③因为r测＝，所以r测>r真，r测为r真和RA的串联值，由于通常情况下电池的内阻较小，所以这时r测的测量误差比较大．
七、其他方案设计
以上测量方法一般称为伏安法，测电源的电动势和内阻还有以下几种方法：
1．安阻法
用一个电流表和电阻箱测量，电路如图甲所示，测量原理为：
E＝I1（R1＋r），E＝I2（R2＋r），由此可求出E和r，此种方法使测得的电动势无偏差，但内阻偏大．
2．伏阻法
用一个电压表和电阻箱测量，电路如图乙所示，测量原理为：
E＝U1＋r，E＝U2＋r，由此可求出r和E，此种方法测得的电动势和内阻均偏小．
3．粗测法
用一只电压表粗测电动势，直接将电压表接在电源两端，所测值近似认为是电源电动势，此时U＝≈E，需满足RV≫r.
4．双伏法
用两个电压表可测得电源的电动势，电路如图所示．测量方法为：
断开S，测得V1、V2的示数分别为U1、U2，此时，E＝U1＋U2＋r，RV是V1的内阻；再闭合S，V1的示数为U1′，此时E＝U1′＋r，解方程组可求得E.
1．在利用伏安法测定电池的电动势和内电阻的实验中，某同学的实际连线如图甲所示．（电流表A：
0～0.6～3A，电压表V：
0～
3～15V）
（1）经仔细检查、诊断知，该图中有两处不太合理的连线，那么这两处不太合理的连线对应的编号是③⑤.
（2）若利用改正后的正确的连线图，实验后，测得数据，并画出电源的输出特性图象（UI图）如图乙．则该电源的电动势为3_V，电源内阻为2_Ω.
解析：
（1）电流表要用0～0.6A量程，电压表要用0～3V量程，故③、⑤不合理．
（2）根据UI图象可得E＝3V、r＝＝2Ω.
2．为了测量某电池的电动势E和内阻r，采用如图甲所示的电路，其中定值电阻R0＝5.0Ω，电压表V1内阻约为5.0kΩ.实验中，移动滑动变阻器滑片，测出电压表V1和V2的多组U1、U2数据，记录的数据如下表所示：
实验次数
1
2
3
4
5
6
U1/V
0.50
1.00
1.50
1.70
2.00
2.50
U2/V
8.45
7.90
7.60
7.13
6.80
6.27
（1）根据表中的数据，在给定图乙的坐标纸上画出U2U1的图线；
答案：
如图所示
（2）根据
（1）中所画图线可得出该电源的电动势E＝9.00（8.95～9.05）V，内阻r＝0.50（0.27～0.65）Ω（结果保留两位小数）；
（3）为提高实验的精确度，下列做法可行的是AD.
A．适当减小R0可使内阻测量值更接近真实值
B．适当增大R0可使内阻测量值更接近真实值
C．将纵坐标改为U1＋U2可以使电动势测量值更接近真实值
D．将纵坐标改为U1＋U2不能使电动势测量值更接近真实值
解析：
（1）先描点，后连线，舍去偏离连线较远的点．
（2）对题图甲电路，由闭合电路欧姆定律得，E＝U1＋U2＋r，则U2＝E－（1＋）U1，由U2U1图象在纵轴截距等于电源电动势，可得E＝9.00V，由图象斜率大小k＝（1＋）＝1.1，解得内阻r＝0.50Ω.（3）适当减小R0，可减小电压表V1内阻的影响，可使电源内阻的测量值更接近真实值，选项A正确，B错误；将纵坐标改为U1＋U2，不能使电动势测量值更接近真实值，选项D正确，C错误．
3．利用如图所示的实验电路可以测量电源的电动势和内阻，其中R0是一个定值电阻，R是一个电阻箱，在闭合开关S前应使电阻箱的阻值达到最大值，闭合开关S，改变电阻箱的阻值R，测出R两端的电压U.
（1）某同学根据实验数据在建立好的坐标系中画出图象，测得的图象是一条斜率为k，与纵轴的截距为b的直线，则电源的电动势E＝，内电阻r＝－R0.（用k、b、R0表示）．
（2）用此电路测得的电动势与实际值相比偏小，测得的内电阻与实际值相比偏小．（均选填“偏大”“偏小”或“不变”）．
解析：
根据闭合电路欧姆定律可得：
E＝U＋（R0＋r），即＝＋·，故k＝，b＝，解得E＝，r＝－R0.
