数学模古塔的变形.docx

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数学模古塔的变形

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

C

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

5339

所属学校（请填写完整的全名）：

参赛队员（打印并签名）：

1.

2.

3.

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。

如填写错误，论文可能被取消评奖资格。

）

日期：

2013年09月16日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

古塔的变形数学模型

摘要:

本文是研究关于古塔变形类型以及变形分析的模型，用Matlab画出古塔的三维结构可以看出它是近似于正八边形的形状。

因此，问题一我们用每层各个测量点坐标的平均值作为塔每层的中心坐标，再用中心坐标的三个坐标值分别对时间t做回归来得到确定古塔各层中心位置的通用方法。

对于问题二，我们分别研究该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，通过建立数学模型来确定变形的程度。

首先，用各层中心点坐标的z坐标值与其相应点的x,y坐标值做多元线性回归。

然后得到的回归方程所表示的回归平面与z轴正方向的夹角就可以表示古塔的倾斜程度大小。

最后根据各层中心的分布和变化趋势方向，确定古塔的倾斜方向。

用古塔各层中心点进行平面拟合，从效果上观察，较为精确地反映了实例中的问题，由此也说明了我们所建模型的合理性。

古塔的倾斜变形必然会导致在同一层中，测点存在高程的绝对差h，如果古塔只存在倾斜变形的话，每层的h值会相等；如果古塔存在倾斜变形的同时也存在弯曲变形的话，则每层的h值会发生改变。

