数学要记忆更要理解.docx

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数学要记忆更要理解

数学要记忆更要理解

数学要记忆还是要理解，这是个似乎不需要讨论的话题，或许平淡得让人不屑一顾，但事实告诫我们，相当数量的学生对数学学习靠记忆还是理解的认识存在两种偏激的倾向，无形中制约着学生思维的发展，这很值得我们思考.笔者通过调研发现，老师们对数学记忆与理解的辨证认识往往是挂在嘴边上、停在思想上，口号喊得振聋发聩，而在具体实践中依然“我行我素”，致使某些不当的教学行为有意无意地左右着学生的认知，出现不尽如人意的现象自然在情理之中.因此，在课堂教学中摆正记忆与理解的关系尤为重要，处理不慎可能会成为学生进行有效学习的“瓶颈”.笔者现就此陈其拙见，恳请交流.

1、当下数学学习的两种倾向

1.1数学依靠理解，不记也行

新的课程标准对学生的学习方式进行了有意识的突出，“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.”但并不是说，模仿记忆就成了过街老鼠，它仍然是数学学习过程中不必不可少的学习方法，从“不是单纯地依赖……”的语句中已经透视出模仿、记忆的不可或缺，没有模仿就没有迁移，更谈不上创新，没有记忆，就没有认知，何谈理解？

帕斯卡尔说过：

“记忆是一切脑力劳动之必需.”哈柏曾言：

“记忆力并不是智慧；但没有记忆力还成什么智慧呢？

”培根之语：

“一切知识的获得是记忆，记忆是一切智力活动的基础.”可见，名人对记忆的地位给予了充分的肯定，以上的倾向实际上是对新理念的偏颇解读，强调通过自主合作进行意义建构，深化理解，这只是摆正其应有的位置（因为原来有所忽视），而不是推崇为唯一.宋人学者张载说：

“不记则思不起.”面对问题，引起思考，力求克之，可一旦离开了记忆，思考的链条就会断裂，问题解决将无从谈起.试想，如果我们不能准确地记忆一元二次方程的求根公式，那一般的一元二次方程的求解若单靠因式分解或配方法恐怕会陷于困境，甚至会寸步难行.又如，要证三角形全等，若将三角形判定定理给忘了，那思考只能终止，只能求援，再度学习.感知过的数学公式、定理、法则、性质等若不能在头脑中保存和再现，思维的加工也就成了无源之水，无米之炊.

1.2数学依靠记忆，会套则灵.

这是数学学习的又一种倾向.把数学学习看成了一种“体能”活动，贬损了智力的参与，平时教学为了赶进度，不惜牺牲学生的智能活动，割舍了生动的、富有个性化特色的知识、规律、法则等的探索历程，只展示了数学“冰冷的美丽”，“火热的思考”被无情地封存起来，动不动让学生记一些结论，并告诉学生，到时候一套即灵，然后大量的练习紧随其后，学生练得昏天黑地，晕头转向，到头来，题目摇身一变，学生仍然手足无措，岂不悲哉！

我们静下心来好好地反思一下，学生辛辛苦苦的劳作为何难见成效？

谁之过？

还不是我们自己的“杰作”.这样的课堂可以说屡见不鲜：

匆匆学完某个新知识就急于解题，甚至是解难题，不仅课后作业难，而且课堂练习也参入难题，还自诩“直面中考”，但学生怎样呢？

仰视题目，一脸愁容，难以入手，甚至根本就解不了，怎么办？

老师倾其所能，不厌其烦地滔滔而讲，由于跨越了学生认知发展区，学生一筹莫展，好生困惑，只好长叹一声：

哎！

干脆强行记忆了之（这还是求上进的学生），以后搬题型、对套路就是了，如此使然，自然加重了学生的记忆负担与心理压力.这样，“工业损失农业补，理解不成记忆堵”成为一种时尚.数学活动是一种思维活动，需要理解的支持，需要揣摩、调整、领悟，正如列夫托尔斯泰所言：

“知识，只有当它是靠积极的思维得来，而不是凭记忆得来的时候，才是真正的知识.”这句箴言，对我们当下的教学行为有不菲的导向作用.的确，没有理解作支撑的记忆是不长久的，没有弄清知识的来龙去脉，我们的记忆链条是容易断裂的，更谈不上去运用.

2、对记忆与理解的重新认识

张奠宙教授在《话说“数学双基”》一文中，已经给记忆与理解作了精辟论述：

记忆通向理解.西方的一些教育理论强调理解，忽视记忆.实际上，没有记忆就无法理解，理解是记忆的综合.数学双基强调必要的记忆，但并非不要理解，相反，理解会推动记忆的发展.需要我们明白的是理解不能孤立进行，有时候就是在先记忆的基础上通过一定的操练而完成理解加深理解的.当然我们的大师是针对西方在强调我国双基的特征时提出的，可能有偏袒记忆之嫌，但不管怎样，大师对它们的辨证认识是值得我们咀嚼回味的.

