类型离散型随机变量的二项分布.docx
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类型离散型随机变量的二项分布
类型二、离散型随机变量的二项分布
例3.一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，
设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分。
（I）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；
（口）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分匚的概率分布列。
【思路点拨】有放回地依次取3次，相当于三次独立重复试验，其得分：
服从二项分布，故可用n次独
立重复试验的概率公式来计算，从而写出分布列。
【解析】（I）设—次取出3个球得4分”的事件记为A，它表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况,
则P（A）=窖
C5
（H）由题意，，的可能取值为3.4.5.6。
因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为
23
2,取到黑球的概率为3.
55
二匕的分布列为
3
4
5
6
P
27
125
54
125
36
125
8
125
【总结升华】
①本题的关键是首先确定进行了三次独立重复试验，然后确定每次试验的结果相互独立，从而可知离散型随机变量，服从二项分布，然后运用n次独立重复试验的概率公式计算。
②注意n次独立重复试验中，离散型随机变量X服从二项分布，即XLIB（n,p），这里n是独立重复
试验的次数，p是每次试验中某事件发生的概率。
举一反三：
【变式1】某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次
品数E的概率分布.
【答案】依题意，随机变量E〜B（2,5%）.所以，
P（E=0）=C0（95%）2=0.9025,P（E=1）=C；（5%）（95%）=0.095,
P（&=2）=C；（5%）2=0.0025.
因此，次品数E的概率分布是
0
1
2
P
0.9025
0.095
0.0025
【高清课堂：
独立重复试验与二项分布409089例题3】
【变式2】一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的
…--1
事件是相互独立的，并且概率都是-。
3
（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数E的分布列；
（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数门的分布列；（3）这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
112…
解：
（1）&IB（5,-）,E的分布列为P（E=k）=C；（—）k（—）,k=0,1,2,3,4,5;
333
2l1
（2）门的分布列为P（门=k）=p（前k个是绿灯，第k+1个是红灯）=（―）'一，k=0,1,2,3,4;P（门=5）=R5
33
个均为绿灯）=
（2）5;
3
（3）所求概率=P（E>1）=1—P（E=0）=1—
（2）5=竺！
R0.8683.
3243
【变式3】一袋中有5个白球，3个红球，每次任取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出
现10次时停止，设停止时总共取了X次球，求X的分布列及P（X=12）.
35
【答案】由题意知，X是取球次数，X=10,11,12,…，且每次取得红球的概率是—，取得白球的概率是一，
88
所以X=k（k=10,11,12…）表示取了k次球，且第k次取到的是红球，前（k—1）次取得9次红球.
X的分布列为
9k40
P（X=k）=CLg8
CL3
x-（k=10,11,…），
8
（表格略）
八93
P（X=12）=C11〔8fJ
【变式4】某射手击中目标的概率为
0.8，现有4发子弹，击中目标或打完子弹就停止射击，求射击次数
【答案】
错解：
X的可能取值是1,2,
X的概率分布.
4.
P（X=1）=0.8;P（X=2）=C2X0.8K0.2=0.32;
P（X=3）=C3X0.8X0.22=0.096；
_」__3__
P（X=4）=C4X0.8X0.2=0.0256.
所以X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
0.8
0.32
0.096
0.0256
错解分析：
错将本题理解为二项分布，本题实质上不是二项分布，而是求事件A首次发生出现在第
k次试验中的概率，要使首次发生出现在第k次试验，必须而且只需在前（k-1）次试验中都出现A.
正解X的可能取值是1,2,3,4.
P（X=1）=0.8;P（X=2）=0.208=0.16;
P（X=3）=0.22X0.8=0.032;P（X=4）=0.23=0.008.
所以X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
0.8
0.16
0.032
0.008
类型三、独立重复试验与二项分布综合应用
例4.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是-禾日3.假设两人射击是否击中目标，相互之间
34
没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响^
（1）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
（2）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击.问：
乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
【思路点拨】
本题的第一问是一个独立事件同时发生的问题，每次射中目标都是相互独立的、可以重复射击即事件
重复发生、每次都只有发生或不发生两种情形且发生的概率是相同的.第二问解答时要认清限制条件的意
义.
【解析】
（1）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于4次独
-2465
立重复试验，故p（A）=1_p（a）=1_（_）4=—
1381
..65
答：
甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为一；
81
⑵记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A3,“乙第i次射击未击中”为事件q,（i=1,2,3,
1
4,5）,贝UA3=。
5。
4。
3（。
2。
1）且P（Di）=,由于各事件相互独立，
4
故P（Ab）=P（D5）P（D4）P（D3）P（D2D1）=[1-（1一〕【）=^^,
444441024
45
答：
乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是
1024
【总结升华】
射击问题必须弄清所求目标的含义，是否为独立重复试验，再用排列组合知识求解。
举一反三:
【变式1】一名射击爱好者每次射击命中率为0.2,必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的命
中率，
（1）不小于0.9?
（2）不小于0.99?
【答案】已知n次独立射击中至少击中一次的概率为P=1—（1—0.2）n=1—（0.8）n；
（1）要使P=p（X芝％=1—（0.8）n芝0.9,0.1芝（0.8）n，必须n2^2150.3，即射击次数必须不小lg0.8
于n=11次.
