
0
2
2•二次函数y=—（x—1）+3图象的顶点坐标是（）
A.[一1，B.13C.[T,-3D.1-3
2
3.抛物线y=3（x-5）2的顶点坐标为（）
A.（5-2）B.（-5-2）C.（5,—2）D.（-5，-2）
4.抛物线y=ax2+bx+c（a丰0）的对称轴是直线x=2-且经过点p（3?
0）.贝Ua+b+c
的值为（）
A、1B、2C、-1D、0
5.将抛物线y=x2向左平移两个单位，再向上平移一个单位，可得到抛物线
（）
2222
A.y=（x-2）+1B.y=（x-2）-1C.y=（x+2）+1D.y=（x+2）
-1
2
6.
已知（1,yJ-（2』2）-（4』3）是抛物线y二x-4x上的点，则（）
7.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：
①a<0②b<0③
c>0④4a+2b+c=0,⑤b+2a=0⑥b2-4ac0其中正确的个数是（）
A、1个B、2个C、3个D、4个
8.二次函数y=x2—2x_3的图象如图所示.当y<0时，自变量x的取值范
围是（
B.
xv—1
22
确的是（）
A.先向左平移
B.先向左平移
C.先向右平移
D.先向右平移
3个单位
3个单位
3个单位
3个单位
9.抛物线y=x•2-3可以由抛物线y二x平移得到，则下列平移过程正
2个单位，再向上平移2个单位,再向下平移2个单位,再向下平移2个单位，再向上平移
10.二次函数y=ax「bx飞的图象如图3所示，则下列结论正确的是
2
A.a：
：
0,b0,c0,b-4ac0
2
B.a0,b：
：
0,c0,b-4ac：
：
0
2
C.a：
：
0,b0,c:
:
0,b-4ac0
2
D.a：
0,b0,c0,b-4ac0
11.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（）
（A）abv0
（B）acv0
（C）当xv2时，函数值随x增大而增大；当x>2时，函数值随x增大而减小
（D）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c
12.抛物线y-_x2•bx•c的部分图象如上图所示，若y.0,则x的取值
A.—4:
:
X：
1B.-3x:
:
1C.X：
—4或x1D.X：
—3或x1
2
13.如图，二次函数y=ax+bx+c（0）的图象经过点（-1,2），与y轴交于点（0,2），且与x轴交点的横坐标分别为X1、X2，其中-214a-2b+c<0,②2a-b£0,
③a<-1，④b2+8a<4ac,其中正确的有（）.
D.②③④
14.二次函数y=x2+bx+c,若b+c=0,则它的图象一定过点（）
A.（-1,-1）B.（1,-1）C.（-1,1）D.（1,1）
1212
15.汽车匀加速行驶路程为s^Votat，匀减速行驶路程为s^Votat,
22
后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程
（）
s看作时间t的函数，其图象可能是
其中v0、a为常数.一汽车经过启动、匀加速行驶、匀速行驶、匀减速行驶之
16.
函数y二-3（x1）2-2,当x
时，函数值
y随x的增大而减小.
17.
已知二次函数y=
=ax2bxc（a,b,c均为常数，
且a0）,若x与y的
部分对应值如卜表所示，
贝U方程ax2
bx•c=0的根为.
…-2-1
02
234
«■■
…50
-3-4
-3-05
*■4
18•已知二次函数y二ax2•bx•c的图象如图所示,
有以下结论：
①ab：
0；②a-b，c1；③abc0；④
4a-2b，c：
：
：
0；⑤c-a・1其中所有正确结论的序号是
19.抛物线的顶点是C（2，.3），它与x轴交于AB两点，它们的横坐标是
方程x—4x+3=0的两个根，则AB,S^ab（=。
20.已知=次函数y=ax2+bx+c的图象如图•则下列5个代数式：
ac,a+b+c,
4a—2b+c,
2a+b,2a—b中，其值大于0的个数为个
21•平移抛物线y=x2・2x-8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解
析式
23•小颖同学想用“描点法”画二次函数
2
y=ax+bx+c（a式0）的图象，取
m.（填“>,<，或无法确定”）
J01
2—12
y值，请你指出这个算错的
2…
5…
y值所对应的
自变量x的5个值，分别计算出对应的y值，如下表:
x…_2
y…11
由于粗心，小颖算错了其中的一个
x=
2
24.函数y=2x-3的图象上有两点A（1,m）,B（2,n），则m_n（填“<”
或“=”或“>”）.
