第12章《二次根式》考点+易错整理.docx
《第12章《二次根式》考点+易错整理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第12章《二次根式》考点+易错整理.docx（27页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
第12章《二次根式》考点+易错整理
第12章《二次根式》考点+易错整理
知识梳理
重难点分类解析
考点1二次根式的概念和性质
【考点解读】一般地，式子a（a0）叫做二次根式，a叫做被开方数，被开方数为非负数.
这是中考重要考点之一.二次根式的性质是二次根式化简计算的依据，其性质有两个:
一是当
a（a0）
a0时，
2
（a）a;二是
2
a
0（a0）
.在中考中多以计算的形式出现在选择题或填
a（a0）
空题中.
例1（2018·苏州）若x2在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是
（）
分析:
由题意，得x20，解得x2.x2在数轴上表示是在点-2处取向右的方向，
-2处用实心点圆.
答案:
D
【规律·技法】要使一个代数式有意义，在确定字母的取值范围时，若含有分式，则分母不
为0;若含有二次根式，则被开方数为非负数.
【反馈练习】
1.若
x
x
7
6
有意义，则实数x的取值范围是（）
A.x6B.x7C.x6D.x7点拨:
二次根式的被开方数大于或等于0，且分母不为零.
2.已知实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简
2
（a5）a2的结果是（）
A.2a7B.72aC.3D.-3
1
点拨:
由数轴可知a5与a2的符号，从而进行化简.
考点2二次根式的乘除
【考点解读】二次根式的乘除主要运算公式有
aa
abab（a0,b0）,（a0,b0）
，这两个公式是将二次根式进行化简
bb
计算的依据，二次根式化简后要求化为最简二次根式，即被开方数中不含能开得尽方的因数
或因式，被开方数中不含分母，分母中不含根式.中考中本知识点常以选择题形式出现.
例2下列式子为最简二次根式的是（）
A.5B.12C.
2
aD.
1
a
分析:
A.被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意;B.被开
方数含能开得尽方的因数，故B不符合题意;C.被开方数含能开得尽方的因数，故C不符合
题意;D。
被开方数含分母，故D不符合题意.
答案:
A
【规律·技法】最简二次根式必须满足三个条件:
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
被开方数中不含分母;分母中不含有根号.
【反馈练习】
3.（2018·镇江）
1
2
8
=.
点拨:
利用二次根式的乘法法则可得.
4.下列各式中，错误的是（）
A.236B.
11
42
93
C.4834D.822
点拨:
利用二次根式的性质和乘除法则求解.
考点3二次根式的加减
【考点解读】二次根式的加减运算的本质即为二次根式的化简，然后合并同类二次根式.进
行二次根式混合运算时，整式运算的法则、公式和运算律仍然适用.中考主要以简单的计算
题为主，属于简单题型.
例3计算:
1286=.
分析:
原式=2386234363.
答案:
63
【规律·技法】二次根式的混合运算，先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式
的加减运算，最后合并同类二次根式.
【反馈练习】
5.计算:
（1）
2
4550
5
;
（2）
1x50
32
32x2xx
22x
.
2
点拨:
利用二次根式的性质和混合运算法则求解.
6.计算:
（1）
11
（318504）32
52
;
（2）
22
（32）（32）.
点拨:
利用二次根式的运算法则求解.
考点4二次根式的化简求值
【考点解读】二次根式的化简求值，主要利用二次根式的性质及运算法则.中考要求较低，
一般以选择题或填空题的形式出现.
例4已知
5151
x,y，则
22
22
xxyy的值为（）
A.2B.4C.5D.7
分析:
222515125151251
xxyy（xy）xy（）（5）514
22224
答案:
B
【规律·技法】二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解答此题的关键.
【反馈练习】
7.如果
2
（22）ab2（a,b为有理数），那么ab等于（）
A.72B.8C.102D.10
点拨:
由二次根式的乘法运算求解.
8.已知
11
x,y，求代数式
2323
11
x1y1
的值.
点拨:
先分别对x;y分母有理化，再代入求解.
考点5二次根式的应用
【考点解读】二次根式的应用比较广泛，有关数学类计算均可涉及，应用过程主要体现二次
根式的化简与计算过程，难度比较低，属于简单的计算题.
例5已知ABC的两边长AB和AC分别为2和23，且第三边上的高等于3，则
ABC的面积是（）
A.3B.23C.3或23D.不能确定
分析:
由题意，得AB2,AC23,AD3.
3
所以
221,223
BDABADCDACAD.
如图①，
如图②,
1
S（13）323;
ABC
2
1
S（31）33的面积是23或3.
ABC
2
答案:
C
【规律·技法】二次根式的应用是初中阶段数学重要的计算题型之一，常渗透于匀股定理计
算、面积计算和化简求值题中，计算的主要依据是二次根式的性质.
【反馈练习】
9.（2018·无锡模拟）现将某一长方形纸片的长增加32cm，宽增加62cm，就成为一个面
积为128cm2的正方形纸片，则原来长方形纸片的面积是（）
2B.20cm2C.36cm2D.48cm2
A.18cm
点拨:
由正方形纸片的面积求得正方形纸片的边长，再通过二次根式的加减运算，求出长方
形纸片的长和宽，进而求出长方形纸片的面积.
