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数模第二篇论文
防盗窗下料问题
摘要
本题为按照进一步的加工工艺，将所给原料进行加工的问题，为一道典型的优化问题，通过对切割模式的选取，可以达到最优的切割方案，从而节省所需材料，获得最大利润。
因此，可以将问题转化为最优值的求解问题，借此实现对问题的求解，优化。
对于此问题，我们利用线性规划的原理，首先建立线性规划的模型，对圆形钢管的最优切割模式就行选取，在基于利用LINGO9.0对数据分析的基础上，最后得到将687根4米钢管切割成2根1.8米，再将一根4米的切割成1.8米与1.5米各一根，将4000根6米的切成1,8米与1.2米的各两根，875根6米切成3根1.8米将4125根6米切成1.5米的4根。
总共需4米688根，6米的9000根，废料共计800.5米的模式。
对于方形钢管由于其本身所提供的材料不足，为尽量满足其提出要求所以利用非线性规划的方法建立非线性规划模型，同样基于LINGO9.0对数据处理分析的基础上得出需要补充950根6米长的钢管来满足所需的材料要求。
由于题目的求解建立在假设可以补充材料的基础之上，因此如果不可以增加材料的话可以考虑对方形管也采用线性规划来进行求解。
以此来实现对模型的优化。
关键词：
优化问题线性规划非线性规划LINGO9.0
一·问题重述：
某不锈钢装饰公司承接了一住宅小区的防盗窗安装工程，为此购进了一批型号为304的不锈钢管，分为方形管和圆形管两种，方管规格为25×25×1.2（mm）,圆管规格Φ19×1.2（mm）。
每种管管长有4米和6米两种，其中4米圆形管5000根，6米圆形管9000根，4米方形管2000根，6米方形管2000根。
根据小区的实际情况，需要截取1.5m圆管16500根，1.8m圆管12000根，1.2m圆管8000根，1.4m方形管6000根，1.7m方形管4200根，3m方形管2800根。
请根据上述的实际情况建立数学模型，寻找经济效果最优的下料方案。
二·问题分析：
此类题目是典型的下料优化问题，通过对此种题目的求解，可解决现实生活中下料最优化问题，帮助企业实现用料最省，或者是利润最大。
首先，应当确定那种切割模式是可行的，将可行的模式枚举出来，然后利用LINGO9.0对数据进行处理分析，从而选取合适的模式，按照题目要求，将废料最少与用的根数最少的模式选出，进行比较。
综上，该题可以通过建立线性规划模型与非线性规划模型来对问题进行求解，通过数据处理软件LINGO9.0的处理，选择合理的切割模式，最后通过对数据的回带，检测来获得最优化的模式，实现用料最省或利润最大。
三·模型假设：
1．假设该公司在对钢管进行切割是钢管无损耗。
2．假设此批钢管可以任意切割成所需尺寸。
3．假设4米与6米的钢管每米价格相同。
4．假设可以补充材料。
四·模型的符号定义与说明
Z切割的总根数
a余料的总长度
c偏差之和
圆形钢管的各种切割模式的余料
（i=1,2,3,4,5,6）4m长的圆形钢管模式
（i=7,8……17）6m长的圆形钢管模式
（j=1,2,3,4）4m长的方形钢管切割模式
（j=5,6……11）6m长的方形钢管切割模式
偏差
五·模型的建立与求解
1）圆管的切割模式
模式
1.5m
1.8m
1.2m
余料
4m
1
0
0
3
0.4m
2
0
1
1
1.0m
3
0
2
0
0.4m
4
1
0
2
0.1m
5
1
1
0
0.7m
6
2
0
0
1.0m
6m
7
0
0
5
0.0m
8
0
1
3
0.6m
9
0
2
2
0.0m
10
0
3
0
0.6m
11
1
0
3
0.9m
12
1
1
2
0.3m
13
1
2
0
0.9m
14
2
0
2
0.6m
15
2
1
1
0.0m
16
3
0
1
0.3m
17
4
0
0
0.0m
圆形钢管切割模式表
2）圆管的模型建立
①模型一：
防盗窗钢管下料切割根数最少
运行结果：
②模型二：
防盗窗钢管下料余料最少
运行结果：
3）对圆管切割模式的选择
废料最少的时候4米钢管消耗数为1225，6米钢管数9000根，当消耗钢管数最少是使用4米钢管数为688根，6米的钢管数位9000根，结合对假设条件，分析可得在消耗钢管书最少的同时可以满足对材料的需求，同时能够最大限度的节约成本，从而能实现利益最大化，所以应该选择消耗钢管数最少的方法来进行对钢管的切割。
4）对方形管的切割模式的分析
由于方形管的切割无法满足题目中的要求，故此假设可以补充材料来满足题目中的要求，建立模型如下：
模式
1.4m
1.7m
3m
余料
4
1
0
0
1
1.0m
2
0
2
0
0.6m
3
1
1
0
0.9m
4
2
0
0
1.2m
6
5
0
0
2
0.0m
6
0
1
1
1.3m
7
1
2
0
1.2m
8
2
0
1
0.2m
9
3
1
0
0.1m
10
0
3
0
0.9m
11
4
0
0
0.4m
方形钢管的切割模式表
5）模型建立如下：
运行结果：
6）方形切割规划：
由上分析可得，在现有的钢管数量上还缺少950根6米钢管，因以应该增加950根钢管，借此来实现建筑需求，在补充后将200根6米切成3根1.4米与1根1.7米，将2000根4米的切成2根1.7米的，1350根6米的切成4根1.4米的，再将1400根6米切成2根3米的。
六·模型的优化与改进
通过对题目一建立线性规划模型，求解一定约束条件下的最优值的求解问题，得出最佳合理的答案。
由于线性规划在求解最优值方面的简便，可以更快，更容易的求解结果优化成本，同时表格的利用也更加清晰的呈现所有可能性，此为该模型的优点。
但由于切割模式较多，在加大运算量的同时导致问题的解答相对臃肿，也是该模型较为明显的缺点。
七·模型的优化与改进
本题对材料进行了补充，实在假设的前提下，如不能补充则可以也尝试利用线性规划来对题目进行求解，保证在最少废料的前提下生产出最多数量的合格钢管，来实现成本的节约及利益的最大化。
八·参考文献
1·摘自豆丁网
2·姜启源数学模型高等教育出版社2009
3·朱道元等数学建模案例精选科学出版社2003
附录：
防盗窗圆形钢管下料切割根数最少lingo方程：
model:
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17;
x4+x5+2*x6+x11+x12+x13+2*x14+2*x15+3*x16+4*x17>=16500;
x2+2*x3+x5+x8+2*x9+3*x10+x12+2*x13+x15>=12000;
3*x1+x2+2*x4+5*x7+3*x8+2*x9+3*x11+2*x12+2*x14+x15+x16>=8000;
x1+x2+x3+x4+x5+x6<=5000;
x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17<=9000;
@gin（x1）;@gin（x2）;@gin（x3）;@gin（x4）;@gin（x5）;@gin（x6）;
@gin（x7）;@gin（x8）;@gin（x9）;@gin（x10）;@gin（x11）;@gin（x12）;