所以相邻两层的高程绝对差的变化量，表示古塔每层弯曲程度大小。

再根据每层出现高程绝对差h的两个测量点的连线，确定每层弯曲方向。

古塔的扭曲变形，首先每层选取两对相同的对测量点，并做连线。

然后通过每层对测量点的连线，分别与第一层相同对测量点的连线所成的角度的平均值来衡量古塔的扭曲情况。

对于该塔的变形趋势的研究，将倾斜指标、弯曲指标、扭曲指标对时间的回归。

再用得到的回归方程预测未来几年的数据，结合用excel画出的图来预测古塔在未来时间里的变形趋势。

关键字：

线性回归变化趋势拟合预测

1、问题重述

由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。

为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。

某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。

管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。

请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：

1.给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。

2.分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。

3.分析该塔的变形趋势。

2、问题分析

（1）、对问题一的分析

问题一中确定古塔各层中心位置的通用方法。

因为古塔各层为近似正八边形，根据正八边形图形特征，可以用每次测量时，古塔各层测量点坐标的平均值作为各层中心点坐标。

然后将各层中心点坐标对时间回归，可得到各层中心点坐标对时间的回归方程。

根据方程就可以确任意时间各层中心点坐标。

（2）、对问题二的分析

问题二要求我们确定塔的倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。

为了简化模型，我们分别对古塔的倾斜、弯曲、扭曲进行讨论。

对于倾斜，首先根据不同年份，各层中心点坐标的z坐标值与其相应点的x,y坐标值做多元线性回归。

然后得到的回归方程所表示的回归平面与z轴正方向的夹角就可以表示古塔的倾斜程度大小。

最后根据各层中心的分布和变化趋势方向，确定古塔的倾斜方向。

对于古塔的弯曲，首先求出每层高程绝对差

，然后相邻两层的高程绝对差的变化量，表示古塔每层弯曲程度大小。

再根据每层出现高程绝对差

的两个测量点的连线，确定每层弯曲方向。

对于古塔的扭曲变形，首先每层选取两对相同的对测量点，并做连线。

然后通过每层对测量点的连线，分别与第一层相同对测量点的连线所成的角度的平均值来衡量古塔的扭曲情况。

（3）、对问题三的分析

问题三要求我们分析该塔的变形趋势，这个问题属于预测的数学问题。

对于这个问题我们一般用回归的方法来求解，得出倾斜指标、弯曲指标、扭曲指标对时间的回归方程，并作出各自的图像，观察趋势。

3、模型假设

1.假设古塔只存在倾斜，弯曲，扭曲的三种变形情况；

2.假设在1986年到2011年没有对古塔进行人为的保护，如加固或修补；

3.忽略1986年与1996年观测的第13层第5个测量点所少数据；

4.假设古塔的变形是连续的；

四、符号说明

观测点

古塔层数

时间，并以1986年为第一年，即t=1

古塔同一层测点的最大高程差

古塔相邻两层h值的差

两对角线的夹角

古塔的倾斜角

五、模型的建立与求解

5.1问题一的求解：

为观察同层各观测点的大概位置，做出1986年古塔内同层观测点连线的俯视图进行分析，做出下图：

图1-1

图1-1是通过1986年每层各测量点的坐标点连起来的（用CAD制）图，每层所测的点相交构成一个多边形，得到每层的近似平面图，可以近似地把每层当作正八边形。

根据正八边形图形特征，古塔各层测量点坐标（

，

，

）的平均值作为各层中心点坐标。

即：

，

，

算出的各层中心坐标如下：

表1-1.所测年数各层中心坐标表

1986年

1996年

楼层i

X

Y

Z

楼层i

X

Y

Z

1

566.6648

522.7105

1.7874

1

566.665

522.7102

1.7102

2

566.7196

522.6684

7.3203

2

566.7205

522.6674

7.3146

3

566.7735

522.6273

12.7553

3

566.7751

522.6256

12.7508

4

566.8161

522.5944

17.0783

4

566.8183

522.5922

17.0751

5

566.8621

522.5591

21.7205

5

566.8649

522.5563

21.716

6

566.9084

522.5244

26.2351

6

566.9118

522.521

26.2295

7

566.9468

522.5081

29.8369

7

566.9506

522.5042

29.8323

8

566.9843

522.4924

33.3509

8

566.9884

522.4881

33.3454

9

567.0218

522.4764

36.8549

9

567.0265

522.4714

36.8483

10

567.0569

522.4624

40.1721

10

567.062

522.4572

40.1676

11

567.1045

522.423

44.4088

11

567.1102

522.4173

44.4354

12

567.1518

522.3836

48.7119

12

567.1578

522.3775

48.7074

13

567.085

522.7403

52.8343

13

567.0912

522.734

52.83

塔尖

567.2473

522.2438

55.1233

塔尖

567.2544

522.2367

55.11975

2009年

2011年

楼层i

X

Y

Z

楼层i

X

Y

Z

1

566.7268

522.7015

1.7645

1

566.727

522.7014

1.76325

2

566.764

522.6693

7.309

2

566.764

522.669

7.2905

3

566.8001

522.6384

12.7323

3

566.8004

522.6387

12.7269

4

566.8293

522.6132

17.0698

4

566.8297

522.6127

17.052

5

566.8604

522.5866

21.7094

5

566.861

522.586

21.7039

6

566.947

522.5342

26.211

6

566.9478

522.5335

26.2045

7

566.9792

522.5123

29.8246

7

566.98

522.5115

29.817

8

567.0305

522.4797

33.3399

8

567.0313

522.4788

33.3366

9

567.0816

522.4466

36.8438

9

567.0825

522.4457

36.8223

10

567.137

522.3937

40.1611

10

567.1381

522.3926

40.1441

11

567.1799

522.3547

44.4326

11

567.181

522.3535

44.4249

12

567.2225

522.316

48.6998

12

567.2238

522.3147

48.6839

13

567.2712

522.2715

52.8184

13

567.2725

522.2701

52.8131

塔尖

567.336

522.2148

55.091

塔尖

567.3375

522.2135

55.087

用上表得到的数据，把每层中心点的X，Y，Z坐标分别对时间t（设1986年为第一年，即t=1）做回归，得到下表的一系列回归方程，用以下的方程就能算出古塔任意一年任意一层的中心坐标,即为确定古塔各层中心位置的通用方法。