25.炮弹从炮口射出后，飞行的高度h（m与飞行的时间t（s）之间的函数关系是h=v0tsina—5t2,其中v0是炮弹发射的初速度，a是炮弹的发射角，当
1
I-
v0=300（ms）,sina=2时，炮弹飞行的最大高度是。
26.如图（5）,A、B、C是二次函数y=ax2+bx+c（0）的图像上三点，根
据图中给出的三点的位置，可得a0,c0,"0.
；
BM
r
A團5
27.抛物线y=2x2—bx+3的对称轴是直线x=1,贝Ub的值为
28•老师给出一个函数，甲,乙丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质：
甲：
函数的图像不经过第三象限。
乙：
函数的图像经过第一象限。
丙：
当xv2时，y随x的增大而减小。
丁：
当xv2时，y>0,
已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数
。
29.廊桥是我国古老的文化遗产.如图，是某座抛物线型的廊桥示意
图，已知抛物线的函数表达式为y^x210,为保护廊桥的安全，
40
在该抛物线上距水面AB高为8米的点、处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是（精确到1米
J
ly
Ey■
il
q
<1
[F
丿
A
O
B壬
22
30•已知二次函数y=（x—1）+（X—3），当x=时，函数达到最
评卷人
得分
小值
三、计算题（题型注释）
设函数y=kx+（2k+1）x+1（k为实数）.
31•写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中用描点法画出这两个特殊函数的图象
32.根据所画图象，猜想出：
对任意实数k,函数的图象都具有的特征，并给
予证明
33.
m的一个值
对任意负实数k,当x评卷人
得分
四、解答题（题型注释）
34.如图，顶点为P（4,-4）的二次函数图象经过原点（0,0）,点A在该
图象上，OA交其对称轴I于点M点MN关于点P对称，连接ANON
\/
36.若直线AD上方的抛物线存在点E,可使得△EAD面积最大，求点E的坐标;
37.点F为线段AD上的一个动点，点F到
（2）中的点E的距离与到y轴的距
离之和记为d，求d的最小值及此时点F的坐标。
评卷人
得分
五、判断题（题型注释）
参考答案
1.C
【解析】•••图象开口向上，•••a>0；•••抛物线与y轴的交点为负，•••cV0;•••抛物线的对
称轴在y轴的左边，•
b
-2a：
：
0「a>0,-b>0：
2a+b>0；当x=-1时，yV0即a-b+c
v0.故选C.
2.B
【解析】
试题分析：
根据解析式，顶点的横坐标为1，纵坐标为3,即坐标为（1,3）
考点：
二次函数的顶点坐标
2
点评：
二次函数的顶点式为y=（x-a）•h，顶点坐标即为（a,h）
3.A
【解析】因为y=3（x-5）2+2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为
（5,2）.故选A
4.D
K
【解析】因为对称轴是x=2，所以-一=2,b=-绐，又因为经过点p（3?
0），所以
2a
9a•3b•c=0,把b=-4a代入得c=3a，所以a+b+c=a-4a•3a=0，故选D
5.C
【解析】原抛物线的顶点为（0,0）,向左平移两个单位，再向上平移一个单位，那么新抛物线的顶点为（-2,1）;
可设新抛物线的解析式为y=（x-h）2+k,代入得：
y=（x+2）2+1,故选C.
6.D
【解析】分析：
此题可以把图象上三点的横坐标代入求得纵坐标y值，再比较大小.
