行列式的计算及应用.docx

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行列式的计算及应用

2014届本科毕业论文

论文题目：

行列式的计算及应用

学生姓名：

世

所在院系：

数学科学学院

所学专业：

数学与应用数学（金融方向）

导师姓名：

世

完成时间:

***

年好*月

***

行列式的计算及应用

摘要

在髙等代数这门课程里，行列式是最基本而又重要的内容之一，同时也是数学研究中的重要的工具之一，在线性代数、数学分析、解析几何等众多课程理论中以及实际问题中许也发挥着重要作用，了解如何计算和应用行列式显得尤为重要。

本文首先阐述行列式的基本理论，在此研究的基础上介绍了降阶法，归纳法,化三角形法等几种常见的且有一定技巧的解行列式的方法，并列举了相关的例子，更直观地了解解行列式方法的精髓。

另外，本文又介绍了行列式在解析几何、代数及其他课程当中的应用，进一步加深了对行列式的理解。

最后本文又列举实例阐述行列式在实际当中的应用，实现了行列式的理论与实际相结合。

研究行列式的计算方法及其应用可以提高对行列式的认识，有利于把行列式的研究推向深入。

通过这一系列的方法可以进一步提升对行列式的认识，为以后学习奠定了基础。

关键词：

行列式，因式分解，化三角形法，归纳法，加边法，Matlab软件

Determinantcalculationandapplication

Abstract

Thiscourseinadvancedalgebra,thedeterminantisoneofthemostbasicandimportantcontent,whilemanymathcurriculumtheoryisoneoftheimportantresearchtools,linearalgebra,mathematicalanalysis,analyticgeometry,etc.aswellaspracticalproblemsalsoplaysanimportantroleinunderstandinghowtocalculateandapplythedeterminantisparticularlyimportant.

Thispaperfirstdescribesthebasictheoryofdeterminants,basedonthisstudydescribesthereductionme什inductiontechniquesandacertaincommondeterminantofseveralmethodsofsolutionmethod,themethodofthetriangle,andcitedrelevantexamples,moreintuitiveunderstandingoftheessenceofthesolutiondeterminantmethod・Inaddition,thispaperdescribesthedeterminantinanalyticgeometry,algebraandothercourseswhichfurtherdeepenedtheunderstandingofthedeterminants.Finally,theyprovideexamplesdescribeddeterminantapplicationinpracticetoachieveatheoreticalandpracticaldeterminantcombined・Researchdeterminantcalculationmethodanditsapplicationcanimprovetheunderstandingofthedeterminant,isconducivetodeepen什studyofdeterminants.Youcanfurtherenhancetheunderstandingofthedeterminantsthroughthisseriesofmethods,laidthefoundationforfuturelearning・

Keywords：

determinants,factorizationofatriangle,induction,plussidemethod.Matlabsoftware

1.行列式的定义及性质1

1.1行列式的定义1

1.1.1排列1

1.1.2定义1

1.2行列式的相关性质1

2.行列式的计算方法5

2.1几种特殊行列式的结果5

2.1.1三角行列式5

2.1.2对角行列式5

2.2定义法5

2.3利用行列式的性质计算5

2.4降阶法6

2.5归纳法7

2.6递推法8

2.7拆项法9

2.8用范德蒙德行列式计算10

2.9化三角形法10

2.10加边法11

2.11拉普拉斯定理的运用12

2.12行列式计算的Matlab实验13

3.行列式的应用15

3.1行列式应用在解析几何中15

3.2用行列式表示的三角形面积15

3.3应用行列式分解因式16

3.4利用行列式解代数不等式17

3.5利用行列式来证明拉格朗日中值定理17

3.6行列式在实际中的应用18

总结20

参考文献21

附录122

附录222

附录323

谢辞24

1.行列式的定义及性质

1.1行列式的定义

1.1.1排列⑴

在任意一个排列中，若前面的数大于后面的数，则它们就叫做一个逆序，在任意一个排列中，逆序的总数就叫做这个排列的逆序数.

