完整版概率论与数理统计知识点总结可编辑修改word版.docx

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完整版概率论与数理统计知识点总结可编辑修改word版

第1章随机事件及其概率

（1）随

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果

机试验

不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则

和随机

称这种试验为随机试验。

事件

试验的可能结果称为随机事件。

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事

件，它具有如下性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

（2）基

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

本事

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。

件、样

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。

本空间

一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件）组成的集合。

通常用大

和事件

写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。

Ω为必然事件，Ø为不可能事件。

不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一

定是必然事件。

①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B

（3）事

发生）：

A⊂B

件的关

如果同时有A⊂B，B⊃A，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：

系与运

A=B。

算

A、B中至少有一个发生的事件：

AB，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，

也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。

A、B同时发生：

AB，或者AB。

AB=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。

基本事件是互不相容的。

Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。

它表示A

不发生的事件。

互斥未必对立。

②运算：

结合率：

A（BC）=（AB）CA∪（B∪C）=（A∪B）∪C

分配率：

（AB）∪C=（A∪C）∩（B∪C）（A∪B）∩C=（AC）∪（BC）

∞∞

德摩根率：

Ai=Ai，

i=1i=1AB=ABAB=AB

（4）概率的公理化定义

设Ω为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P（A），若满足下列三个条件：

1°0≤P（A）≤1，

2°P（Ω）=1

3°对于两两互不相容的事件A1，A2，…有

⎛∞⎫∞

PçAi⎪=∑P（Ai）

⎝i=1⎭i=1

则称P（A）为事件A的概率。

（5）古典概型

1°Ω={1,2n}，

2°P（）=P（）=P（）=1。

12nn

设任一事件A，它是由1,2m组成的，则有

P（A）={

（1）

（2）（m）}=P

（1）+P

（2）++P（m）

=m=A所包含的基本事件数n基本事件总数

（6）几何概型

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，

则称此随机试验为几何概型。

对任一事件A，

P（A）=L（A）。

其中L为几何度量（长度、面积、体积）。

L（Ω）

（7）加法公式

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

当AB不相容P（AB）＝0时，P（A+B）=P（A）+P（B）

当AB独立，P（AB）=P（A）P（B）,P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）

（8）减法公式

P（A-B）=P（A）-P（AB）

当B⊂A时，P（A-B）=P（A）-P（B）当A=Ω时，P（B）=1-P（B）

（9）条件概率

定义设A、B是两个事件，且P（A）>0，则称P（AB）为事件A发生条

P（A）

件下，事件B发生的条件概率，记为P（B/A）=P（AB）。

P（A）

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P（Ω/B）=1⇒P（B/A）=1-P（B/A）

（10）乘法公

式

乘法公式：

P（AB）=P（A）P（B/A）

更一般地，对事件A1，A2，…An，若P（A1A2…An-1）>0，则有

P（A1A2…An）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）……P（An|A1A2…An-1）。

（11）独立性

①两个事件的独立性

设事件A、B满足P（AB）=P（A）P（B），则称事件A、B是相互独立的。

若事件A、B相互独立，且P（A）>0，则有

P（B|A）=P（AB）=P（A）P（B）=P（B）P（A）P（A）

若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。

必然事件Ω和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。

Ø与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P（AB）=P（A）P（B）；P（BC）=P（B）P（C）；P（CA）=P（C）P（A）