2
解答：
解：
由于三点（1,y1）,（2,y2）,（4,y3）是抛物线y=x-4x上的点，，
则y1=1-4=-3;y2=4-8=-4;y3=16-16=0
•y3>y1>y2.
故选D.
7.D
【解析】
试题分析：
根据图像，抛物线开口向下说明av0，①正确
其与y轴交于正半轴，由于抛物线与y轴交点为（0,c）所以c>0,③正确
又••对称轴x-—=1
2a
•b>0,②错误
当x=2时y=4a+2b+c
结合分析可知，x=2在图像和x轴右交点的左侧结合图像看到此时图像在x轴上方即y>0
•4a+2b+c>0,所以④错误
2a
因为x二-——=1，得到-b=2a
也就是2ab=0,故⑤正确
根据图像可知，抛物线与x轴有两个交点，所以b2-4ac.0，⑥正确
综上，有4个正确的，所以选D
考点：
二次函数的图像与系数点评：
难度中等，关键在于分析二次函数的图像、系数之间的关系。
8.A
【解析】
试题分析：
根据二次函数的性质得出，yv0,即是图象在x轴下方部分，进而得出x的取值
范围.
•••二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示.
•••图象与x轴交在（-1,0）,（3,0）,
•••当yv0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：
-1vxv3,
故选A.
考点：
此题主要考查了二次函数的性质
点评：
利用数形结合得出图象在x轴下方部分yv0是解题关键.
9.B
【解析】
试题分析：
二次函数图像平移，上下平移是y变化，“上加下减”，左右平移是x变化，“左
2
加右减”，所以y=x•2-3,-3即为向下平移3个单位，x2即为向左平移2个单位，
答案为B
考点：
二次函数图像的平移
点评：
图像平移要明确是x轴变化，还是y轴变化，先化为顶点式，在看是在括号内还是在括号外，括号内是x轴变化，括号外是y轴变化.
10.
【解析】根据二次函数特点，图像开口向下,
av0,交y轴在原点上方,
c>0,排除答案B
D
和C,对称轴x>0,而av0,贝Ub>0,图像与x轴有两个交点，必须保证△>0,综上，选D
11.B
【解析】解：
A、图象开口向下，对称轴在y轴右侧，能得到：
av0,x=—>0,b>0,
2a
所以abv0,正确；
B、图象开口向下，与y轴交于负半轴，能得到：
av0,cv0,•ac>0，错误；
C、av0,对称轴为x=2，根据二次函数的增减性可知，当xv2时，函数值随x增大而增大；当x>2时，函数值随x增大而减小，正确；
D、由二次函数与一元二次方程的关系可知，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，正确.
故选B.
12.B
x轴的另一个交点是-3,y>0反映到图
【解析】分析：
根据抛物线的对称性可知，图象与
象上是指x轴上方的部分，对应的x值即为x的取值范围.
解答：
解：
•••抛物线与x轴的一个交点是（1,0）,对称轴是x=-1,
根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点是（-3,0）,
又图象开口向下,
•••当-3vxv1时，y>0.
故选B.
【答案】C
【解析】二次函数y=ax2+bx+c（0）的图象经过点（-1,2），与y轴交于（0,2）点,且与x轴交点的横坐标分别为xi、X2,其中-2vxiv-1，0vX2V1，下列结论
14a-2b+cv0;当x=-2时，y=ax2+bx+c,y=4a-2b+c,
•/-2vX1<-1,•yv0,故①正确;
22a-bv0;
•••二次函数y=ax+bx+c（a*0）的图象经过点（-1,2）,
•a-b+c=2，与y轴交于（0,2）点，c=2,
•a-b=0,二次函数的开口向下，av0,
•2a-bv0,故②正确；
3根据-2vX1<-1,0vX2<1,可以估算出两根的值，
例如X1=-1.5,X2=0.5，图象还经过点（-1,2），得出函数的解析，
88
解得：
a=-v-1,b=-故③av-1正确;
33
2
④b+8a>4ac.