记忆与理解互赖相生，彼此依托，若重其一点，不及其余，搞二元对立显然是片面的，要不得的。

记忆为理解提供物质载体，是通向理解的引桥，理解为记忆搭建延伸的平台，是记忆牢固不可或缺的后盾.一谈记忆人们往往冠之于“机械”，实际上我们有些同学的记忆是比较灵活的，如有的同学采用联想记忆、类比记忆等进行学习，但确有部分同学是死记硬背，尤其是学困生，这样的记忆容易促成“假性理解”【1】并停滞不前，这实际上就是张洪魏对理解分层中的操作性理解【3】.而一谈及理解人们会不自觉地与“灵活”挂上钩，成为展示自己高人一等的筹码，鄙视记忆的功用.就是这样的偏见，才导致了两种倾向的愈演愈烈.

记忆与理解是推动数学学习的双臂，数学作为一种高级形式的学习，需要理解也是不容置疑的，并且要想法设法促成学生对知识的迁移性理解【3】，但这并不否认记忆的作用.

3、教学启示

3.1行动引领行为，咬定记忆不放松.

“如果智力是一座工厂，那么，记忆力就是积累原材料的仓库.”“记忆为智慧之母.”亚里士多德的一句经典名言道出了记忆的重要性，记忆本身虽不是智慧，但它能孕育智慧，是一切智力活动的起点，我们知道记忆力也是智力因素的一个重要组分，因此，指导学生记忆公式、定理、性质、法则等是我们常规教学不容忽视的一环.同样的内容有的同学记得快，有的记得慢，除了先天的不可控因素外，更重要的是可控的情感参与与方法策略的选择问题.仅有以上认识是不够的，要用教学的实践活动善于为学生营造环境、创造条件，并给予具体的方法指导，导引学生踏上健康的记忆之路.

3.1.1要学会欣赏学生，帮助学生树立自信心，一定程度地说，没有自信就没有记忆。

人的内心深处都有一种被肯定、被尊重、被赏识的需要，每个人仿佛都是为赏识而生存.为此，作为人类灵魂的工程师，应该尊重孩子，赏识孩子.用赏识的眼光和心态，去寻找每一个可以赏识的对象.不要等他们已经将最优秀的一面表现出来后，才去赏识他们，而是要抓住师生、生生之间每一次交流中的闪光点，运用赏识性用语，使他们的心灵在赏识中得到舒展，让他们变得越来越优秀，越来越有信心.生理学研究表明，如果没有自信，脑细胞的活动便会受到抑制，使记忆力减退.只有树立了自信，才能进入“良性循环”，这是记忆力增强的基点.

美国心理学家胡德华说：

“凡是记忆力强的人，都必须对自己的记忆充满信心.”要想树立起这种信心就要进行积极的自我暗示，许多人之所以记忆力不佳，就是由于对自己的记忆力缺乏自信.在面对一个要记的材料时，这些人常常想：

“多难记啊！

”，“这么多，我能记住吗？

”这种想法是提高记忆力的最大障碍.在记忆过程中一定要经常在心中默念：

“我记忆力很好，我一定能记住！

”以此意念正向强化自己的记忆.

3.1.2要激发学生的学习热情，培养对记忆的兴趣，在兴奋中提升记忆力。

“兴趣是最好的老师”，孔子云：

“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”，著名精神分析学家弗洛伊德曾说过：

“对自己造成威胁的事，由于受到无意识的压抑，很难上升到意识阶段来.”麦克唐纳也说过：

“几乎没有人会记得他所丝毫不感兴趣的事情.”而马什如是说：

“以愉快的心情学得的，会永远记着.”大师们的正反论断已清清楚楚地告诉我们，兴趣是记忆的源泉.我们也深有体会，情绪高涨了，神经兴奋了，记忆力会大增；对记忆的内容感兴趣或自已特别关心的事情总是记得很牢.

有人说：

“教师的语言如钥匙，能打开学生心灵的窗户，如火炬能照亮学生的未来，如种子能深埋在学生的心里”.在学生的表现有明显进步时，应及时运用肯定性、激励性用语，并适当给出方法上的指导，有利于提高学习的积极性和主动性，从而产生强大的内驱力，激发起奋发向上的热情.有了热情有了内驱力，区区几行文字的记忆还不是小菜一碟.

3.1.3要指导学生使用科学有效的记忆方法。

“授人以鱼，不如授人以渔”.作为教师要正视学生的个性差异，有针对性地指导学生采用有效的记忆方法，以提高学习的效率.