（2）由于电压表存在内阻，并联在R两端，相当于使得R减小，使得R两端的电压比实际要小，即电压表的示数偏小，所以用此电路测得的电动势与实际值相比偏小，E偏小，根据E＝，可得b偏大，根据r＝－R0，可得测得的内电阻与实际值相比偏小．
4．（2019·韶关模拟）某同学要测定一电源的电动势E和内阻r，实验器材有：
一只DIS电流传感器（可视为理想电流
表，测得的电流用I表示），一只电阻箱（阻值用R表示），一只开关和导线若干．该同学设计了如图甲所示的电路进行实验和采集数据．
（1）该同学设计实验的原理表达式是E＝I（R＋r）（用r、I、R表示）．
（2）该同学在闭合开关之前，应先将电阻箱调到最大值（选填“最大值”“最小值”或“任意值”），实验过程中，将电阻箱调至如图乙所示位置，则此时电阻箱接入电路的阻值为21Ω.
（3）该同学根据实验采集到的数据作出如图丙所示的R图象，则由图象可求得，该电源的电动势E＝6.3（6.1～6.4）V，内阻r＝
2.5（2.4～2.6）Ω.（结果均保留两位有效数字）
解析：
（1）根据闭合电路欧姆定律，该同学设计实验的原理表达式是E＝I（R＋r）．
（2）根据实验的安全性原则，在闭合开关之前，应先将电阻箱调到最大值．根据电阻箱读数规则，电阻箱接入电路的阻值为2×10Ω＋1×1Ω＝21Ω.
（3）由E＝I（R＋r）可得＝R＋r.R图象斜率等于，E≈6.3V，图象在纵轴上的截距等于r，r≈2.5Ω.
突破点一 实验原理的理解与仪器选择
例1 用如图所示电路测量电源的电动势和内阻．实验器材：
待测电源（电动势约3V，内阻约2Ω），保护电阻R1（阻值10Ω）和R2（阻值5Ω），滑动变阻器R，电流表A，电压表V，开关S，导线若干．
实验主要步骤：
①将滑动变阻器接入电路的阻值调到最大，闭合开关．
②逐渐减小滑动变阻器接入电路的阻值，记下电压表的示数U和相应电流表的示数I.
③以U为纵坐标，I为横坐标，作UI图线（U、I都用国际单位）．
④求出UI图线斜率的绝对值k和在横轴上的截距a.
回答下列问题：
（1）电压表最好选用________；电流表最好选用________．
A．电压表（0～3V，内阻约15kΩ）
B．电压表（0～3V，内阻约3kΩ）
C．电流表（0～200mA，内阻约2Ω）
D．电流表（0～30mA，内阻约2Ω）
（2）滑动变阻器的滑片从左向右滑动，发现电压表示数增大．两导线与滑动变阻器接线柱连接情况是________．
A．两导线接在滑动变阻器电阻丝两端接线柱
B．两导线接在滑动变阻器金属杆两端接线柱
C．一条导线接在滑动变阻器金属杆左端接线柱，另一条导线接在电阻丝左端接线柱
D．一条导线接在滑动变阻器金属杆右端接线柱，另一条导线接在电阻丝右端接线柱
（3）选用k、a、R1和R2表示待测电源的电动势E和内阻r的表达式E＝________，r＝________，代入数值可得E和r的测量值．
【尝试解题】
（1）本实验误差在于电压表的分流，内阻越大越好，故选A；电路中能达到的最大电流I＝＝
A≈180mA，电流表最好选C.
（2）滑动变阻器的滑片从左向右滑动，发现电压表示数增大，说明外电路的电阻变大，滑动变阻器的电阻变大，则两导线与滑动变阻器接线柱连接情况是一条导线接在滑动变阻器金属杆左端或右端接线柱，另一条导线接在电阻丝左端接线柱，选C.
（3）在UI图象中纵截距等于电源的电动势，则E＝ka；斜率等于内阻与R2的和，故r＝k－R2.
【答案】
（1）A C
（2）C （3）ka k－R2
1．利用如图所示的电路测定一节干电池的电动势和内阻，要求尽量减小实验误差．供选择的器材有：
A．电流表A（0～0.6A）
B．电压表V1（0～3V）
C．电压表V2（0～15V）
D．滑动变阻器R1（0～20Ω）
E．滑动变阻器R2（0～200Ω）
F．定值电阻R0＝1Ω
G．开关一个，导线若干
（1）实验中电压表应选用B，滑动变阻器应选用D.（选填相应器材前的字母）
（2）闭合开关，电压表和电流表均有示数，但是无论怎么移动滑动变阻器的滑片，电压表的读数变化都非常小．同学们讨论后，在原电路的基础上又加了一个定值电阻R0，问题得到解决．请你在虚线框内画出改进后的电路图．
答案：
见解析图
某位同学记录了6组数据，对应的点已经标在坐标纸上．请在坐标纸上画出UI图线，并根据所画图线可得出干电池的电动势E＝1.5V，内电阻r＝0.14（0.13～0.18）Ω.（结果均保留两位有效数字）
解析：
（1）由于干电池的电动势为1.5V，所以应选电压表B，C的量程太大，误差太大；选用小的滑动变阻器便于操作，故选D.