表1-2.各层坐标与时间的回归表

中心点

坐标

层数i

Xi

Yi

Zi

1

X=566.65164+0.00286t

Y=522.71231-0.00041t

Z=1.76325-0.00024t

2

X=566.71052+0.00203t

Y=522.66783+0.00044t

Z=7.322956-0.00093t

3

X=566.7685+0.001214t

Y=522.62418+0.00054t

Z=12.75904-0.00115t

4

X=566.81415+0.00059t

Y=522.58954+0.00088t

Z=12.75904-0.00115t

5

X=566.86355-0.00009t

Y=522.55215+0.00128t

Z=21.72178-0.0006t

6

X=566.90148+0.00176t

Y=522.52099+0.00047t

Z=26.23885-0.00121t

7

X=566.94137+0.00147t

Y=522.50569+0.00022t

Z=29.83865-0.00071t

8

X=566.97606+0.00210t

Y=522.49343-0.00056t

Z=33.35139-0.00053t

9

X=567.01090+0.00272t

Y=522.48078-0.00134t

Z=36.85757-0.00099t

10

X=567.04181+0.00366t

Y=522.47502-0.00313t

Z=40.17504-0.00089t

11

X=567.09066+0.00322t

Y=522.43534-0.00311t

Z=44.41597-0.00061t

12

X=567.13906+0.00922t

Y=522.39564-0.00308t

Z=48.71487-0.00091t

13

X=567.04774+0.00853t

Y=522.83776-0.02153t

Z=52.83664-0.00082t

14

X=567.23116+0.00404t

Y=522.24712-0.00129t

Z=55.12923-0.00155t

5.2问题二的求解：

问题二要求我们确定塔的倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。

为了简化模型，我们分别对古塔的倾斜、弯曲、扭曲进行讨论。

5.2.1倾斜变形求解：

1）倾斜度大小的求解

首先用第t年中,各层中心点坐标的

对

，

做多元线性回归。

=

（1）

该回归方程在空间直角坐标系中是一个平面，表示各层中心近似所处的平面。

运用Excel软件根据

（1）式求解各年回归方程。

统计各年回归方程系数可得下表：

表2-1回归方程系数

年份

t

1986

1

-82920.6

116.5013

32.34341

1996

11

-82194.2

115.4235

32.12215

2009

24

-57953.5

92.50807

10.58585

2011

26

-57150

91.76544

9.853791

运用Matlab做出2009年回归方程对应的回归平面（过程见附录1）。

图2-1

由图2-1可以直观地看出各层中心点贴近回归平面，证明上面所建立模型的准确性。

上述方法所得的回归平面与z轴正方向的夹角可以表示塔的倾斜角。

原理解释如下：

图2-2

如图，空间直角坐标系（由CAD制作）中有下列关系：

其中，平面ABC是同一年塔内各层中心点的回归平面。

AB垂直于OD，AB垂直于OC，即AB垂直于CD，即∠ODC为平面OAB与平面ABC夹角。

所以平面ABC与z轴夹角

为：

即角

为回归平面与z轴正方向的夹角可以表示塔的倾斜角。

令

=0，即方程为

=0为AB所在直线方程，所以OD为点O到AB的距离，根据点到直线的距离公式可得：

令x和y等于0，可以得出

根据正切性质得：

根据反三角函数，可知：

（2）

根据

（2）式可以得算出古塔每年的倾斜角

，列表如下：

表2-2塔的倾斜角度，单位：

（°）

年份

1986

1996

2009

2011

塔的倾斜角

0.4739

0.4782

0.6153

0.6208

夹角

的值可以表示古塔的倾斜程度大小。

2）倾斜方向的求解

根据古塔各层中心点在水平面xoy中的投影的分布和变化趋势，来确定古塔的倾斜方向。

下面以2009年数据为例。

用Matlab作2009年各测点与中心点的平面图（过程见附录2）：

7

3

2

图2-3

由图2-3可以看出，各层中心点都大致分布在第2，6个测量点的对角线上。

再根据中心点投影位置随楼层的增加而自测量点2向测量点6移动。

可以知道古塔的倾斜方向大致是沿测量点2向测量点6方向倾斜。

5.2.2弯曲变形求解

1）弯曲程度大小的求解

对于古塔的弯曲情况，我们通过每层平面倾斜的变化程度初步分析，然后再结合整栋古塔，得出古塔的大概外形，从局部到整体分析古塔的变形。

首先，计算第t年，i层测量点高程的绝对差

，为：

它能直观地反映在各层内最大倾斜程度，但绝对差不能全面的表现出弯曲的情况。

而第t年i层到i+1层高程的绝对差的变化量

，可以反映相邻两层的弯曲的大小程度。

公式如下：

运用excel计算与排列每年各层的测量点绝对差，得下表：

表2-3每年各层的测量点绝对差，单位：

m

绝对差

层数/年份

1986

