12 第1课时 直角三角形的性质与判定 省优精品教案.docx

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12第1课时直角三角形的性质与判定省优精品教案

1．2　直角三角形

第1课时　直角三角形的性质与判定

1．复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定；

2．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．（重点，难点）

一、情境导入

古埃及人曾经用下面的方法画直角：

将一根长绳打上等距离的13个结，然后按如图所示的方法用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？

二、合作探究

探究点一：

直角三角形的性质与判定

【类型一】判定三角形是否为直角三角形

具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）

A．∠A＋∠B＝∠C

B．∠A－∠B＝∠C

C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3

D．∠A＝∠B＝3∠C

解析：

由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角的度数，再判断其形状．A中∠A＋∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，同理，B，C中均为直角三角形，D选项中∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形．故选D.

方法总结：

在判定一个三角形是否为直角三角形时要注意直角三角形中有一个内角为90°.

【类型二】直角三角形的性质的应用

如图①，△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E.

（1）猜测∠1与∠2的关系，并说明理由．

（2）如果∠A是钝角，如图②，

（1）中的结论是否还成立？

解析：

（1）根据垂直的定义可得△ABD和△BCE都是直角三角形，再根据直角三角形两锐角互余可得∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，从而得解；

（2）根据垂直的定义可得∠D＝∠E＝90°，然后求出∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，再根据∠3、∠4是对顶角解答即可．

解：

（1）∠1＝∠2.∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴△ABD和△BCE都是直角三角形，∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，∴∠1＝∠2；

（2）结论仍然成立．理由如下：

∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠D＝∠E＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，∵∠3＝∠4（对顶角相等），∴∠1＝∠2.

方法总结：

本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余，同角或等角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．

探究点二：

勾股定理

【类型一】直接运用勾股定理

已知：

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D.求：

（1）AC的长；

（2）S△ABC；

（3）CD的长．

解析：

（1）由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；

（2）直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；（3）根据CD·AB＝BC·AC即可求出CD.

解：

（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝

＝12cm；

（2）S△ABC＝

CB·AC＝30cm2；

（3）∵S△ABC＝

AC·BC＝

CD·AB，∴CD＝

＝

cm.

方法总结：

解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．

【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用

在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC周长．

解析：

本题应分两种情况进行讨论：

（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；

（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．

解：

此题应分两种情况进行讨论：

（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD＝

＝

＝9，在Rt△ACD中，CD＝

＝

＝5，∴BC＝BD＋CD＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；

（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD＝

＝

＝9.在Rt△ACD中，CD＝

＝

＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周长为15＋13＋4＝32.

∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32.

方法总结：

在题目未给出具体图形时，应考虑三角形是锐角三角形还是钝角三角形，凡符合题设的情况都要考虑，体现了分类讨论思想，这是解无图几何问题的常用方法．

探究点三：

勾股定理的逆定理

【类型一】判断三角形的形状

如图，正方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（　　）

A．直角三角形

B．锐角三角形

C．钝角三角形

D．以上答案都不对

解析：

∵正方形小方格边长为1，∴BC＝

＝2

，AC＝

＝

，AB＝

＝

.在△ABC中，∵BC2＋AC2＝52＋13＝65，AB2＝65，∴BC2＋AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．故选A.

方法总结：

要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．

【类型二】利用勾股定理的逆定理证明垂直关系

如图，在正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝

AD，求证：

CE⊥EF.

证明：

连接CF，设正方形的边长为4.∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝4.∵点E为AB中点，AF＝

AD，∴AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3.由勾股定理得EF2＝12＋22＝5，EC2＝22＋42＝20，FC2＝42＋32＝25.∵EF2＋EC2＝FC2，∴△CFE是直角三角形，∴∠FEC＝90°，即EF⊥CE.