1.1.2定义⑴

”阶行列式

51"12…5"

a2ian...aln

D=...

Cl。

刀2

就相当于全部不同行、列的朴个元素的乘积

的代数和，这里丿…人是12…丿的一个排列，每一项（1-1-1）都按下列规则带有符号：

当jj2...jn是偶排列时，（1-1-1）是正值，当jj2-j„是奇排列时,

（1-1-1）是负值•这一定义可以表述为

这里力表示对所有川级排列求和.

JlJl'Jn

由于行列指标的地位是对称的，所以为了决定每一项的符号，我们也可以把每一项按照列指标排起来，所以定义又可以表述为

1.2行列式的相关性质

则行列式"叫做行列式D的转置行列式.

性质1行列式和它的转置行列式是相等的叫即D=D.证明：

记D中的一般项n个元素的乘积是

55…％,

它处于D的不同行和不同列，所以它也处于D的不同行和不同列，在”中应是

"川你2…勺"

所以它也是D中的一项•反之.D的每一项也是D的一项，即D和"有相

同的项•再由上面（1-2）

和（1-3）可知这两项的符号也相同，所以D=D.

=Ai+©242+•・•+a济AQ

Cl\\a\2a\n

Cln\心2•…ann

性质3如果行列式的某行（列）的元素都为两个数之和⑵，如

那么行列式D就等于下列两个行列式的和:

al2

…仇

5

⑷2

•…%

D=

b2

…仇

+

q

C2

…5

©2

…%

5

an2

•…ann

可以参照性质2的证明得出结论.

则9=-D

证明：

记D中的一般项中的川个元素的乘积是

饷仙j…切…愀…％・

它在D中处于不同行、不同列，因而在0中也处于不同行、不同的列，所以它也是D的一项.反之，D］中的每一项也是£＞中的一项，所以》和Q有相同的项，且对应的项绝对值相同.

现在看该项的符号：

它在D中的符号为

玖人人…人…人…jj■

由于0是由交换D的两行而得到的，所以行标的n级排列\2ik-n变为"级排列12…"虫…”，而列标的”级排列并没有发生变化.因此Q和卩中每一对相应的项绝对值相等，符号相反，即D严-D.

性质5如果行列式中任有两行元素完全相同，那么行列式为零.

证明：

设该行列式为D,交换D相同的那两行，由性质4可得Q=-D,故D=0.

性质6如若行列式中任有两行或者两列元素相互对应成比例，则行列式为零.

证明：

设”阶行列式中第i行的各个元素为第丿•行的对应元素的&倍，由性质2,可以把R提到行列式外，然后相乘.则剩下的行列式的第i行与第丿•行两行相同，再由性质5,最后得到行列式为零.

性质7把任意一行的倍数加到另一行，行列式的值不改变.

11

a\2

bi

4]+Cd划ai2+cak2

«11

a\2

•…a恤

5

5

…仏

ai\

©2

…g

C%

叫

…C%

-

-

-

+

-

-

-

ak\

ak2

…%

«*!

ak2

…5

5

©2

…％

«nl

~2

…%

®2

…5

5

®2

…细

5

ak2

…%

5

®2

…%

2.行列式的计算方法

2.1几种特殊行列式的结果

2.1.1三角行列式

a\n

5

«21

=%1“22…（上三角行列式）.

fin

0

°=ana22-ann（下三角行列式）•

2.1.2对角行列式

5°

°a22

00

2.2定义法

仇仇b4

例1用定义法证明C,

心

b5

0=0.

证明：

行列式的一般项可表成a}jia2j2a3ha4h伽•列标j3,j4，人只能在123,4,5中取不同的值，故人，人，人三个下标中至少有一个要取3,4,5中的一个数，则任意一项里至少有一个0为因子，故任一项必为零，即原行列式的值为零.

