行列式的计算方法论文范文.docx

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华北水利水电学院

行列式的计算方法

课程名称：

线性代数

专业班级：

成员组成：

联系方式：

2012年11月4日

行列式的计算方法

摘要：

线性代数是大学数学教育中一门主要基础课程，而行列式又是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，因此学会怎样计算行列式对你学好线性代数这门课程有和大的帮助。

下文是关于行列式的计算方法的一些总结和归纳，其中共总结了10种方法，并附有关于此方法的应用的案例、例题，介绍一些解题技巧。

关键词：

行列式计算方法性质例题

Abstract:

linearalgebraistheuniversitymathematicseducationisamainbasiccourse,andcolumntypeisalsothehigheralgebrabasicandimportantsubjectinone,inthemathematicsofawiderangeofapplications,solearnhowtocomputethedeterminantinlinearalgebraforyoutolearnthecourseandgreathelp.Thefollowingisaboutthecalculatingmethodsofdeterminantofsomesummaryandconclusion,whichweresummarized10kindsofmethods,andwiththeapplicationofthismethodtothecase,example,introducessomeproblemsolvingskill.

Keywords:

determinantcalculationmethodcharacterexample.

一、前言

随着科学技术的发展，很多前沿科学都需要运用行列式。

现在高等教学已经开设课程。

但是同学们对于行列式的计算方法的掌握还是有所不足。

遂列举一些行列式的计算方法。

二、方法解析

方法1利用范德蒙行列式

范德蒙行列式：

根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质——如：

提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去；...）把所求行列式化成已知的或简单的形式。

其中范德蒙行列式就是一种。

这种变形法是计算行列式最常用的方法。

例1：

计算n阶行列式

解：

显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。

先将的第n行依次与第n-1行，n-2行，…,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n行与第n-1行，n-2行，…,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n行与第n-1行对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+…+2+1=n（n-1）/2次行对换后，得到

上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得：

方法2利用拉普拉斯定理法

拉普拉斯定理的四种特殊情形：

1）2）

3）4）

拉普拉斯定理，在计算行列式时，主要应用k=1的情形，而很少用一般形式，不过当行列式里零元素很多时，运用一般情形的拉普拉斯定理，往往会给行列式的计算带来方便。

例2：

计算n阶行列式：

解：

方法3　化三角形法

化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。

这是计算行列式的基本方法重要方法之一。

因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。

原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。

但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。

因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。

例3：

计算行列式．

解：

这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算．

例4：

计算n阶行列式

解：

这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得

方法4　按行（列）展开法（降阶法）

设为阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有

或　

其中为中的元素的代数余子式

按行（列）展开法可以将一个n阶行列式化为n个n-1阶行列式计算。

若继续使用按行（列）展开法，可以将n阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。

但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。

利用行列式按行按列展开定理将高阶行列式转化为低阶行列式求解的方法叫做降阶法。

他可以分为直接降阶法和递推降阶法，直接降阶法用于只需经少量几次讲解就可以求的行列式值的情况。

递推降阶法用于须经多次降阶才能求解，并且较低阶行列式与原行列式有相同结构的情况。

例5：

计算20阶行列式

解：

方法5加边法（升阶法）

有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。

加鞭法最大特点是要找到每行或每航相同的因子，那么升阶，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到使计算简单的目的。

它要求：

1保持原行列式的值不变；2新行列式的值容易计算。

根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。

加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其第列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况。

加边法的一般做法是：

特殊情况取或

例6：

计算n（n≥2）阶行列式，其中．

解：

先将添上一行一列，变成下面的阶行列式：

．显然，．

将的第一行乘以后加到其余各行，得．

因，将上面这个行列式第一列加第i（，…，）列的倍，得：

例7：

计算级行列式

解：

加边得　

第一行乘以（-1）分别加到其余各行，化为爪形行列式

＝

＝＝

方法6　递（逆）推法

应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。

递推法是根据行列式的构造特点，建立起与 的递推关系式，逐步推下去，从而求出的值。

有时也可以找到与，的递推关系，最后利用 ，得到  的值。

这种计算行列式的方法称为递推法。

［注意］用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。

例8：

计算n阶行列式．

解：

首先建立递推关系式．按第一列展开，得：

这里与有相同的结构，但阶数是的行列式．

现在，利用递推关系式计算结果．对此，只需反复进行代换，得：

因，故．

最后，用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的．

当时，显然成立．设对阶的情形结果正确，往证对n阶的情形也正确．由

可知，对n阶的行列式结果也成立．根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立．

例9：

计算阶行列式＝

解：

按第一行展开，得

＝

即

由此递推，即得①

由于中与对称，则有②

当时，由①，②得＝

当时，＝＝

＝＝

方法7　分拆法

由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同。

拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的。

使问题简化以利计算。

例10：

计算行列式

解：

=……

方法8因式分解法

如果行列式D中有一些元素是变数x（或某个参变数）的多项式，那么可以将行列式D当作一个多项式f（x），然后对行列式施行某些变换，求出f（x）的互素的一次因式，使得f（x）与这些因式的乘积g（x）只相差一个常数因子C，根据多项式相等的定义，比较f（x）与g（x）的某一项的系数，求出C值，便可求得D=Cg（x）。

那在什么情况下才能用呢？

要看行列式中的两行（其中含变数x），若x等于某一数a1时，使得两行相同，根据行列式的性质，可使得D=0。

那么xa1便是一个一次因式，再找其他的互异数使得D=0，即得到与D阶数相同的互素一次因式，那么便可用此法。

例11：

计算行列式.

解:

注意时，所以，.同理均为的因式

又与各不相同所以

但的展开式中最高次项的系数为1，所以

注：

此题也可将的第行减去第一行化为三角形行列式计算

方法9数学归纳法

当与  是同型的行列式时，一般可考虑用数学归纳法求之。

一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。

因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。

因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。

例12：

证明：

解：

当时，有：

结论显然成立。

现假定结论对小于等于时成立。

即有：

将按第1列展开，得：

故当对时，等式也成立。

得证。

接下来介绍一些特殊的行列式计算方法，但却很实用。

例13：

计算级行列式＝

解：

当时，＝

当时，＝

于是猜想＝.下面用数学归纳法证明

（1）当时，显然成立

（2）假设当时成立，即＝

当时，将按第一列展开，易得

＝

由归纳假设＝，故得

＝

所以猜想成立．即＝

方法10利用行列式的性质计算

性质1：

行列互换，行列式的值不变即。

。

性质2：

一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式）即

=k

特殊形式（如果行列式中一行为零，那么行列式为零）。

性质3：

如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。

即

。

性质4：

如果行列式中两行（列）相同，那么行列式为零。

（两行相同就是说两行对应元素都相同）。

性质5：

如果行列式中两行成比例。

那么行列式为零。

即

。

性质6：

把一行的倍数加到另一行，行列式不变。

即

性质7：

对换行列式中两行的位置，行列式反号。

即

例14:

一个n阶行列式的元素满足则称Dn为反对称行列式，证明：

奇数阶反对称行列式为零.

解：

由知，即

故行列式Dn可表示为，由行列式的性质，

当n为奇数时，得Dn=－Dn，因而得Dn=0.

例15：

计算级行列式

解：

原式

参考文献：

（1）李师正,高等代数复习解题方法与技巧.高等教育出版社,2005

（2）许甫华，张贤科.高等代数解题方法.北京：

清华大学出版社，2001

（3）北大数学系《高等代数》高等教育出版社，1988

（4）各高校历年研究生入学考试试卷