反比例函数的实际应用
8．某厂仓库储存了部分原料，按原计划每小时消耗2吨，可用60小时．由于技术革新，实际生产能力有所提高，即每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量．设现在每小时消耗原料x（单位：
吨），库存的原料可使用的时间为y（单位：
小时）．
（1）写出y关于x的函数解析式，并求出自变量的取值范围．
（2）若恰好经过24小时才有新的原料进厂，为了使机器不停止运转，则x应控制在什么范围内？
1个技巧：
用k的几何性质巧求图形的面积
9．如图，A，B是双曲线y＝kx（k≠0）上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C.若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）
A.43B.83C．3D．4
（第9题）
（第10题）
10．如图，过x轴正半轴上的任意一点P作y轴的平行线交反比例函数y＝2x和y＝－4x的图象于A，B两点，C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为________．
11．如图是函数y＝3x与函数y＝6x在第一象限内的图象，点P是y＝6x的图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交y＝3x的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y＝3x的图象于点D.
（1）求证：
D是BP的中点；
（2）求四边形ODPC的面积．
（第11题）
答案
1．解：
（1）∵A（m，6），B（3，n）两点在反比例函数y＝6x（x>0）的图象上，
∴m＝1，n＝2，即A（1，6），B（3，2）．
又∵A（1，6），B（3，2）在一次函数y＝kx＋b的图象上，
∴6＝k＋b，2＝3k＋b，解得k＝－2，b＝8，
即一次函数解析式为y＝－2x＋8.
（第1题）
（2）根据图象可知使kx＋b<6x成立的x的取值范围是03.
（3）如图，分别过点A，B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别为E，C，设直线AB交x轴于D点．
令－2x＋8＝0，得x＝4，即D（4，0）．
∵A（1，6），B（3，2），∴AE＝6，BC＝2.
∴S△AOB＝S△AOD－S△ODB＝12×4×6－12×4×2＝8.
2．
（1）证明：
∵点A，B分别在x轴，y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴于点C，∴∠AOB＝∠DCA＝90°.
在Rt△AOB和Rt△DCA中，∵AO＝DC，AB＝DA，∴Rt△AOB≌Rt△DCA.
（2）解：
在Rt△ACD中，∵CD＝2，DA＝，
∴AC＝＝1.∴OC＝OA＋AC＝2＋1＝3.
∴D点坐标为（3，2）．
∵点E为CD的中点，∴点E的坐标为（3，1）．∴k＝3×1＝3.
（3）解：
点G在反比例函数的图象上．
理由如下：
∵△BFG和△DCA关于某点成中心对称，
∴△BFG≌△DCA.
∴FG＝CA＝1，BF＝DC＝2，∠BFG＝∠DCA＝90°.
∵OB＝AC＝1，∴OF＝OB＋BF＝1＋2＝3.∴G点坐标为（1，3）．
∵1×3＝3，∴点G（1，3）在反比例函数的图象上．
3．解：
∵BC∥OA，AB∥x轴，∴四边形ABCO为平行四边形．
∴AB＝OC＝3.
设A6a，则B6a，
∴（a－3）·6a＝－3.∴a＝2.
∴A（2，3），B（－1，3）．
∵OC＝3，C在x轴负半轴上，∴C（－3，0），
设直线BC对应的函数解析式为y＝kx＋b，
则－3k＋b＝0，－k＋b＝3，解得9.
∴直线BC对应的函数解析式为y＝32x＋92.
解方程组3，得x1＝－1，y1＝3，3.
∴D32.
设直线AD对应的函数解析式为y＝mx＋n，
则3，解得9.
∴直线AD对应的函数解析式为y＝38x＋94.
∴E94.∴OE＝94.
4.154点拨：
因为C（0，2），A（4，0），由矩形的性质可得P（2，1），把P点坐标代入反比例函数解析式可得k＝2，所以反比例函数解析式为y＝2x.因为D点的横坐标为4，所以AD＝24＝12.因为点E的纵坐标为2，所以2＝2CE，所以CE＝1，则BE＝3.所以S△ODE＝S矩形OABC－S△OCE－S△BED－S△OAD＝8－1－94－1＝154.
5．
（1）证明：
∵BE∥AC，AE∥OB，
∴四边形AEBD是平行四边形．
∵四边形OABC是矩形，∴DA＝12AC，DB＝12OB，AC＝OB.
∴DA＝DB.∴四边形AEBD是菱形．
（2）解：
如图，连接DE，交AB于F，
∵四边形AEBD是菱形，
∴DF＝EF＝12OA＝32，AF＝12AB＝1.∴E9，1.