（1）浓缩法.苏沃洛夫说过：

“记忆是智慧的仓库，但是在这个仓库里有许多隔断，因而应当尽快地把一切都放得井井有序.”可见，对记忆的信息碎片重组与整合非常重要，若把这些信息碎片组织成有意义的“集成块”，形成知识的整体缩影，不仅可以拓宽记忆空间，增加信息的摄取量，而且还有助于保持记忆并便于信息的快速提取.

如：

不等式组的解集可简记为：

同大取大，同小取小，大小小大取中，大大小小取空.

另如记忆诱导公式可简记为“奇变偶不变，符号看象限”.

（2）谐趣法.有意义的和感兴趣的事物容易记住，这是每个有记忆力的人的共同感受，把平淡、枯燥的记忆目标意趣化，譬如利用谐音或者生动形象的比喻等，都是强化记忆的有效方法.

例如：

的化简公式的记忆历来是老大难，不妨采用以下方式：

出屋子，进门子（），身强力壮（a为非负数）出门子（），体弱多病（a为负数）带杖子（）.假以形象的说辞，情趣盎然，无疑成了记忆的催化剂.

（3）表格法.表格减少了不必要的文字说明，清晰明了，条分缕析，相互映衬，是梳理记忆的好方法.如0°、30°、45°、60°、90°等特殊角的三角函数值可通过下表帮助记忆.

锐角α

（4）比较法.有比较才有鉴别，有鉴别才便于抓住事物的本质，这样的记忆才会久远.如对三角形的四心的认识，同学们常常会混淆难辨，可通过学习的逐步推进适时集中展现的方式进行比较，强化同中之异，突出本质属性.

内心：

三角形三条角平分线的交点；

外心：

三角形三边垂直平分线的交点；

重心：

三角形三条中线的交点；

垂心：

三角形三条高线的交点。

如此展现，差异点一目了然.

（5）歌诀法.用琅琅上口的歌诀，可提高学生的记忆兴趣.如完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，可记作：

头平方、尾平方、乘积2倍居中央.

又如记忆三角形中的常见辅助线：

已知有中线，中线加倍延；已知有中点，想想中位线；已知角分线，平移或旋转；已知等腰形，常常画三线.

（6）图示法（形象记忆法）.有些内容非常相近,稍一疏忽就会出现记忆的失准,此时可借助画图,直观展现,形象记忆，尤其是对几何内容尤为奏效.如圆与圆的位置与数量的关系可用以下图示（d为圆心距，R、r分别为大、小圆的半径）：

知识要领，直观形象，一目了然.

（7）联想记忆法.就是利用广泛的联想，把具有相关意义的两个或两个以上的记忆目标，联合在一起形成的网络式记忆，往往比孤立地记忆其中一个还要容易，这是因为，利用它们的相关意义（由内想外、上挂下联、纵横贯通等）由此及彼地联想，经过相互印证、相互补充，必然能收到事半功倍的记忆效果.

如把具有从属关系的几个概念，或具有因果关系的几个定理（公式）连同它们的先后顺序联合在一起记忆，不仅可由前者推出后者，而且也可由后者感知前者.如把对应、映射、一一映射、逆映射等概念联合在一起；把棱柱、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体等几何体的定义联合在一起；把两角和的正余弦公式、二倍角公式、半角公式等联合在一起等等.

（8）逻辑（推理）记忆法.许多数学知识之间逻辑关系比较明显，要记住这些知识，只需记忆一个，而其余可利用逻辑推理而得到，这种记忆称为逻辑（推理）记忆.它依靠由少变多、由低级向高级等的认知规律层层推进式记忆，形成逻辑网点，它与联想记忆相互支撑，相得益彰，此种方法基点的选择至关重要.如平行四边形的性质，我们只要记住它的定义，由定义推得它的任一对角线把它分成两上全等三角形，继而又推得它的对边相等，对角相等，相邻角互补，两条对角线互相平分等性质.

（9）理解记忆法

知识的理解是产生记忆的根本条件，对于数学知识特别要通过理解、掌握它的逻辑结构体系进行记忆.由于数学是建立在逻辑学基础上的一门学科，它的概念、法则的建立，定理的论证，公式的推导，无不处于一定的逻辑体系之中，因此，数学中的定理、公式、法则等都必须弄通它的来龙去脉，弄懂它们的证明过程，以便牢固记住它们.如弧长公式与扇形面积公式若靠单纯的硬性记忆，由于公式中的量较多学生往往是今天记住明天忘，实际上它的起始点就是小学生都耳熟能详的圆周长、圆面积公式，把整个圆的圆心角360等份，每一份的弧长以及对应的扇形面积分别为、，显然n份的弧长为，其对应的扇形面积为，这样弄清了公式的渊源自然形成了记忆，想忘掉都难！

3.2拉长思维链条，深化理解是永恒.