方法总结：

利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个主要方法．

【类型三】运用勾股定理的逆定理解决面积问题

如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四边形ABCD的面积．

解析：

连接AC，根据已知条件运用勾股定理的逆定理可证△ACD为直角三角形，然后代入三角形面积公式将△ABC和△ACD这两个直角三角形的面积求出，两者面积相加即为四边形ABCD的面积．

解：

连接AC，∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形．∵AC2＝AB2＋BC2＝82＋62＝102，∴AC＝10.在△ACD中，∵AC2＋CD2＝100＋576＝676，AD2＝262＝676，∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝

×6×8＋

×10×24＝144.

方法总结：

此题将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题，既考查了对勾股定理逆定理的掌握情况，又体现了转化思想在解题时的应用．

探究点四：

互逆命题与互逆定理

写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题．

（1）两直线平行，同旁内角互补；

（2）垂直于同一条直线的两直线平行；

（3）相等的角是内错角；

（4）有一个角是60°的三角形是等边三角形．

解析：

分别找出各命题的题设和结论将其互换即可．

解：

（1）同旁内角互补，两直线平行．真命题；

（2）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内）．真命题；

（3）内错角相等．假命题；

（4）等边三角形有一个角是60°.真命题．

方法总结：

一个定理不一定有逆定理，只有当它的逆命题为真命题时，它才有逆定理．

三、板书设计

1．直角三角形的性质与判定

直角三角的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形．

2．勾股定理及勾股定理的逆定理

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

本节课充分发挥了学生动手操作能力、分类讨论能力、交流能力和空间想象能力，让学生充分体验到了数学思考的魅力和知识创新的乐趣，突显教学过程中的师生互动，使学生真正成为主动学习者.

3．1　图形的平移

第1课时　平移的认识

1．理解并掌握平移的定义及性质；（重点）

2．能够根据平移的性质进行简单的平移作图．

一、情境导入

观察下列图片，你能发现图中描绘的运动的共同点吗？

二、合作探究

探究点一：

平移的定义

下列各组图形可以通过平移互相得到的是（　　）

A.

　B.

C.

　D.

解析：

根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是C，故选C.

方法总结：

本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．

探究点二：

平移的性质

【类型一】利用平移的性质进行计算

如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1，若BC＝3

，△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1等于（　　）

A．1B.

C.

D．2

解析：

设B1C＝2x，根据等腰直角三角形和平移的性质可知，重叠部分为等腰直角三角形，则B1C边上的高为x，∴

×x×2x＝2，解得x＝2（舍去负值），∴B1C＝2

，∴BB1＝BC－B1C＝

.故选B.

方法总结：

本题考查了等腰直角三角形的性质和平移的性质．关键是判断重叠部分图形为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和重叠部分面积列出方程，求重叠部分的长．

【类型二】平移性质的综合应用

如图，原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移线段BE的距离，就得到此图形，下列结论正确的有（　　）

①AC∥DF；②HE＝5；③CF＝5；④阴影部分面积为

.

A．1个B．2个C．3个D．4个

解析：

根据平移的性质得出对应点所连的线段平行且相等，对应角相等，对应线段平行且相等，阴影部分和三角形面积之间的关系，结合图形与所给的结论即可得出答案．①对应线段平行可得AC∥DF，正确；②对应线段相等可得AB＝DE＝8，则HE＝DE－DH＝8－3＝5，正确；③平移的距离CF＝BE＝5，正确；④S四边形HDFC＝S梯形ABEH＝

（AB＋EH）·BE＝

×（8＋5）×5＝

，错误．故选C.

方法总结：

本题考查平移的基本性质：

①平移不改变图形的形状和大小；②对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键要找到平移的对应点．

探究点三：

简单的平移作图

将如图方格中的图形向右平移4格，再向上平移2格，在方格中画出平移后的图形．

解析：

按照题目要求：

向右平移4格，再向上平移2格，先作各个关键点的对应点，再连接即可．

解：

方法总结：

作平移图形时，找关键点的对应点是关键的一步．平移作图的一般步骤为：

①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．

三、板书设计

1．平移的定义

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．

2．平移的性质

一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等，对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等．

3．简单的平移作图

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，学生经历将实际问题抽象成图形问题，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，使得学生能将所学知识灵活运用到生活中.