（2）要使P=1—（0.8）n芝0.99，必须nA也空1&20.64，即射击次数必须不小于n=21次
lg0.8
3一，.
【变式2】某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为-,且每次射击的结果互不影响，已知
5
射手射击了5次，求：
（1）其中只在第一、三、五次击中目标的概率；
（2）其中恰有3次击中目标的概率；
（3）其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率。
【答案】
把3次连续击中目标看成一个整体，可得共有C3种情况。
3
（I）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率;
（n）求中奖人数e的分布列.
【答案】
（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为ABC,那么
RA）=RB）=P（Q=1
6
RAPLC）=P（A）p（B）p（C）=^5）2=25.
答：
甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为竺6分
216
（2）E的可能值为0,1,2,3
PE=k）=勇（！
）k（5）3飞（k=0,1,2,3）
66
所以中奖人数E的分布列为
0
1
2
3
P
125
25
5
1
216
72
72
216
例5.在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一个巨大的汽油罐。
已知只有5发
2
子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是-.
3
（1）求油罐被引爆的概率；
（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X,求X的概率分布.
【思路点拨】
从正面去分析可知：
5发子弹必须击中2次，于是有以下几种情况：
第1枪击中，第2枪也击中；第3枪击中，前两枪只击中1次；第4枪击中，前3枪只击中1次；第5枪击中，前4枪只击中1次.而利用对立事件去分析更好理解.
【解析】
（1）解法一：
记B表示“引爆油罐”，则射击次数符合独立重复试验，X=2,3,4,5.
X=2表明第一次击中，第二次也击中，
224
P（X=2）=—,
339
X=3表明前2次击中一次，第3次击中,
X=4表明前3次击中一次，第4次击中,
P（X=4）
16
X=5表明前4次击中一次，第5次击中,
P（X=5）=
只击中一次.
H）5•••p（x=5）=gj
*2j（1¥*2"『1¥21
+c5—：
1-：
+c4-fx■-3—=一
13J13J\3）\3）39
所以X的概率分布为
X
2
3
4
5
P
49
8
27
4
27
1
9
【总结升华】要特别注意X=5的意义，当X=5时，表示5枪都未中或5枪中只中1枪或第5枪中且前4
枪只中了1枪这三种情况，否则P（X=5）易出错，也可以用概率分布的性质间接检验.
举一反三：
【变式1】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1-p,且各发动机互不影响.如果至少50%
的发动机能正常运行，飞机就可以顺利飞行，问对于多大的P而言，四发动机比二发动机更安全？
【答案】四发动机飞机成功飞行的概率为
_222_33-44.2
C4p（1-p）Cp（1p）4Cp=6p（1
P）^4p（1p丈）p
二发动机飞机成功飞行的概率为
_1_22_
C2p（1-p）C2p=2p（1-p）p
2…、2_3….42
要使四发动机飞机比二发动机飞机安全，只要6p（1—p）+4p（1—p）+p>2p（1—p）+p,
„…一，-2
化简整理，得一3
2.
.••当发动机不出故障的概率大于2时，四发动机飞机比二发动机飞机安全.
3
【变式2】厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需要随即抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品。
（I）若厂家库房中的每件产品合格率为0.8，从中任意取出4件进行检验，求至少有1件是合格的概率。
（口）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任意取2件进行检验，
只有2件产品都合格才接收这批产品，否则拒收，求该商家检验出不合格产品数X的分布列，并
求该商家拒收这批产品的概率。
【答案】
（I）记厂家任意取出4件产品检验，其中至少有一件是合格品为事件A,
则P（A）=1-P（A）=1-（0,2）4=0.9984
（n）X的可能取值为0,1,2,
C17136C3G；
P（X=0）=4=——，P（X=1）=A27
C20190'C；0
51C；
P（X=2）=-2~
190C；°190
【思路点拨】
所以X的概率分布为
由于产品数量较大，从中任意连续抽取
2件产品，相当于是2次独立重复试验。
抽取的次品件数
服从二项分布，即弋〜B（2,0.05）,算出相应的概率即可得其概率分布。
【解析】依题意，随机变量
B（2,5%）.所以,
P（
&=0）=C0（95%）2=0.9025,
P（
'=1）=C2（5%）（95%）=0.095,
P（E=2）=C；（5%）2=0.0025.
因此，次品数E的概率分布是
E0
1
2
0.
P9025
0
.095
0.
0025
【总结升华】
1从产品中有放回地抽取是独立事件；
2从小数量的产品中无放回地抽取不是独立事件，只能用等可能事件计算；
3从大批量的产品中任意地连续取出n件产品可近似地看成是n次独立重复试验。
举一反三：
【变式】在某批很大数量的产品中，有20%为二等品，从中任意地抽取产品二次，求取出的
多有1件是二等品的概率。
【答案】从大数量的产品中任意地抽取产品二次，相当于2次独立重复试验，
2件产品中至
抽出的二等品的件数匚~B（2,0.2）,
所以取出的2件产品中至多有1件是二等品的概率:
P（:
壬1）=1—p[=2）=1—0.22=0.96。
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