根据③中计算结果，可以得出：
2
b+8a>4ac,
8、2/8、/
8
、64
（-）+8X（——）-4X（
）X2=>0,
33
3
9
故④b2+8a<4ac，不正确.
故选：
C.
14.D
【解析】分析：
此题可将b+c=0代入二次函数，变形得y=x2+b（x-1），若图象一定过某点,则与b无关，令b的系数为0即可.
解答：
解：
对二次函数y=x2+bx+c，将b+c=0代入可得：
y=x2+b（x-1）,
则它的图象一定过点（1,1）.
故选D.
【答案】A
【解析】第一段匀加速行驶，路程随时间的增大而增大，且速度越来越大，即路程增加的速
度不断变大.则图象斜率越来越大，则C错误；
第二段匀速行驶，速度不变，则路程是时间的一次函数，因而是倾斜的线段，则D错误；
第三段是匀减速行驶，速度减小，倾斜程度减小.故B错误.
故选A.
16.>-1
【解析】
试题分析：
先判断出抛物线的对称轴，再根据抛物线的开口方向即可得到结果
•••抛物线的对称轴为x--1,a=・3：
：
：
0，即抛物线开口向下
•••当x-1时，函数值y随x的增大而减小.
考点：
二次函数的性质
点评：
本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握二次函数的性质，即可完成
17.为--1,x2=3
【解析】将（-1,0）,（0,-3）,（1,-4）代入y=ax2+bx+c得，
a-b+c=O,c=-3,a+b+c=-4,
解得a=1b=-2c=-3,
代入ax2+bx+c=0得，x2-2x-3=0,即（x+1）（x-3）=0,解得Xi=-1,X2=3.
18.①②③⑤
【解析】根据函数图象可得各系数的关系：
av0,bv0,c>0,再结合图象判断各结论.
解：
由函数图象可得各系数的关系：
av0,bv0,c>0,
则①当x=1时，y=a+b+cv0，正确；
2当x=-1时，y=a-b+c>1,正确；
3abc>0,正确；
4对称轴x=-1，贝Ux=-2和x=0时取值相同，则4a-2b+c=1>0,错误；
K
5对称轴x==-1,b=2a，又x=-1时，y=a-b+c>1,代入b=2a,则c-a>1,正确.
2a
故所有正确结论的序号是①②③⑤.
19.“-
【解析】此题考查二次函数与三角形
x2「4x3=0,（x「1）（x「3）=0,x=1或x=3,AB=3「1=2
11_
SAB|yc2：
：
3
答案，二
20.2
【解析】由图可知，av0,cv0,所以ac>0；因为当x=1时的函数值大于0,所以a+b+c>0；因为当x=-2时的函数值小于0,所以4a—2b+cv0；因为对称轴x=-b/2av1,所以-b>2a,因此2a+bv0；因为对称轴x=-b/2a>-1，所以b>2a,因此2a—bv0。
故，其值大于0的个数为__2个•
2
21.答案不唯一，如y=x2x
【解析】
试题分析：
可设这个函数的解析式为y=x22xc，根据（0,0）适合这个解析式求解
即可•
可设这个函数的解析式为y=x22xc，那么（0,0）适合这个解析式，解得c=0
故平移后抛物线的一个解析式y=x2•2x（答案不唯一）.
考点：
二次函数的图象与几何变换
点评：
解题的关键是熟练掌握抛物线在平移过程中不改变a的值•
22.V
【解析】分别把点（2,门）与（3,m）代入函数y=ax2-2ax+3，然后比较即可得出答案.解：
令x=2,则n=4a-4a+3=3,
令x=3，则m=9a-6a+3=3a+3,
•/a>0,
/•m=3a+3>3,
/•m>n.
故答案为：
v.
23.2
【解析】由表格给出的信息可以看出，该函数的对称轴为直线x=0,则x=2与x=-2时应取
值相同.