第2课时　一元一次不等式的应用

1．会在实际问题中寻找数量关系列一元一次不等式并求解；

2．能够列一元一次不等式解决实际问题．（重点，难点）

一、情境导入

如果你要分别购买40元、80元、140元、160元的商品，应该去哪家商店更优惠？

二、合作探究

探究点：

一元一次不等式的应用

【类型一】商品销售问题

某商品的进价是120元，标价为180元，但销量较小．为了促销，商场决定打折销售，为了保证利润率不低于20%，那么最多可以打几折出售此商品？

解析：

由题意可知，利润率为20%时，获得的利润为120×20%＝24元；若打x折该商品获得的利润＝该商品的标价×

－进价，即该商品获得的利润＝180×

－120，列出不等式，解得x的值即可．

解：

设可以打x折出售此商品，由题意得：

180×

－120≥120×20%，

解得x≥8.

答：

最多可以打8折出售此商品．

方法总结：

商品销售问题的基本关系是：

售价－进价＝利润．读懂题意列出不等式求解是解题关键．

【类型二】竞赛积分问题

某次知识竞赛共有25道题，答对一道得4分，答错或不答都扣2分．小明得分要超过80分，他至少要答对多少道题？

解析：

设小明答对x道题，则答错或不答的题目为（25－x）道，根据得分要超过80分，列出不等关系求解即可．

解：

设小明答对x道题，则他答错或不答的题目为（25－x）道．根据他的得分要超过80分，得：

4x－2（25－x）＞80，

解得x＞21

.

因为x应是整数而且不能超过25，所以小明至少要答对22道题．

答：

小明至少要答对22道题．

方法总结：

竞赛积分问题的基本关系是：

得分－扣分＝最后得分．本题涉及到不等式的整数解，取整数解时要注意关键词如“至多”“至少”等．

【类型三】安全问题

采石场爆破时，点燃导火线后工人要在爆破前转移到400米外的安全区域．导火线燃烧速度是每秒1厘米，工人转移的速度是每秒5米，导火线至少要多少米？

解析：

根据时间列不等式，导火线燃烧时间＞工人要在爆破前转移到400米外的安全区域时间．

解：

设导火线的长度需要x米，1厘米/秒＝0.01米/秒，由题意得

>

，解得x＞0.8.

答：

导火线至少要0.8米．

【类型四】分段计费问题

小明家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：

若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小明家每月用水量至少是多少？

解析：

当每月用水5立方米时，花费5×1.8＝9元，则可知小明家每月用水超过5立方米．设每月用水x立方米，则超出（x－5）立方米，根据题意超出部分每立方米收费2元，列一元一次不等式求解即可．

解：

设小明家每月用水x立方米．

∵5×1.8＝9＜15，

∴小明家每月用水超过5立方米．

则超出（x－5）立方米，按每立方米2元收费，

列出不等式为5×1.8＋（x－5）×2≥15，

解不等式得x≥8.

答：

小明家每月用水量至少是8立方米．

方法总结：

分段计费问题中的费用一般包括两个部分：

基本部分的费用和超出部分的费用．根据费用之间的关系建立不等式求解即可．

【类型五】调配问题

有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排多少人种甲种蔬菜？

解析：

设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜为（10－x）人．甲种蔬菜有3x亩，乙种蔬菜有2（10－x）亩．再列出不等式求解即可．

解：

设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜为（10－x）人．

根据题意得0.5×3x＋0.8×2（10－x）≥15.6，

解得x≤4.