@gin（x13）;@gin（x14）;@gin（x15）;@gin（x16）;@gin（x17）;
End
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
9688.000
Extendedsolversteps:
1
Totalsolveriterations:
25
VariableValueReducedCost
X10.0000001.000000
X20.0000001.000000
X3687.00001.000000
X40.0000001.000000
X51.0000001.000000
X60.0000001.000000
X70.0000001.000000
X80.0000001.000000
X94000.0001.000000
X10875.00001.000000
X110.0000001.000000
X120.0000001.000000
X130.0000001.000000
X140.0000001.000000
X150.0000001.000000
X160.0000001.000000
X174125.0001.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
19688.000-1.000000
21.0000000.000000
30.0000000.000000
40.0000000.000000
54312.0000.000000
60.0000000.000000
防盗窗圆形钢管下料余料最少lingo方程：
Model:
min=0.4*x1+1.0*x2+0.4*x3+0.1*x4+0.7*x5+1.0*x6+0.6*x8+0.6*x10+0.9*x11+0.3*x12+0.9*x13+0.6*x14+0.3*x16;
x4+x5+2*x6+x11+x12+x13+2*x14+2*x15+3*x16+4*x17>=16500;
x2+2*x3+x5+x8+2*x9+3*x10+x12+2*x13+x15>=12000;
3*x1+x2+2*x4+5*x7+3*x8+2*x9+3*x11+2*x12+2*x14+x15+x16>=8000;
x1+x2+x3+x4+x5+x6<=5000;
x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17<=9000;
@gin（x1）;@gin（x2）;@gin（x3）;@gin（x4）;@gin（x5）;@gin（x6）;
@gin（x7）;@gin（x8）;@gin（x9）;@gin（x10）;@gin（x11）;@gin（x12）;
@gin（x13）;@gin（x14）;@gin（x15）;@gin（x16）;@gin（x17）;
end
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
450.0000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
3
VariableValueReducedCost
X10.0000000.4000000
X20.0000001.000000
X31125.0000.4000000
X40.0000000.1000000
X50.0000000.7000000
X60.0000001.000000
X80.0000000.6000000
X100.0000000.6000000
X110.0000000.9000000
X120.0000000.3000000
X130.0000000.9000000
X140.0000000.6000000
X160.0000000.3000000
X158250.0000.000000
X170.0000000.000000
X9750.00000.000000
X70.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1450.0000-1.000000
20.0000000.000000
30.0000000.000000
41750.0000.000000
53875.0000.000000
60.0000000.000000
补充材料后方形管的切割方案：
model:
min=d11+d12+d21+d22+d31+d32+d42+d52;
y3+2*y4+y7+2*y8+3*y9+4*y11+d11-d12=6000;
2*y2+y3+y6+2*y7+y9+3*y10+d21-d22=4200;
y1+2*y5+y6+y8+d31-d32=2800;
y1+y2+y3+y4+d41-d42=2000;
y5+y6+y8+y7+y9+y10+y11+d51-d52=2000;
@gin（y1）;@gin（y2）;@gin（y3）;@gin（y4）;@gin（y5）;
@gin（y6）;@gin（y7）;@gin（y8）;@gin（y9）;@gin（y10）;
@gin（y11）;@gin（d11）;@gin（d12）;@gin（d21）;@gin（d22）;@gin（d31）;@gin（d32）;
@gin（d41）;@gin（d51）;
end
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
950.0000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
8
VariableValueReducedCost
D110.0000001.000000
D120.0000001.000000
D210.0000001.000000
D220.0000001.000000
D310.0000001.000000
D320.0000001.000000
D420.0000000.000000
D52950.00000.000000
Y30.0000001.000000
Y40.0000001.000000
Y70.0000001.000000
Y80.0000001.000000
Y9200.00001.000000
Y111350.0001.000000
Y22000.0001.000000
Y60.0000001.000000
Y100.0000001.000000
Y10.0000001.000000
Y51400.0001.000000
D410.0000001.000000
D510.0000001.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1950.0000-1.000000
20.0000000.000000
30.0000000.000000
40.0000000.000000
50.0000001.000000
60.0000001.000000
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