2.3利用行列式的性质计算

例2—个"阶行列式Dn=|«y|的元素都满足=-ajiti,j=1,2,•••,//,那么D”叫做反对称行列式，证明：

奇数阶的反对称行列式的值等于0.

证明:

由佝=一竹知a”=一知，即州=0J=l,2,…/

所以行列式2可写为2=

⑷2

0

・°23

a23

0

a2n

%

再由行列式的性

质2,|A|=A*得到

a\2

0

=（—1）〃

a23

0

=（一1）9「

当并为奇数时,

2.4降阶法

得D”=_D「

因而得到Dn=0.

0•…0

y•…0

例3计算n（n>2）级行列式〃=

0•…x

0•…0

解：

按第一列展开得到

xy0•…00

y0•…00

0xy•…00

xy…00

:

:

:

:

:

+yx（-i严

000…xv

00•…y0

000…0x

5-1）阶

00•…xv

（n-l）ffr

原式=X

=xxx,,H+（-l）（/r+,）xyx/"1

2.5归纳法

形如行列式

a异行列式.

Dfl=

叫做n阶范德蒙（Vandernionde）

下面证明，对每一个n（n>2）,"阶范德蒙行列式就等于绚,“2,…，"”这“个数的所有可能的差％-勺（1

我们对错误!

未找到引用源。

作归纳法.

（2）设对于料-1错误!

未找到引用源。

级的范德蒙行列式，结论是成立的,先来看〃级的情况•在

中，第川行减第错误!

未找到引用源。

行的①倍，第错误!

未找到引用源。

行减第错误!

未找到引用源。

行的①倍，即由下而上逐次地从每一行减它上一行的①倍,得到

1

0a2一a

Dfl=

0ClZ—6/*（

=（«2_5）（如_5）・・g-«i）

最后面这个行列式是级范德蒙德行列式，再由归纳法假设，它的值就是而所有带有厲的差即为上式最后等式行列式的前面.所以,结论对错误!

未找到引用源。

级范德蒙德行列式也是成立的.由数学归纳法，证明了结论.

用连乘号，这个结果可以简写为

1

2.6递推法

就可递推求得

给定一个递推关系式，再给定某一个较低阶初始行列式的值,所给”阶行列式的值，运用这种方法计算的方法就叫做递推法。

111

一个典型的例子是范德蒙德行列式.Dn=

分析：

如果第一行全是1把第一行变出一排0其他位置将会变得不好掌握，所以通过把第一列变出一排0来降阶；并且，为了使降阶后的行列式仍然具有原来的形式，不能用第一行的若干倍加到其他各行的办法，而用逐行变零的方法.

解：

同上题，第"行减第错误!

未找到引用源。

行的①倍，第错误!

未找到引用源。

行减第错误!

未找到引用源。

行的⑷倍，即由下而上逐次地从每一行减它上一行的⑷倍，有

1

0

0

=（a2一⑷）（“3—4）…a—4）。

一1

其中行列式仍然是同样形式的但阶数少1的范德蒙德行列式，所以可以按同样的办法庚复降阶.从上面的计算知道，这样的办法做一次，出现的因式是第一列后面的每列的字母"/咸去第一列的字母的差之积.因此得

D>.=a-勺）a-®）…（勺-®）入

=（勺一4）（©一4）…（勺一4）X（。

3一）（5一“2）…一。

2）2-2

=（①一绚）（山一4）…（~_绚）><（他_幺2）（心_"2）・（心~^2）X7（勺_勺-1）

所以阶范德蒙德行列式为□（©-5）・

l

2.7拆项法

把给定的行列式的某一行或者某一列的元素表述为两数之和的形式，再根据行列式的性质把原行列式表示为两行列式的和的方法叫做拆项法.把一个繁琐的行列式化简为两个简单的行列式，把问题简单化以便于计算.

q+人«2…J

例4计算行列式Dn=5勺+兄2…①

Cl\a2…Cln+A,

6

5

…5

A

…

厶

5

解:

Dn=

+儿

…％

+

0

ciy•…

■

…an+&

0

Cb…

an+血

=以2…血+人入

=…=右兄2…人（1+工扌）.