并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

（12）全概公式

设事件B1,B2,,Bn满足

1°B1,B2,,Bn两两互不相容，P（Bi）>0（i=1,2,,n），

n

A⊂Bi

2°i=1，

则有

P（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）++P（Bn）P（A|Bn）。

全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题，全概率公式的题型：

将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；

（13）贝叶斯公式

设事件B1，B2，…，Bn及A满足

1°B1，B2，…，Bn两两互不相容，P（Bi）>0，i=1，2，…，n，

n

A⊂Bi

2°i=1，P（A）>0，

则

P（B/A）=P（Bi）P（A/Bi），i=1，2，…n。

in

∑P（Bj）P（A/Bj）

j=1

此公式即为贝叶斯公式。

P（Bi），（i=1，2，…，n），通常叫先验概率。

P（Bi/A），（i=1，2，…，n），通常称为后验概率。

贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

将试验可看成分为两步做，如果求

在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用贝叶斯公式。

（14）伯努利概型

我们作了n次试验，且满足

◆每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；

◆n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；

◆每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。

用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1-p=q，用Pn（k）

表示n重伯努利试验中A出现k（0≤k≤n）次的概率，

Pn（k）=Ckpkqn-kk=0,1,2,,n

n，。

第二章随机变量及其分布

（1）

设离散型随机变量X的可能取值为Xk（k=1,2,…）且取各个值的概率，即事件（X=Xk）的概率为P（X=xk）=pk，k=1,2,…，

则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。

有时也用分布列的形式给出：

X|x1,x2,,xk,

P（X=xk）p1,p2,,pk,。

显然分布律应满足下列条件：

∞

（1）p，，

（2）∑pk=1。

k≥0k=1,2,k=1

离散

型随

机变

量的

分布

律

（2）

设F（x）是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f（x），对任意实数

x，有

x

F（x）=⎰-∞f（x）dx，

则称X为连续型随机变量。

f（x）称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

密度函数具有下面4个性质：

1、f（x）≥0。

+∞

2、⎰-∞f（x）dx=1。

3、P（x

1221⎰x

1

4、P（x=a）=0,a为常数，连续型随机变量取个别值的概率为0

连续

型随

机变

量的

分布

密度

（3）分布函数

设X为随机变量，x是任意实数，则函数F（x）=P（X≤x）

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

P（a

分布函数F（x）表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率。

分布函数具有如下性质：

1°0≤F（x）≤1,-∞

2°F（x）是单调不减的函数，即x1

3°F（-∞）=limF（x）=0，F（+∞）=limF（x）=1；

x→-∞x→+∞

4°F（x+0）=F（x），即F（x）是右连续的；

5°P（X=x）=F（x）-F（x-0）。

对于离散型随机变量，F（x）=∑pk；

xk≤x

x

对于连续型随机变量，F（x）=⎰f（x）dx。

-∞

（4）六大分布

0-1分

布

P（X=1）=p,P（X=0）=q

二项分布

在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。

事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2,,n。

P（X=k）=Pn（k）=Ckpkqn-k，其中q=1-p,0

n

则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。

记为X~B（n,p）。

当n=1时，P（X=k）=pkq1-k，k=0.1，这就是（0-1）分布，所

以（0-1）分布是二项分布的特例。

泊松分布

设随机变量X的分布律为

k-

P（X=k）=e，>0，k=0,1,2，

k!

则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X~（）或者

P（）。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。

均匀分布

设随机变量X的值只落在[a，b]内，其密度函数f（x）在[a，b]

上为常数1，即

b-a

⎧1,a≤x≤b

f（x）=⎪b-a

⎨⎪其他，

⎩0,

则称随机变量X在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U（a，b）。

分布函数为

0，x

x-a,

b-aa≤x≤b

x

F（x）=⎰-∞f（x）dx=

1，x>b。

当a≤x1

P（x

12b-a

指数分布

e-x,x≥0,

f（x）=

0,x<0,

其中>0，则称随机变量X服从参数为的指数分布。

F（x）=21

⎰-x∞e-（t2-2）2dt

正态分布

设随机变量X的密度函数为

2

1-（x-）

f（x）=e22，-∞

2

其中、>0为常数，则称随机变量X服从参数为、的

正态分布或高斯（Gauss）分布，记为X~N（,2）。

f（x）具有如下性质：

1°f（x）的图形是关于x=对称的；

2°当x=时，f（）=1为最大值；

2

若X~N（,2），则X的分布函数为

参数=0、=1时的正态分布称为标准正态分布，记为

X~N（0,1），其-x2密度函数记为

（x）=1e2

2，-∞

分布函数为

2

1x-t

Φ（x）=⎰e2dt。

2-∞

Φ（x）是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

Φ（-x）＝1-Φ（x）且Φ（0）＝1。

2

如果X~N（,2），则X-~N（0,1）。

P（x

12ç⎪ç⎪

⎝⎭⎝⎭

（6）分位

数

下分位表：

P（X≤）＝；上分位表：

P（X>）＝。

（7）函数

的分

布函数

离散型

已知X的分布列为

Xx1,x2,,xn,，

P（X=xi）p1,p2,,pn,

Y=g（X）的分布列（yi=g（xi）互不相等）如下：

Yg（x1）,g（x2）,,g（xn）,，

P（Y=yi）p1,p2,,pn,

若有某些g（xi）相等，则应将对应的pi相加作为g（xi）的概率。

连续型

先利用X的概率密度fX（x）写出Y的分布函数FY（y）＝P（g（X）

≤y），再利用变上下限积分的求导公式求出fY（y）。

Y

X

y1

y2

…

yj

…

x1

p11

p12

…

p1j

…

x2

p21

p22

…

p2j

…

xi

pi1

…

pij

…

第三章二维随机变量及其分布

（1）联合分布

离散型

如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随机量。

设=（X，Y）的所有可能取值为（xi,yj）（i,j=1,2,），且事

件{=（xi,yj）}的概率为pij,,称

P{（X,Y）=（xi,yj）}=pij（i,j=1,2,）

为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。

联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：

这里pij具有下面两个性质：

（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；

（2）∑∑pij=1.

ij

连续型

对于二维随机向量=（X,Y），如果存在非负函数f（x,y）（-∞

P{（X,Y）∈D}=⎰⎰f（x,y）dxdy,

D

则称为连续型随机向量；并称f（x,y）为=（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。

分布密度f（x,y）具有下面两个性质：

（1）f（x,y）≥0;

+∞+∞

（2）⎰-∞⎰-∞f（x,y）dxdy=1.

