高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量109离散型随机变量的均值与方差课时提升作业理.docx

高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量109离散型随机变量的均值与方差课时提升作业理.docx

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高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量109离散型随机变量的均值与方差课时提升作业理

【2019最新】精选高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量10-9离散型随机变量的均值与方差课时提升作业理

（25分钟　60分）

一、选择题（每小题5分,共25分）

1.（2016·马鞍山模拟）设X为随机变量,X～B,若随机变量X的数学期望E（X）=2,则P（X=2）等于　（　　）

A.　　　B.　　　C.　　　D.

【解析】选D.因为X～B,E（X）==2,所以n=6,所以P（X=2）=

=.

2.（2016·中山模拟）已知离散型随机变量X的分布列为

X

-1

0

1

P

x

则X的数学期望E（X）=　（　　）

A.-B.C.D.

【解析】选B.依题意得:

+x+=1,所以x=.E（X）=（-1）×+0×+1×=.

【加固训练】（2016·秦皇岛模拟）签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签,从中任意取3支,设X为这3支签的号码之中最大的一个,则X的数学期望为　（　　）

A.5　　B.5.25　C.5.8　　D.4.6

【解析】选B.由题意可知,X可以取3,4,5,6,P（X=3）==,

P（X=4）==,P（X=5）==,P（X=6）==.由数学期望的定义可求得E（X）=5.25.

3.（2016·保定模拟）某班举行了一次“心有灵犀”的活动,教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学,这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分,猜不对得0分,则这两个同学各猜1次,得分之和X（单位:

分）的数学期望为　（　　）

A.0.9B.0.8C.1.2D.1.1

【解题提示】先求X的分布列,再代入E（X）的公式计算.

【解析】选A.由题意得X=0,1,2,则P（X=0）=0.6×0.5=0.3,P（X=1）=0.4×0.5+0.6×0.5=0.5,P（X=2）=0.4×0.5=0.2,所以E（X）=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9（分）.

4.体育课的排球发球项目考试的规则是:

每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p（p≠0）,发球次数为X,若X的数学期望E（X）>1.75,则p的取值范围是　（　　）

A.（0,）B.（,1）

C.（0,）D.

【解析】选C.由已知条件可得P（X=1）=p,P（X=2）=（1-p）p,P（X=3）=（1-p）2p+

（1-p）3=（1-p）2,

则E（X）=P（X=1）+2P（X=2）+3P（X=3）=p+2（1-p）p+3（1-p）2=p2-3p+3>1.75,解得p>或p<,又由p∈（0,1）,可得p∈（0,）.

5.（2016·泸州模拟）利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案

是　（　　）

A.A1B.A2C.A3D.A4

【解题提示】先求出四种方案A1,A2,A3,A4盈利的均值,再结合均值大小作出判断.

【解析】选C.方案A1,A2,A3,A4盈利的均值分别是:

A1:

50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7;

A2:

70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5;

A3:

-20×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7;

A4:

98×0.25+82×0.30-10×0.45=44.6.

所以A3盈利的均值最大,所以应选择A3.

二、填空题（每小题5分,共15分）

6.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,有放回地任取3件,若取到一件次品得2分,用Y表示得分数,则D（Y）=　　　　.

【解析】设X表示取到的次品数,则Y=2X.

由题意知取到次品的概率为,

所以X～B,

D（X）=3××=,

故D（Y）=D（2X）=4D（X）=4×=.

答案:

7.（2016·武汉模拟）某射手射击所得环数ξ的分布列如下:

ξ

7

8

9

10

P

x

0.1

0.3

y

已知ξ的期望E（ξ）=8.9,则y的值为　　　　.

【解析】依题意得

即

解得

答案:

0.4

【加固训练】已知随机变量ξ的分布列为

ξ

1

2

3

P

0.5

x

y

若E（ξ）=,则D（ξ）=　　　　.

【解析】由分布列性质,得x+y=0.5.

又E（ξ）=,得2x+3y=,

可得x=,y=.

D（ξ）=·+·+·=.

答案:

8.（2016·张家界模拟）已知随机变量ξ所有的取值为1,2,3,对应的概率依次为p1,p2,p1,若随机变量ξ的方差D（ξ）=,则p1+p2的值是　　　　.

【解题提示】由分布列的性质可得2p1+p2=1,由数学期望的计算公式可得E（ξ）的值,由方差的计算公式可得D（ξ）,进而即可解得p1,p2.

【解析】由分布列的性质可得2p1+p2=1,（*）

由数学期望的计算公式可得E（ξ）=1×p1+2×p2+3×p1=2（2p1+p2）=2.

由方差的计算公式可得D（ξ）=（1-2）2p1+（2-2）2p2+（3-2）2p1=2p1=,解得p1=,

把p1=代入（*）得2×+p2=1.

解得p2=,所以p1+p2=+=.

答案:

三、解答题（每小题10分,共20分）

9.（2016·广州模拟）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个,其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2,3,4,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.

（1）若左右手各取一球,求两只手中所取的球颜色不同的概率.

（2）若左右手依次各取两球,称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球的成功取法次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.

【解析】

（1）设事件A为“两手所取的球不同色”,

则P（A）=1-=.

（2）依题意,X的可能取值为0,1,2.

左手所取的两球颜色相同的概率为=,

右手所取的两球颜色相同的概率为=,

P（X=0）==×=,

P（X=1）=×+×=,

P（X=2）=×=.

所以X的分布列为:

X

0

1

2

P

E（X）=0×+1×+2×=.