•】A

2.8用范德蒙德行列式计算

11•••1

222…2”

例5计算0=332•-3"

解：

D”中的各行元素都各自是一个数不同的方幕，方幕的次数从左到右依次递升，次数由1递升至“.提取出每一行的公因数，那么方眾的次数就由0增至”一1,得到

11••-1

122…2曲

Dn=nl132…3心

上等式右端的行列式是〃阶范德蒙德行列式，由（2-5-1）公式得

=川（2_1）（3_1）…⑺_1）・（3_2）（4_2）・"_2）・-[n-（n-l）]

=川（〃一1）!

（刃一2）!

・・2!

1!

2.9化三角形法

把原有的行列式简化为上（下）三角形或者对角形或者阶梯形行列式计算的方法叫做化三角形法。

X|_mx2

例6母

心一〃7

解：

将第次3、…、n列的元素都加到第一列上，提出公因式，得

_斤+“（i=2,3,…/）（工兀-in）

=（養-加）（-刖.r-l

2.10加边法

加边法是把原来的行列式加上一行，一列然后再利用性质简化进行计算的方

法。

它的一般做法是:

特殊情况取绚=a2=-=an=1或％=〃2=••・=仇=1・让我们以例6为例

-1

5（-抚）

2.11拉普拉斯定理的运用

拉普拉斯定理：

设任意取定行列式D中的k（\就等于这k行元素所构成的所有£级子式和它们的代数余子式的乘积的和.

解：

由拉普拉斯展开定理，按照第1行和第2〃列展开得

D”=（仆厶一gcJD心

2（〃-1）阶的行列式也按同样方法展开，得

2=（。

同一加锐。

2〃2一仇门）。

一2

2.12行列式计算的Matlab实验

除了上述几种常规方法，还可以借助一些数学软件进行计算，它不仅简便易

（135、

例8求矩阵242的行列式.

、639丿

用Matlab编程

»A=[135;242;639]

»det（A）

运行后得到结果为-7&（见附录1）

例9解方程组

“+小+£+兀4=4

x,+2x2一X3+4x4=6

<

2xj—3兀2—兀3_5工4=_7

3%|+x2+2兀3+11"=17

用Matlab编程

»A=[1111;12-14;2-3-1・5;31211]

»b=[46-717]'

»x=inv（A）*b

州=1

运行后得到结果为\X1=\（见附录2）

x3=1

Matlab可以进行符号运算，首先应对数学式将用到的符号用语句syms定

义.

例10求行列式""的值.

cd

用Matlab编程

»symsabed

»A=[ab;cd]

»det（A）

运行后得到结果为a*d-b*c.（见附录3）

3.行列式的应用

3.1行列式应用在解析几何中

根据齐次线性方程组有非零解的充要条件这一重要结论，在中学解析几何中直线方程、圆锥曲线方程中可以给出行列式的形式.

例11求解过点（1，半］和（一弓，而且焦点在％轴上的椭圆方程.

7

解：

设所求的椭圆方程为4+4=1,如果点（册,”）和区,弘）在椭圆上,cr

丁1，1[c

厂正+厂•戸-2。

1,Itn

7•厂〒uo

卅十+y冷一1=0

•>

JT

•>

X；

把它看成是关于右+和-】的齐次线性方程组，由于它有非零解，故椭圆方程可写为

y21

X1=0,

元1

代值得

2

1

1=0,

1

。

厂：

r1妥

9

639

T64

32

1

11

1—

*>

色1

:

r+

9

639

=0.

1

16

164

32

T

9

4

解得

3.2用行列式表示的三角形面积

例12在一个平面内以三点Q（x2.y2）,^（心‘儿）为顶点的'PQR的

儿1

面积S,

儿1的绝对值.

儿1

证明：

把平面中P（xl,yl\Q（x2.y2\R（x3.y3）为三点扩充到三维空间里，设它的坐标分别为（片，儿灯,（花宀山），（兀3?

