若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？
若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
5.在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图①，若△ABC是等边三角形，且AB＝AC＝2，点D在线段BC上．
①求证：
∠BCE+∠BAC＝180°；
②当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．
（2）若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动，如图②，则∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？
并说明理由．
6.如图1，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），
连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．
（1）如图1，猜想∠QEP＝°；
（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以
证明；
7.数学学习小组“文化年”最近正在进行几何图形组合问题的研究，认真研读以下三个片段，并回答问题．
【片断一】小文说：
将一块足够大的等腰直角三角板置于一个正方形中，直角顶点与对角线交点重合，在转动三角板的过程中我发现某些线段之间存在确定的数量关系．如图
（1），若三角板两条直角边的外沿分别交正方形的边AB，BC于点M，N，则①OM+ON＝MB+NB；
②AM+CN＝OD．请你判断他的猜想是否正确？
若正确请说明理由；若不正确请说明你认为正确的猜想并证明．
【片断】小化说：
将角板中个45°角的顶点和正方形的一个顶点重合放置，使得这个角的两条边与正方形的一组邻边有交点．
如图
（2），若以A为顶点的45°角的两边分别交正方形的边BC、CD于点M，N．交对角线BD于点E、F，我发现：
BE2+DE2＝2AE2，只要准确旋转图
（2）中的一个三角形就能证明这个结论．
请你在图2中画出图形并写出小化所说的具体的旋转方式：
．【片断三】小年说：
将三角板的一个45°角放置在正方形的外部，同时角的两边恰好经过正方形两个相
邻的顶点．
如图（3），设顶点为E的45°角位于正方形的边AD上方，这个角的两边分别经过点B、C，连接EA，
ED，那么线段EB，EC，ED也存在确定的数量关系：
（EB+ED）2＝2EC2，请你证明这个结论．
8.如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF．
（1）试说明：
△AED≌△AFD；
（2）当BE＝3，CE＝9时，求∠BCF的度数和DE的长；
（3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，D是斜边BC所在直线上一点，BD＝3，BC＝8，求DE2的长．
9.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知正方形边长为3，点D为x轴上一点，其坐标为（1，0），连接CD，点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线C→B→A的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．
（1）连接OP，当点P在线段BC上运动，且满足△CPO≌△ODC时，求直线OP的表达式；
（2）连接PC、PD，求△CPD的面积S关于t的函数表达式；
（3）点P在运动过程中，是否存在某个位置使得△CDP为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
10.
如图①，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且BC＝2，CE＝2，正方形ABCD固定，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转α角（0°<α<360°）．
如图③，点P为边EF的中点，连接PB、PD、BD，在正方形CEFG的旋转过程中，△BDP的面
积是否存在最大值？
若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
11.
如图①，在平面直角坐标系中，直线l1：
y＝﹣x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：
x交于点A，以线段AC为边在直线l1的下方作正方形ACDE，此时点D恰好落在x轴上．
1）求出A，B，C三点的坐标．
2）求直线CD的函数表达式．
12.
如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转连接BP，DQ
（1）如图a，求证：
△BCP≌△DCQ；
（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．
①如图b，求证：
BE⊥DQ；
②如图c，若△BCP为等边角形，判断△DEP的形状，并说明理由，
（3）填空：
若正方形ABCD的边长为10，DE＝2，PB＝PC，则线段PB的长为
13.如图1，在平面直角坐标系中．直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：
△BOC≌△CED；
（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标及△BCD平移的距离；
（3）*若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐；若不存在，请说明理由．
14.
（1）如图1，正方形ABCD中，∠PCG＝45°，且PD＝BG，求证：
FP＝FC；
（2）如图2，正方形ABCD中，∠PCG＝45°，延长PG交CB的延长线于点F，
（1）中的结论还成立吗？
请说明理由；
（3）在
（2）的条件下，作FE⊥PC，垂足为点E，交CG于点N，连结DN，求∠NDC的度数．
15.如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x、y轴于点A、B，直线BC分别交x、y轴于点C、B，
点A的坐标为（2，0），∠ABO＝30°，且AB⊥BC．
（1）求直线BC和AB的解析式；
（2）将点B沿某条直线折叠到点O，折痕分别交BC、BA于点E、D，在x轴上是否存在点F，使得点D、E、F为顶点的三角形是以DE为斜边的直角三角形？
若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在平面直角坐标系内是否存在两个点，使得这两个点与B、C两点构成的四边形是正方形？
若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
16.【观察发现】
（1）如图1，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，且点E在边AB上，连接DE和BG，猜想线段DE与BG的数量关系和位置关系．（只要求写出结论，不必说出理由）【深入探究】
（2）如图2，将图1中正方形AEFG绕点A逆时针旋转一定的角度，其他条件与观察发现中的条件相同，观察发现中的结论是否还成立？
请根据图2加以说明．
【拓展应用】（3）如图3，直线l上有两个动点A、B，直线l外有一点动点Q，连接QA，QB，以线段AB为边在l的另一侧作正方形ABCD，连接QD．随着动点A、B的移动，线段QD的长也会发生变化，若QA，QB长分别为，6保持不变，在变化过程中，线段QD的长是否存在最大值？
若存在，求出
这个最大值；若不存在，请说明理由．
17.问题的提出：
如果点P是锐角△ABC内一动点，如何确定一个位置，使点P到△ABC的三顶点的距离
之和PA+PB+PC的值为最小？
（1）问题的转化：
把△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′，这样就把确定PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定BP+PP′+P′C的最小值的问题了，请你利用图1证明：
PA+PB+PC＝BP+PP′+P′C；
（2）问题的解决：
当点P到锐角△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，求∠APB和
∠APC的度数；
（3）问题的延伸：
如图2是有一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．
18.如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．
（1）求C点的坐标；
（2）如图1，在平面内是否存在一点H，使得以A、C、B、H为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，请直接写出H点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图1点M（1，﹣1）是第四象限内的一点，在y轴上是否存在一点F，使得|FM﹣FC|的值最大？
若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由
19.如图①，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且BC＝2，CE＝2，正方形ABCD固定，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转α角（0°<α<360°）．
（1）如图②，连接BG、DE，相交于点H，请判断BG和DE是否相等？
并说明理由；
（2）如图②，连接AC，在旋转过程中，当△ACG为直角三角形时，请直接写出旋转角α的度数；
（3）如图③，点P为边EF的中点，连接PB、PD、BD，在正方形CEFG的旋转过程中，△BDP的面积是否存在最大值？
若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
20.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问
（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问
（1）中的结论是否仍然成立？
（请直接写出结果，不必写出理由）
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