2联合分布函数

设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

F（x,y）=P{X≤x,Y≤y}

称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件

{（1,2）|-∞

（1）≤x,-∞

（2）≤y}的概率为函数值的一个实值函数。

分布函数F（x,y）具有以下的基本性质：

（1）0≤F（x,y）≤1;

（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即

当x2>x1时，有F（x2,y）≥F（x1,y）;当y2>y1时，有F（x,y2）≥

F（x,y1）;

（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即

F（x,y）=F（x+0,y）,F（x,y）=F（x,y+0）;

（4）F（-∞,-∞）=F（-∞,y）=F（x,-∞）=0,F（+∞,+∞）=1.

（5）对于x1

P（x1

3边缘分布

离散型

X的边缘分布为

Pi∙=P（X=xi）=∑pij（i,j=1,2,）；

j

Y的边缘分布为

P∙j=P（Y=yj）=∑pij（i,j=1,2,）。

i

连续型

X的边缘分布密度为

+∞

fX（x）=⎰-∞f（x,y）dy

Y的边缘分布密度为

+∞

fY（y）=⎰-∞f（x,y）dx.

4条件分布

离散型

在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为

P（Y=y|X=x）=pij

jip

i∙

在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为

P（X=x|Y=y）=pij,

ijp

∙j

连续型

在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为

f（x|y）=f（x,y）；

fY（y）

在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为

f（y|x）=f（x,y）

fX（x）

5独立性

一般型

F（X,Y）=FX（x）FY（y）

离散型

pij=pi∙p∙j

有零不独立

连续型

f（x,y）=fX（x）fY（y）

直接判断，充要条件：

①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

二维正态分布

1⎡⎛x-⎫22（x-）（y-）⎛y-⎫2⎤

-⎢ç1⎪-12+ç2⎪⎥

f（x,y）=1e2（1-2）⎢⎝1⎭12⎝2⎭⎥,

⎣⎦

21-2

12

＝0

随机变量的函数

若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则：

h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。

特例：

若X与Y独立，则：

h（X）和g（Y）独立。

例如：

若X与Y独立，则：

3X+1和5Y-2独立。

6二维均匀分布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

⎧1（x,y）∈D

⎪S

f（x,y）=⎪D

⎨

⎪0,其他

⎪

⎩

其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，

Y）～U（D）。

图3.2

7正态分布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

1⎡⎛x-⎫22（x-）（y-）⎛y-⎫2⎤

1-⎢ç1⎪-12+ç2⎪⎥

f（x,y）=e2（1-）⎢⎝1⎭12⎝2⎭⎥,

2

⎣⎦

21-2

12

其中1,2,1>0,2>0,||<1是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，

记为（X，Y）～N（,2,2,）.

12,12

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，

即X～N（,2）,Y~N

（2）.

112,2

但是若X～N（,2）,Y~N

（2），（X，Y）未必是二维正态分布。

112,2

8函数的分布

Z=X+Y

根据定义计算：

FZ（z）=P（Z≤z）=P（X+Y≤z）

+∞

对于连续型，fZ（z）＝⎰f（x,z-x）dx

-∞

两个独立的正态分布的和仍为正态分布（+,2+2）。

1212

n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

=∑C，2=∑C22

iiii

ii

Z=max,m

若X1,X2Xn相互独立，其分布函数分别为Fx1（x），Fx2（x）Fxn（x），则Z=max,min（X1,X2,…Xn）的分布函数为：

Fmax（x）=Fx1（x）∙Fx2（x）Fxn（x）

Fmin（x）=1-[1-Fx1（x）]∙[1-Fx2（x）][1-Fxn（x）]

in（X1,X2

…Xn）

第四章随机变量的数字特征

（1）一

离散型

连续型

维随机

期望

设X是离散型随机变量，其分布律为P（X=xk）＝pk，k=1,2,…,n，

n

E（X）=∑xkpk

k=1

（要求绝对收敛）

设X是连续型随机变量，其概率密度为f（x），

+∞

E（X）=⎰xf（x）dx

-∞

（要求绝对收敛）

变量的

期望就是

数字特

平均值

征

函数的期

Y=g（X）

n

E（Y）=∑g（xk）pkk=1

Y=g（X）

+∞

E（Y）=⎰g（x）f（x）dx

-∞

望

方差

D（X）=∑[xk-E（X）]p

2

k

+∞

k

D（X）=⎰[x-E（X）]2f（x）dx

-∞

D（X