10.（2016·合肥模拟）某投资公司在2015年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:

项目一:

新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和;

项目二:

通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,和.

针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.

【解析】若按“项目一”投资,设获利为X1万元,则X1的分布列为

X1

300

-150

P

所以E（X1）=300×+（-150）×=200（万元）,

D（X1）=（300-200）2×+（-150-200）2×=35000.

若按“项目二”投资,设获利为X2万元,

则X2的分布列为

X2

500

-300

0

P

所以E（X2）=500×+（-300）×+0×=200（万元）,

D（X2）=（500-200）2×+（-300-200）2×+（0-200）2×=140000.

所以E（X1）=E（X2）,D（X1）

综上所述,建议投资公司选择项目一投资.

（20分钟　40分）

1.（5分）甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望E（ξ）为　（　　）

A.B.C.D.

【解析】选B.依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6.

设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为+=,若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响,从而有P（ξ=2）=,P（ξ=4）=×=,P（ξ=6）==.

E（ξ）=2×+4×+6×=.

2.（5分）（2016·安阳模拟）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c,a,b,c∈（0,1）,已知他投篮一次得分的数学期望为1（不计其他得分情况）,则ab的最大值为　　　.

【解析】由已知3a+2b+0×c=1,所以3a+2b=1,

所以ab=·3a·2b≤·=,

当且仅当a=,b=时取“=”.

答案:

3.（5分）（2016·大同模拟）随机变量ξ的分布列为

ξ

-1

0

1

P

a

b

c

其中a,b,c成等差数列,若E（ξ）=,则D（ξ）=　　　　.

【解析】由a,b,c成等差数列及分布列性质得,

解得b=,a=,c=.

所以D（ξ）=×+×+×=.

答案:

【加固训练】若X是离散型随机变量,P（X=x1）=,P（X=x2）=,且x1

A.　　　　　　B.

C.3　　　D.

【解析】选C.分析已知条件,利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式得:

解得

或

又因为x1

4.（12分）（2016·郑州模拟）现有甲、乙、丙三人参加某电视的一档应聘节目,若甲应聘成功的概率为,乙、丙应聘成功的概率均为（0

（1）若乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率,求t的值.

（2）若t=,求三人中恰有两人应聘成功的概率.

（3）记应聘成功的人数为ξ,若当且仅当ξ=2时对应的概率最大,求E（ξ）的取值范围.

【解析】

（1）由题意可得:

2×=,解得t=1.

（2）由条件知三人恰有两人应聘成功的概率

P=·++·=.

因为t=,则P=,

所以三人中恰有两人应聘成功的概率为.

（3）由题意知:

ξ的所有可能取值为0,1,2,3,

P（ξ=0）==;

P（ξ=1）=+（1-）+=;

P（ξ=2）=++=;

P（ξ=3）=××=.

所以得ξ的分布列为

ξ

0

1

2

3

P

则E（ξ）=0×+1×+2×+3×=t+,

由题意P（ξ=2）-P（ξ=1）=>0;

P（ξ=2）-P（ξ=0）=>0;

P（ξ=2）-P（ξ=3）=>0;

所以1

所以

5.（13分）（2016·成都模拟）“十一黄金周”期间某市再次迎来了客流高峰,小李从该市的A地到B地有L1,L2两条路线（如图）,L1路线上有A1,A2,A3三个路口,各路口遇到堵塞的概率均为;L2路线上有B1,B2两个路口,各路口遇到堵塞的概率依次为,.

（1）若走L1路线,求最多遇到1次堵塞的概率.

（2）按照“平均遇到堵塞次数最少”的要求,请你帮助小李从上述两条路线中选择一条最好的出行路线,并说明理由.

【解析】

（1）设走L1路线,最多遇到1次堵塞为A事件,

则P（A）=×+××=,

故走L1路线,最多遇到1次堵塞的概率为.

（2）设走L2路线,遇到堵塞的次数为X,则X的可能取值为0,1,2,

P（X=0）=×=,

P（X=1）=×+×=,

P（X=2）=×=,

则E（X）=×0+×1+×2=,

设走L1路线,遇到堵塞的次数为Y,则Y服从二项分布,Y～B,

则E（Y）=3×=2,

由于E（X）

【加固训练】（2016·永州模拟）抛掷A,B,C三枚质地不均匀的纪念币,它们正面向上的概率如表所示（0

纪念币

A

B

C

概率

a

a

将这三枚纪念币同时抛掷一次,设ξ表示出现正面向上的纪念币的个数.

（1）求ξ的分布列及数学期望.

（2）在概率P（ξ=i）（i=0,1,2,3）中,若P（ξ=1）的值最大,求a的最大值.

【解析】

（1）由题意知ξ个正面向上,3-ξ个背面向上.

ξ的可能取值为0,1,2,3.

P（ξ=0）=（1-a）2=（1-a）2,

P（ξ=1）=（1-a）2+a（1-a）=（1-a2）,

P（ξ=2）=a（1-a）+a2

=（2a-a2）,P（ξ=3）=a2=.

所以ξ的分布列为

ξ

0

1

2

3

P

（1-a）2

（1-a2）

（2a-a2）

所以ξ的数学期望为E（ξ）=0×（1-a）2+1×（1-a2）+2×（2a-a2）+3×=.

（2）P（ξ=1）-P（ξ=0）=[（1-a2）-（1-a）2]=a（1-a）,

P（ξ=1）-P（ξ=2）=[（1-a2）-（2a-a2）]=,

P（ξ=1）-P（ξ=3）=[（1-a2）-a2]=.

由和0

得0

即a的取值范围是,即a的最大值为.