3山）,R是任意的常数・则：

P<2=（x2-xpy2-yp0）,P/?

=（x3-xpy3-yI,O）

—―兀>一旺>2一

P0xP/?

=（O,O,「1,1）

®一召儿一X

\PQR面积为

S=［屈网sin

2・||

X、＞31||

3.3应用行列式分解因式

利用行列式分解因式主要在于构造，再根据行列式的性质来计算，以便于提取公因式.

例13解因式x3+x2-x+2.

解：

X3+x2-x+2=x2（x+\）-（x-2）

=X~X~2（把第一列加到第二列）

1X+1

_X2x2+x-2

1x+2

（X—1）

=（x+2）（x2一兀+1）

3.4利用行列式解代数不等式

例14求证不等式>abc,其中a,b,ceR~.

3

证明：

要证明+Z?

?

+C?

>abc,只需证明/+戾+，一3"20；3

abc

a3+b3+c3-3abc=ca〃（把第二行、第三行各自加到第一行）

bca

a+b+ca+b+ca+b+c

=cab

bca

111

=（«+/?

+c）cab

bca

=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-be-ac）

=（a+b+c）[（a-b）2+（a-c）2+（Z?

-c）2]

因为a、b、ce/?

■，所以/+b'+c3-3abe>0,故""十'>"e得证.

3

3.5利用行列式来证明拉格朗日中值定理⑵

证明拉格朗日中值定理时，一般要构建一个辅导函数，让它满足罗尔定理，于是一般要构建一个辅导函数，让它满足定理中的条件，从而得到结论.下面给出证明.

拉格朗日中值定理

设函数/满足条件

（1）/在闭区间⑺上］上连续，

（2）/在开区间（“,/?

）上可导，则在内至少存在有一点g,使得：

f心牛凹

b-a

构建行列式型的辅助函数来证明

af（a）1

证明：

设①（x）=bf（b）1

A"/«1

因/（x）在［a,b］±是连续的，在（a,b）内是可导的,故①（x）在0,方］上是连续

的，在（匕彷）内是可导的，且①（°）=①（b）=0,故由罗尔定理得，至少存在有一点e（a,b）,使得

"f（a）1

a

f（a）1

①忆）=

bf（b）1

二

b—a

1

=0

1/V）o

1

fM1

所以

f（歹）_

b-a

3.6行列式在实际中的应用

行列式在许多工程上的问题上，特别是在电子工程和控制论，能用拉普拉斯变换进行分析，在经济管理和工业生产中也有着很普遍的应用，可以根据行列式的性质来解决一部分工程中的现实的问题.

例15现有三块草地人工饲养羊，草地的草是一样密集，生长速度也一样.

这三块草地的面积分别为3丄亩、10亩和24亩，第一块草地饲养12只羊可维持

3

4周；第二块草地饲养21只羊可支撑9周，问在第三块草地上应豢养几只羊恰巧能支撑18周?

解：

设每亩草地有草xkg,每周每亩生长新草ykg,第三片牧场可饲养z只羊，每只羊每周吃草“畑，由题意，得

3-X+3—・4y=12a・4,

33「

<10x+10・9y=2la-9,

24x+24•18y=18a-z,

即

1Ox+40y-144ii=0.

<1Ox+90y-189a=0,4x+72v-3z6/=0.

可以得到，这是以为未知数的齐次线性方程组，由于它有非零解，故它的系数行列式

1040・144

D=1090-189=0

472-3z

展开后得z=36,即可以在第三块草地饲养36只羊维持18周.

总结

行列式从线性方程组的问题引出来，成为线性代数中一个最基本的工具•在高深的髙等数学领域里和现实生活里的实际问题当中，都有着直接或者间接的联系.

行列式一般有很多种计算方法，综合性要求也很高，比较灵活，这就要求我们平时在学习当中多练习多总结.一般常用来计算行列式的方法主要有降阶法，归纳法，