设所求反比例函数解析式为y＝kx，
把点E9，1的坐标代入得1＝92，解得k＝92.
∴所求反比例函数解析式为y＝92x.
（第5题）
（第7题）
6．D
7．解：
（1）如图，过点D作x轴的垂线，垂足为F.
∵点D的坐标为（4，3），∴OF＝4，DF＝3.∴OD＝5.
∴AD＝5.∴点A的坐标为（4，8）．∴k＝xy＝4×8＝32.
（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数y＝32x（x>0）的图象上点D′处，过点D′作x轴的垂线，垂足为F′.
∵DF＝3，∴D′F′＝3.∴点D′的纵坐标为3.
∵点D′在y＝32x的图象上，∴3＝32x，解得x＝323，
即OF′＝323.∴FF′＝323－4＝203.
∴菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离为203.
8．解：
（1）∵正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴上，点B的坐标为（2，2），∴C（0，2）．
∵D是BC的中点，∴D（1，2）．∵反比例函数y＝kx（x＞0，k≠0）的图象经过点D，∴k＝2.
（2）当P在直线BC的上方，即0＜x＜1时，
∵点P（x，y）在该反比例函数的图象上运动，∴y＝2x.
∴S四边形CQPR＝CQ·PQ＝x·2－2＝2－2x；当P在直线BC的下方，即x＞1时，同理求出S四边形CQPR＝CQ·PQ＝x·2x＝2x－2，综上，S＝2x－2（x＞1），2－2x（0＜x＜1）.
9．4
10．解：
∵反比例函数的图象关于原点对称，圆也关于原点对称，故阴影部分的面积占⊙O面积的14，则针头落在阴影区域内的概率为14.
1．B2.C
3．①③④
4．解：
（1）反比例函数：
y＝－6x.
（2）如图所示．
（第4题）
5．解：
∵反比例函数y＝kx的图象经过点A（1，－k＋4），
∴－k＋4＝k1，即－k＋4＝k，∴k＝2，∴A（1，2）．
∵一次函数y＝x＋b的图象经过点A（1，2），
∴2＝1＋b，∴b＝1.
∴反比例函数的解析式为y＝2x，
一次函数的解析式为y＝x＋1.
6．解：
（1）将B（2，－4）的坐标代入y＝mx，得－4＝m2，
解得m＝－8.
∴反比例函数的解析式为y＝－8x.
∵点A（－4，n）在双曲线y＝－8x上，∴n＝2.
∴A（－4，2）．
把A（－4，2），B（2，－4）的坐标分别代入y＝kx＋b，得
－4k＋b＝2，2k＋b＝－4，解得k＝－1，b＝－2.
∴一次函数的解析式为y＝－x－2.
（2）令y＝0，则－x－2＝0，x＝－2.
∴C（－2，0）．∴OC＝2.
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝12×2×2＋12×2×4＝6.
（3）x1＝－4，x2＝2.
（4）－42.
7．解：
如图，由观察可知：
（1）当y＝－2时，x＝－3；
（2）当－26；
（3）当－33.
（第7题）
点拨：
解决问题时，画出函数图象．由图象观察得知结果．由图象解决相关问题，一定要注意数形结合，学会看图．
8．解：
（1）库存原料为2×60＝120（吨），根据题意可知y关于x的函数解析式为y＝120x.
由于生产能力提高，每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量，所以自变量的取值范围是x>2.
（2）根据题意，得y≥24，所以120x≥24.
解不等式，得x≤5，
即每小时消耗的原料量应控制在大于2吨且不大于5吨的范围内．
点拨：
（1）由“每小时消耗的原料量×可使用的时间＝原料总量”可得y关于x的函数解析式．
（2）要使机器不停止运转，需y≥24，解不等式即可．
（第9题）
9．B点拨：
如图，过点B作BE⊥x轴于点E，∵D为OB的中点，∴CD是△OBE的中位线，则CD＝12BE.设Akx，则Bk2x，CD＝k4x，AD＝kx－k4x.∵△ADO的面积为1，∴12AD·OC＝1，即12k4x·x＝1.解得k＝83.
10．3
11．
（1）证明：
∵点P在双曲线y＝6x上，
∴设P点坐标为6，m.
∵点D在双曲线y＝3x上，BP∥x轴，D在BP上，
∴D点坐标为3，m.∴BD＝3m，BP＝6m，
故D是BP的中点．
（2）解：
由题意可知S△BOD＝32，S△AOC＝32，S四边形OBPA＝6.
∴S四边形ODPC＝S四边形OBPA－S△BOD－S△AOC＝6－32－32＝3.
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