10.（2018·威海）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与边AD上的点K重合，EG为
折痕;点C与边AD上的点K重合，FH为折痕，已知167.5,275,EF31，
求BC的长.
点拨:
由折叠的性质，得折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.
易错题辨析
易错点1
2
a的化简忽视a的范围
例1化简:
2
（x3）.
错误解答:
2
（x3）x3.
错因分析:
此题错解的原因是忽略了
2
aa的前提条件是a0，即没有考虑x的取值对
x3的符号的影响.
4
正确解答:
2
（x3）x3=
x3（x3）
3x（x3）
.
易错辨析:
在对
2
a进行化简时，由于a的取值为任意实数，先得到
2
aa，再根据a的
取值情况进行讨论，而不能误认为
2
aa.
易错点2运算顺序不正确
例2计算:
（1）
1
2
22
；
（2）322;
（3）222（1827）.
错误解答:
（1）
11
2200
22
.
（2）
32212
12
2
2
.
（3）222（1827）222（3233）2（3233）636.
错因分析:
本题错在没有正确掌握二次根式混合运算的顺序.
正确解答:
（1）
12
222212
22
.
（2）
2
322332
2
.
（3）222（1827）222（3233）22636.
易错辨析:
二次根式混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，都是先乘方，再乘除，
最后加减，有括号则先算括号内的.
【反馈练习】
11.化简:
（1）
2
（x2）；
（2）
（a5）
1
5a
.
点拨:
不能忽视算术平方根的非负性
5
12.
计算:
（1）
31
xyxy（x0,y0）
xy
;
（2）
11
15（）
35
.
点拨:
利用运算法则进行计算时，应看清运算顺序.
探究与应用
探究1整体代换求值
例1已知
11
xy，求（x1）（y1）的值.
5353
点拨:
由求值式变形:
（x1）（y1）xy（xy）1，需先将x,y分母有理化，再求出
xy,xy的值，然后整体代入就可以计算了.
解答:
因为
153153
x,y，所以
532532
1
xy5,xy.所
2
以
3
（x1）（y1）xy（xy）15.
2
【规律·提示】先分母有理化，再代入计算即可.
【举一反三】
1.已知
2
x，求代数式
3
1x1x11
2
11x（）
（1）
2
1x1x1xx1
2
xx
的
值.
探究2值的估算
例2已知实数
1
23
的整数部分为x，小数部分为x，求
x2y
x2y4
的值.
点拨:
对于实数a，可写为a[a]{a}，其中[a]表示a的整数部分，{a}表示a的小数部
分，且0{a}1，如3（3）,22（22）.由此知识先确定1
23
的整
数部分x和小数部分y，再代入
x2y
x2y4
求值.
解答:
由题意，得
1
xy23.因为132，所以3234，所以整部
23
6
分x3，即3y23，所以小数部分y23331.所以
2
x2y32（31）（123）143121343
.
x2y432（31）4（123）（123）
1121111
【规律·提示】先分别表示出x,y的值，再代入求值.
例3不用计算器，试比较76和65的大小.
点拨:
76与76互为倒数，65与65为倒数，通过变形，使之成为
同分子的分数相比较.
解答:
方法一:
因为（76）（76）1，所以
76
1
76
.因为
（65）（65）1，所以
65
1
65
.因为7665，所以
11
，所以7665.7665
方法二:
（作差比较）因为（76）（65）（75）26，且
2
（75）122351223624，
2
（26）24，所以7526，所以
7665.
【规律·提示】“数感”是课程标准的一个重要教学目标，实数作为二次根式运算的一部分
内容，在培养运算能力中成为一个重要的载体.
【举一反三】
13.
（1）化简:
423423；
（2）设a为3535的小数部分，b为633633的小数部分，求
21
ba
2
的值.
14.公元三世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式
2
ara
r
2a
得到2的近似值.
他的算法是:
先2看成
2
11，由近似公式得到
21
13
212
；再2看成了
7
31
2
（）（）
24
，由近似公式得到
2
1
3417
3
2212
2
，⋯⋯，依此算法，所得2的近
似值会越来越精确.当2取得近似值577
408
时，试确定近似公式中的a与r的值
参考答案
知识梳理
a（a0）aaabagb
a
b
a
b
合并同类二次根式仍适用于
重难点分类解析
【反馈练习】
15.B2.C
2.2
3.B
4.
（1）5
（2）2x2x
5.
（1）2
（2）46
6.D
7.1
8.B
9.BC323
易错题辨析
【反馈练习】
1.
（1）
2
（x2）
x2（x2）
2x（x2）
1
（2）
（a5）5a
5a
2.
（1）
31xy
xyxy
y
xy
8
（2）
1115（53）
15（）
352
探究与应用
【举一反三】
1x1x11
2
16.
11x（）
（1）
2
1x1x1x2x1
xx
1xg1x
当
2
x时，原式
3
3
3
17.
（1）42342323
（2）
21
ba
261
18.
a
17
12
r
1
144
9
升级会员 