解：
根据表格给出的各点坐标可得出，该函数的对称轴为直线x=0,
求得函数解析式为y=3x2-1,
则x=2与x=-2时应取值相同.
故这个算错的y值所对应的x=2.
【答案】m【解析】本题考查二次函数的性质
因点A（1,m）,B（2,n）在函数的图象上，则有m=212_3-一1,n=222_3=1
所以m:
:
:
n
25.1125m
【解析】
考点：
二次函数的应用.
分析：
本题需先根据题意求出当
的时间t（s）之间的函数关系式,
1一亠、vo=300（m/s）,sina=时，飞行的咼度
2
再求出函数的最大值即可.
1
解；•••当vo=3OO（m/s）,sina=—时
2
1
h=300Xt-5t
2
炮弹飞行的最大咼度是:
4-50-1502
4疋（-5）
=1125m
=150t-5t2
故答案为：
1125.
点评：
本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据函数的解析式求出最大值是本题
的关键.
26.<、<、>
【解析】
分析：
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.
解：
画草图得，此函数开口向下，所以av0;
与与y轴的交点为在y轴的负半轴上，所以cv0;
抛物线与x轴有两个交点，.・.b-4ac>0.
所以两盏警示灯之间的水平距离为:
x^x2=|4、、5-（「4.5）\=8、5:
1（m）
29.「
【解析】由于两盏E、F距离水面都是8m,因而两盏景观灯之间的水平距离就是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值.
12
故有x210=8,
40
30.2
【解析】本题考查二次函数最值
已知二次函数ymix-12X-32
ooo
化简可得y=x—2x1x—6x9=2x-8x10
所以当x=2时，y有最小值为2
31.当k=1时，y=x2+3x+1;当k=0时y=x+1,图象略
32•见解析
33.只要m的值不大于-1即可
【解析】
（1）当k=1时，y=x2+3x+1;当k=0时y=x+1,图象略
⑵对任意实数k,函数的图象都经过点（-2,-1）和点（0,1）
证明；把x=-2代入函数y=kx2+（2k+1）x+1,得y=-1，即函数y=kx2+（2k+1）x+1的图像经过点（-2,-1）;把x=0代入函数y=kx2+（2k+1）x+1,得y=1，即函数y=kx2+（2k+1）x+1的图像经过点（0,1）
（3）当k为任意负实数，该函数的图像总是开口向下的抛物线，其对称轴为
2k理,1111
x二…二…1-，当负数k所取的值非常小时，正数•——靠近0，所以x--1
2k2k2k2k
靠近-1，所以只要m的值不大于-1即可。
12
34.
（1）y=x2-2x
4
（2）12
（3）相似三角形的基本知识推出该角度的相等，不能
【解析】
试题分析：
（1）•••二次函数图象的顶点为P（4,-4）,•••设二次函数的关系式为
2
y=ax_4[-4。
21又••二次函数图象经过原点（0,0）,•0=a0-4-4，解得a=。
4
1212•二次函数的关系式为y=-（x-4）-4，即y=-x2-2x。
（2分）
44
1
（2）设直线OA的解析式为y=kx，将A（6,-3）代入得-3=6k，解得k=-一。
2
1•直线OA的解析式为y=--x。
把x=4代入
y=
1_x2
得y=-2o•M（4,-2）。
又••点MN关于点P对称，•N（4,-6）,MN=4
1
--S出NO=264=12。
（3分）
（3）①证明：
过点A作AHLI于点H,,I与x轴交于点
12
设A（xo,-Xo—2xo）,
4
D。
则
则直线OA的解析式为
12
4X0-2x。
1
y=x=xo_2x
14丿
xo
2
itr12
则M（4,x°—8）,N（4,—X。
）,H（4,二x°—2x°）。
4
12•••OD=4ND=X0,HA=Xo_4,NH=X。
_x。
。
4
OD4HAX。
_44X。
_44X。
-44
--tanZONM==-—,tanZANM===—=―=——。
NDXoNH1x2_xXo
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