（2）电路图如图甲所示，UI图线如图乙所示
图象的纵截距表示电源电动势，故有E＝1.5V，所以内阻为r＝Ω－1Ω≈0.14Ω.
突破点二 实验数据处理
例2 用实验测一电池的内阻r和一待测电阻的阻值Rx.已知电池的电动势约6V，电池内阻和待测电阻阻值都为数十欧．可选用的实验器材有：
电流表A1（量程0～30mA）；
电流表A2（量程0～100mA）；
电压表V（量程0～6V）；
滑动变阻器R1（阻值0～5Ω）；
滑动变阻器R2（阻值0～300Ω）；
开关S一个，导线若干条．
某同学的实验过程如下：
Ⅰ.设计如图所示的电路图，正确连接电路．
Ⅱ.将R的阻值调到最大，闭合开关，逐次调小R的阻值，测出多组U和I的值，并记录．以U为纵轴，I为横轴，得到如图所示的图线．
Ⅲ.断开开关，将Rx改接在B、C之间，A与B直接相连，其他部分保持不变．重复Ⅱ的步骤，得到另一条UI图线，图线与横轴I的交点坐标为（I0,0），与纵轴U的交点坐标为（0，U0）．
回答下列问题：
（1）电流表应选用________，滑动变阻器应选用________．
（2）由UI图线，得电源内阻r＝________Ω.
（3）用I0、U0和r表示待测电阻的关系式Rx＝_______，代入数值可得Rx.
（4）若电表为理想电表，Rx接在B、C之间与接在A、B之间，滑动变阻器滑片都从最大阻值位置调到某同一位置，两种情况相比，电流表示数变化范围________，电压表示数变化范围________．（均选填“相同”或“不同”）
【尝试解题】
（1）因为电源电动势约为6V，待测电阻以及电源的内阻都数十欧，估算出电流约为几百毫安，因此电流表选择A2；由于滑动变阻器的接法为限流式，因此应选择较大的滑动变阻器，或者根据题图中（20mA,5.5V）来判断此时内阻分压约为0.5V，那么根据串联电路的电压关系，此时滑动变阻器和定值电阻阻值和为几百欧姆，因此选R2.
（2）电源内阻r＝k＝25Ω.
（3）根据闭合电路欧姆定律E＝U＋I（Rx＋r），可得函数图象的斜率表示的物理意义为－（Rx＋r），而函数图象的斜率根据题意为－，因此有：
－（Rx＋r）＝－，故Rx＝－r.
（4）由于电表为理想电表，因此待测电阻无论放在B、C间或者A、B间，对总电阻没有变化，因此电流不变，在滑动变阻器变化范围相同的情况下，电流表示数变化范围相同．由于待测部分的电阻阻值变化，因此会影响待测部分的分压，因此电压表示数变化范围会不同．
【答案】
（1）A2 R2
（2）25 （3）－r
（4）相同 不同
2．某同学准备利用下列器材测量干电池的电动势和内阻．
A．待测干电池一节，电动势约为1.5V，内阻约为几欧姆
B．直流电压表V，量程为3V，内阻非常大
C．定值电阻R0＝150Ω
D．电阻箱R
E．导线和开关
根据如图甲所示的电路连接图进行实验操作．多次改变电阻箱的阻值，记录每次电阻箱的阻值R和电压表的示数U.在R坐标系中描出的坐标点如图乙所示．
（1）分别用E和r表示电源的电动势和内阻，则与R的关系式为＝R＋.
（2）在图乙坐标纸上画出R关系图线．
答案：
见解析图
（3）根据图线求得斜率k＝4.4×10－3（4.2×10－3～4.6×10－3）V－1·Ω－1，截距b＝0.70（0.69～0.71）V－1.（均保留两位有效数字）
（4）根据图线求得电源电动势E＝1.52（1.45～1.55）V，内阻r＝
9.09（7.50～10.5）Ω.（均保留三位有效数字）
解析：
（1）由闭合电路欧姆定律可知：
E＝U＋（R＋r），
整理可知＝R＋.
（2）作图如图所示．
（3）根据图线求得斜率k＝V－1·Ω－1≈4.4×10－3V－1·Ω－1，截距b＝0.70V－1.