答：

最多只能安排4人种甲种蔬菜．

方法总结：

调配问题中，各项工作的人数之和等于总人数．

【类型六】方案决策问题

为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表．经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．

A型

B型

价格（万元/台）

12

10

处理污水量（吨/月）

240

200

年消耗费（万元/台）

1

1

（1）请你设计该企业有几种购买方案；

（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案．

解析：

（1）设购买污水处理设备A型x台，则B型为（10－x）台，列出不等式求解即可，x的值取整数；

（2）如图表列出不等式求解，再根据x的值选出最佳方案．

解：

（1）设购买污水处理设备A型x台，则B型为（10－x）台．

12x＋10（10－x）≤105，解得x≤2.5，∵x取非负整数，∴x可取0，1，2，

有三种购买方案：

购A型0台，B型10台；A型1台，B型9台；A型2台，B型8台；

（2）240x＋200（10－x）≥2040，解得x≥1，

∴x为1或2.

当x＝1时，购买资金为12×1＋10×9＝102（万元）；

当x＝2时，购买资金为12×2＋10×8＝104（万元）．

答：

为了节约资金，应选购A型1台，B型9台．

方法总结：

此题将现实生活中的事件与数学思想联系起来，属于最优化问题，在确定最优方案时，应把几种情况进行比较．

三、板书设计

应用一元一次不等式解决实际问题的步骤：

―→

―→

本节课通过实例引入，激发学生的学习兴趣，让学生积极参与，讲练结合，引导学生找不等关系列不等式．在教学过程中，可通过类比列一元一次方程解决实际问题的方法来学习，让学生认识到列方程与列不等式的区别与联系.

3．1　图形的平移

第1课时　平移的认识

1．理解并掌握平移的定义及性质；（重点）

2．能够根据平移的性质进行简单的平移作图．

一、情境导入

观察下列图片，你能发现图中描绘的运动的共同点吗？

二、合作探究

探究点一：

平移的定义

下列各组图形可以通过平移互相得到的是（　　）

A.

　B.

C.

　D.

解析：

根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是C，故选C.

方法总结：

本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．

探究点二：

平移的性质

【类型一】利用平移的性质进行计算

如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1，若BC＝3

，△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1等于（　　）

A．1B.

C.

D．2

解析：

设B1C＝2x，根据等腰直角三角形和平移的性质可知，重叠部分为等腰直角三角形，则B1C边上的高为x，∴

×x×2x＝2，解得x＝2（舍去负值），∴B1C＝2

，∴BB1＝BC－B1C＝

.故选B.

方法总结：

本题考查了等腰直角三角形的性质和平移的性质．关键是判断重叠部分图形为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和重叠部分面积列出方程，求重叠部分的长．

【类型二】平移性质的综合应用

如图，原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移线段BE的距离，就得到此图形，下列结论正确的有（　　）

①AC∥DF；②HE＝5；③CF＝5；④阴影部分面积为

.

A．1个B．2个C．3个D．4个

解析：

根据平移的性质得出对应点所连的线段平行且相等，对应角相等，对应线段平行且相等，阴影部分和三角形面积之间的关系，结合图形与所给的结论即可得出答案．①对应线段平行可得AC∥DF，正确；②对应线段相等可得AB＝DE＝8，则HE＝DE－DH＝8－3＝5，正确；③平移的距离CF＝BE＝5，正确；④S四边形HDFC＝S梯形ABEH＝

（AB＋EH）·BE＝

×（8＋5）×5＝

，错误．故选C.

方法总结：

本题考查平移的基本性质：

①平移不改变图形的形状和大小；②对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键要找到平移的对应点．

探究点三：

简单的平移作图

将如图方格中的图形向右平移4格，再向上平移2格，在方格中画出平移后的图形．

解析：

按照题目要求：

向右平移4格，再向上平移2格，先作各个关键点的对应点，再连接即可．

解：

方法总结：

作平移图形时，找关键点的对应点是关键的一步．平移作图的一般步骤为：

①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．

三、板书设计

1．平移的定义

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．

2．平移的性质

一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等，对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等．

3．简单的平移作图

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，学生经历将实际问题抽象成图形问题，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，使得学生能将所学知识灵活运用到生活中.