理解本身是一种难以言喻的美妙境界，这种美妙的境界需要心灵的碰撞，需要思维的参与，这个过程任何人不能替代，是学生自己的一种感悟与领会，通常状况下，我们有些教师习惯将自己的认识强加给学生，有时纵然也想循循善诱，但由于缺乏耐心和应有的驾驭课堂的能力，往往仍走向和盘托出的老路，一切发现让学生尽收眼底，坐享其成，无需深入思考.久而久之，使学生的依赖心理越来越强，一知半解、不求甚解也就不足为怪了.因此，在知识的学习过程中，我们要敢于解放学生的“手脚”，善于搭建思维的平台，还思考的权力于学生，尽可能地拉长被压缩了的知识链条、丰富发现的过程，引导学生多个感官的积极参与，使学生在摸爬滚打中体验学习的成功与失败，促进学生对数学的深层理解（迁移性理解），为学生顿悟提供舞台.

3.2.1提供感性材料，促成理性认知。

由直觉到知觉，由知觉到表象这是认识事物的一般规律.前苏联心理学家鲁宾斯坦曾经说过：

“任何思维无论多么抽象和多么理论，都是从分析经验开始，而不可能是从其他东西开始的.”因此，通过具体的蕴有丰富内涵的感性材料的认知活动，减缓感性到理性的坡度，无疑对认知理解提供了保证.文【3】的四.2已有论述.

3.2.2指导学生自问，学会有效思考.

通过一系列的问题导引进行自问自答，反观自己认知理解的漏洞、思考问题的缺陷，然后调整改革，增强自制，涵养思考的习惯.具体见文【3】的四.4.

3.2.3善于运用变式，洞悉事物本质.

变式的研究颇多，也是我国数学双基教学的特色，是其理论特征之一（重复依靠变式）【2】，同时文【3】中的四.3对变式进行了比较详尽的说明，在此不再赘述.

3.2.4注重说、写、思、辨，突出语言交流.

师生之间信息畅通，才能保证教与学的指向性，针对性，才能走出低效的课堂，说、写、思、辩是暴露认知缺口、触摸思维盲区的重要手段，是数学交流得以维持与发展的有效路径，是促进理解的催化剂.具体措施详见文【3】的四.1和四.5.

3.2.5善于引导反思，优化思维品质.

学习数学就意味着善于解题，有目的的解题可以深化理解。

在解题后，应引导学生“回头看”（反思），回想一下怎样审题摄取信息，用到哪些知识点，各知识点间有何联系，解题过程对吗，考虑问题是否全面，能否改进解法，有无更好的方法，有无规律等等，如此使然，帮助学习把相关知识进行串联学习，学例得类，期望豁然贯通。

另外，在问题的解决过程中，思维受阻是常有的事，为什么受阻？

自己是如何“突围”的？

善于从这些角度对自己的认知理解、思维判断进行反思，能有效显现学生思维后面潜藏的元认知，在实践——认识——再实践——再认识的循环往复中调整思维走向、提升元认知水平，从而优化思维，为达成高层的认知理解提供了智能保障.

3.3结语：

记忆撘台，理解唱戏.

理解是获知的关键.金生竑先生曾经指出：

“就学生的学习过程而言，理解是学习的基础，任何认知方式都是建立在理解之上的，不论是分析、概括、归纳还是具体化、系统化.理解使学习成为可能，在学习过程中，学生进行着对学习情境图像的理解、对自我的把握以及对学习材料最初意义上的把握等等，理解总是渗透到学习活动的各个方面，如动机、情感、态度、目的等，使学生活动得以进行.理解的关键就是把个人的整体经验投向了相关的学习内容，并发生意义关联，这样才可能使学习者的认知活动得以实现.”一定意义上说，没有理解就没有真正意义上的学习.

数学作为人类智慧的结晶具有高度的抽象性和严密的逻辑性，其知识的此牵彼连，牵一发而动全身是数学的常态，若某一知识点不理解，可能会引发“连锁反应”，相关的知识也就很难理解甚至没法理解，学习可能就此中断.那如此说来，某些不能及时理解的学生就没法继续下去了吗？

非也，我们在学习中发现，很多学生（包括成绩优秀者）在新知的学习过程中都存在或多或少理解上的偏差，此时他们是靠暂时的强行记忆将欲断的认知链条弥合起来，然后在后续的演练中有意识地加强，慢慢地去消化、去理解，可见，此时的记忆将发挥着承前启后的作用.舍弃记忆机械成分的消极作用，发挥好记忆的积极性能，对于深化认知理解、洞悉数学思维意义重大.

参考文献：

1、戴海勇，对学生假性理解的探讨【J】，中小学数学，2001，4

2、张奠宙，话说“数学双基”【J】，湖南教育·数学教师，2007，1

3、张洪魏，关于学生数学认知理解的思考【J】，数学教育学报，2006，4.