1996

2009

2011

1

0.049

0.055

0.079

0.078

2

0.05

0.049

0.048

0.057

3

0.05

0.052

0.076

0.083

4

0.05

0.046

0.044

0.073

5

0.05

0.051

0.05

0.051

6

0.173

0.166

0.198

0.197

7

0.174

0.167

0.16

0.153

8

0.174

0.18

0.186

0.185

9

0.174

0.167

0.173

0.198

10

0.206

0.205

0.204

0.237

11

0.196

0.195

0.192

0.207

12

0.196

0.195

0.188

0.168

13

0.194

0.193

0.192

0.194

通过上表中的绝对差计算第t年i层到i+1层高程的绝对差的变化量

。

得出1986年，1996年，2009年，2011年各个

值，得出下表：

表2-4相邻两层高程的绝对差的变化量表，单位：

m

层数　

1986年

1996年

2009年

2011年

1~2

0.001

-0.006

-0.031

-0.021

2~3

0

0.003

0.028

0.026

3~4

0

-0.006

-0.032

-0.01

4~5

0

0.005

0.006

-0.022

5~6

0.123

0.115

0.148

0.146

6~7

0.001

0.001

-0.038

-0.044

7~8

0

0.013

0.026

0.032

8~9

0

-0.013

-0.013

0.013

9~10

0.032

0.038

0.031

0.039

10~11

-0.01

-0.01

-0.012

-0.03

11~12

0

0

-0.004

-0.039

12~13

-0.002

-0.002

0.004

0.026

从所得各年

值的统计可得出结论：

在各年中都是5~6层间的

值为最大，从1986年到2011年，

值呈某部分增大，而且总体

的总值都在变大。

对统计数据进行分析：

在5~6层间的倾斜程度变化很大，表现为5~6层间产生大的弯曲，在1986年到2011年塔的相邻层之间的倾斜变化程度越来越大。

表现为随着时间的推移塔的弯曲程度越来越严重。

的值主要在第五与第六层之间有较大值，其他值都较小。

所以古塔主要弯曲的地方是在第5层与第6层。

所以用第5层到第6层间的高程绝对差的增量

的值来表示古塔的弯曲大小程度。

由上表可以知在每年中，每层的高程的绝对差都是较小的数，即表示该塔同层内高程起伏较小，基本处于同一水平面；在第5层至第6层高程的绝对差异常增大，且使在第6层以后每层的绝对差都稳定在较大数值；在2011年中，在相邻两层的高程的绝对差的数值变化较大。

图2-4

图2-4是用Matlab作出古塔的三维结构图（过程在附件2），可以看出古塔中间的地方比较弯曲，由此也说明了我们所建模型的合理性。

2）弯曲方向的求解

列出在第5、6层各点高程从高到低的测量点序号：

表2-5第5、6层各年各测量点的排序

1986年

1996年

2009年

2011年

第5层

2

2

2

2

8

8

8

1

1

1

1

7

7

7

7

5

3

3

6

6

6

5

3

4

5

6

5

3

4

4

4

8

1986年

1996年

2009年

2011年

第6层

2

2

3

3

3

3

2

2

1

1

1

1

4

4

4

4

8

8

8

8

5

5

5

5

7

7

7

7

6

6

6

6

从上表可得出结论：

每年的第5层楼到第6层楼，测量点6相对其他点降低的程度最大，即可知在第5层到第6层楼中古塔向测量点6方向弯曲。

5.2.3扭曲变形求解

对于古塔的扭曲变形，首先每层选取两对相同的对测量点，并做连线。

然后通过每层对测量点的连线，分别与第一层相同对测量点的连线所成的角度的平均值来衡量古塔的扭曲情况。

由于古塔首层是与稳定的地基连接，所以首层的扭曲变形几乎可以忽略不计，所以取每层相同对角线在平面xoy投影的夹角作为扭曲变形的量度：

夹角越大，则扭曲变形越严重。

具体原理如下：

如图2-5所示，以第1与第13层为例，首先选取两对测量点，分别为2-6、4-8。

取第一层的2-6对角线为L1，第13层的2-6对角线为L2，L1与L2的夹角为

。

取第一层的4-8对角线为L3，第13层的4-8对角线为L4，L3与L4的夹角为

。

用

与

的平均值

作为古塔第13层相对于第一层扭曲变形的量度。

图2-5

同理，其他层2-6测量点对角线与第一层2-6测量点对角线L1的夹角为

，其他层4-8测量点对角线与第一层4-8测量点对角线L3的夹角为

。

它们的平均值

反映其他层相对第一层的扭曲度。

即：

计算结果如下表

表2-7每层相对于第一层扭曲的度，单位：

（°）

1986年

1996年

2009年

2011年

0.504856

0.504713

0.310858

0.310764

1.034441

1.034441

0.642251

0.641926

1.491717

1.491717

0.924225

0.924225

2.018154

2.017