（4）由
（1）中直线方程可知
＝k＝4.4×10－3V－1·Ω－1，＝b＝0.70V－1，
解得E≈1.52V；r≈9.09Ω.
突破点三 实验拓展与创新
例3 用电流表和电压表测定由三节干电池串联组成的电池组（电动势约4.5V，内电阻约1Ω）的电动势和内电阻，除待测电池组、电键、导线外，还有下列器材供选用：
A．电流表：
量程0.6A，内电阻约1Ω
B．电流表：
量程3A，内电阻约0.2Ω
C．电压表：
量程3V，内电阻约30kΩ
D．电压表：
量程6V，内电阻约60kΩ
E．滑动变阻器：
0～1000Ω，额定电流0.5A
F．滑动变阻器：
0～20Ω，额定电流2A
（1）为了使测量结果尽量准确，电流表应选用________，电压表应选用________，滑动变阻器应选用________（均填仪器的字母代号）．
（2）如图为正确选择仪器后，连好的部分电路．为了使测量误差尽可能小，还需在电路中用导线将________和________相连、________和________相连、________和________相连（均填仪器上接线柱的字母代号）．
（3）实验时发现电流表坏了，于是不再使用电流表，剩余仪器中仅用电阻箱替换掉滑动变阻器，重新连接电路，仍能完成实验，实验中读出几组电阻箱的阻值R和对应电压表的示数U.用图象法处理采集到的数据，为在直角坐标系中得到的函数图象是一条直线，则可以________为纵坐标，以________为横坐标．
【尝试解题】
（1）为了使测量结果准确，电流表应选用小量程的，故电流表应选用A；电池组的电动势约为4.5V，故电压表应选量程6V，即选D；滑动变阻器E的最大阻值太大，故应选F.
（2）电压表负接线柱已画好，正接线柱应接电源正极，故用导线将a和d相连、c和g相连、f和h相连．
（3）根据闭合电路欧姆定律有I＝，根据部分电路欧姆定律有U＝IR，解得U＝，经整理可得＝＋·.可以为纵坐标，以为横坐标，则在直角坐标系中得到的函数图象是一条直线．
【答案】
（1）A D F
（2）a d c g f h
（3） （或U 或 R）
3．某同学为了测量一节电池的电动势和内阻，从实验室找到以下器材：
一个满偏电流为100μA，内阻为2500Ω的表头，一个开关，两个电阻箱（0～999.9Ω）和若干导线．
（1）由于表头量程偏小，该同学首先需将表头改装成量程为50mA的电流表，则应将表头与电阻箱并联（选填“串联”或“并联”），并将该电阻箱阻值调为5.0Ω.
（2）接着该同学用改装的电流表对电池的电动势及内阻进行测量，实验电路如图甲所示，通过改变电阻R测相应的电流I，且作相关计算后一并记录如下表.
①根据表中数据，图乙中已描绘出四个点，请将第5、6两组数据也描绘在图乙中，并画出IRI图线．
答案：
见解析图
②根据图线可得电池的电动势E是1.53V，内阻r是2.0Ω.
解析：
（1）电流表扩大量程的原理是并联分流，所以表头应与电阻箱并联，则IgRg＝（I－Ig）R，所以R＝Rg＝×2500Ω≈5.0Ω.
（2）由闭合电路欧姆定律可知：
I＝
变形可得：
IR＝E－I（r＋RA），
故可以作出IRI图象：
根据描点法得出对应的图象如图所示：
则由图象可知，对应的电动势为1.53V，
内阻为：
r＝－5.0＝2.0Ω.
4．根据闭合电路欧姆定律，用图甲所示电路可以测定电池的电动势和内电阻．图中R0两端的对应电压U12，对所得的实验数据进行处理，就可以实现测量目的．根据实验数据在R坐标系中描出坐标点，如图乙所示．已知R0＝150Ω，请完成以下数据分析和处理．
（1）图乙中电阻为80.0Ω的数据点应剔除．
（2）在坐标纸上画出R关系图线．
答案：
见解析图
（3）图线的斜率是4.44（4.38～4.56）×10－3（V－1·Ω－1），由此可得电池电动势E＝1.50（1.46～1.52）V．（计算结果保留三位有效数字）
解析：
（1）由题图乙发现在拟合的过程中，80.0Ω的数据点误差太大，故应剔除．
（2）作图如图所示．
（3）用较远的两点计算得到图线斜率
k＝V－1·Ω－1≈0.00444V－1·Ω－1
由闭合电路欧姆定律E＝U＋Ir可得
E＝U12＋I（R＋r）即E＝U12＋（R＋r）
可得＝＋＋R
所以斜率k＝，代入上一问中求得的k值以及已知的R0值，就可解得E≈1.50V.
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