北师大版七年级数学下册三角形难题全解.docx

北师大版七年级数学下册三角形难题全解.docx

《北师大版七年级数学下册三角形难题全解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版七年级数学下册三角形难题全解.docx（20页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

北师大版七年级数学下册三角形难题全解

来源：

2011-2012学年广东省汕头市潮南区中考模拟考试数学卷（解析版）考点：

三角形

如图，已知，等腰Rt△OAB中，/AOB=9Q等腰Rt△EOF中，/EOF=90,连结AE、BF.

求证：

（1）AE=BF

（2）AE!

BF.

【答案】

见解析

【解析】解：

（1）证明：

在厶AEOW^BFO中,

•••Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形，

•••AO=OBOE=OF/AO=90°-/BO=ZBOF

•••△AEO^ABFO

•••AE=BF

（2）延长AE交BF于D,交OB于C,贝BCI=ZACO

由

（1）知：

/OA（=ZOBF

•••/BDA/AO=90°，

•••AE!

BF.

（1）可以把要证明相等的线段AE,CF放到△AEO△BFO中考虑全等的条件,由两个等腰直角三角形得AO=BOOE=OF再找夹角相等，这两个夹角都是直角

减去/BOE的结果，所以相等，由此可以证明厶AE3ABFO

（2）由

（1）知：

/OACMOBF二/BDAMAOB=90，由此可以证明AE!

BF

来源：

2012-2013学年吉林省八年级上期中考试数学试卷（解析版）

考点：

四边形

如图，在正方形ABCD中,E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=AB,已知△ABE^AADF.

（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使△ABE变到厶ADF的位置；

（2）线段BE与DF有什么关系？

证明你的结论.

【答案】

（1）绕点A旋转90°;

（2）BE=DFBE!

DF.

【解析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判断和性质

（1）根据旋转的概念得出；

（2）根据旋转的性质得出△ABE^AADF从而得出BE=DF再根据正方形的性质得出BE!

DF.

（1）图中是通过绕点A旋转90°,使厶ABE变到△ADF的位置.

（2）BE=DFBE!

DF;

延长BE交DF于G;

来源：

2012年江苏省东台市七年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

如图，在Aabc中，已知/abc=30°，点d在be上，点e在ac上，/bad=Zebc,ad交be于f.

1.隶初FD的度数；

2.若eg//ad交bc于g，eh丄be交bc于h，求/heg的度数.

【答案】

1./BFD"ABF+ZBAD（三角形外角等于两内角之和）

vZBADZEBC

•••/BFDZABF+ZEBC

•••ZBFDZABC=30;

2.vEG//Ad，•••/BFDZBEG=30（同位角相等）

vEHLBE

:

丄HEB=90,

•••/HEGMHEB/BEG=90-30°=60°.

【解析】

1./BFD的度数可以利用角的等效替换转化为/ABC的大小，

2.在直角三角形中，有平行线，利用同位角即可求解.

三角形强化训练和深化？

1、如图a是长方形纸带，/DEF=25°,将纸带沿EF折叠成图b,再沿BF折叠成图c,则图c

中的/CFE的度数是°.

和高AD相交于F,作FG//BC交AB于G,求证

解析：

由题意可知折叠前，由BC//AD得：

/BFE玄DEF=25将纸带沿EF折叠成图b后，

/GEFMDEF=25

所以图b中，/DGFMGEFVBFE=25+25°=50°又在四边形CDGF中,ZC=ZD=90

则由：

/DGFZGFC=180

所以：

ZGFC=180—50°=130°

将纸带再沿BF第二次折叠成图C后

ZGFC1度值保持不变

且此时：

ZGFGZEFG-ZCFE

所以：

ZCFEZGFCZEFG=130-25°=105

2、在Rt△ABC中，ZA=90°，CE是角平分线,

AE=BG.

解法1：

【解析】证明：

TZBAC=900

AD丄BC

•••Z1=ZB

•/CE是角平分线

•Z2=Z3

vZ5=Z1+Z2

Z4=Z3+ZB

•Z4=Z5

•AE=AF

过F作FM丄AC并延长MF交BC于N

•••MN//AB

•/FG//BD

•四边形GBDF为平行四边形

•GB=FN

TAD丄BC,CE为角平分线

•FD=FM

在RtAAMF和RtNDF中

'乙如F=ZNDF=90：

£FM=FD

Z6=Z7

•△AMF^ANDF

•AF=FN

•AE=BG

ZAGF=ZB

AF=EH

•△AFG^AEHB（AAS）

•AG=EB,

即AE+EG=BG+GE

•AE=BG.

•••△ABC为等腰直角三角形，

•••/ACF=ZBCF=45,即/ACG=45，/B=45,•••CE丄AD,

•••/1+ZACE=Z2+/ACE=90,

•••/仁/2,

在^AGC和厶CEB中

/仁/2

AC=CB

/ACG=ZCBE

AGC^ACEB（ASA）,

•CG=BE

•AD为腰CB上的中线，

•CD=BD,

在^CGD和厶BED中

CG=BE

/GCD=ZB

CD=BD

•••△CGD^ABED（SAS,•••/CDA=ZEDB.

4、如图，已知AD和BC相交于点O,且d均为等边三角形，以托工卞二‘三平行四边形ODEB连结AC,AE和C吕

求证也是等边三角形

证明：

•△OAB和△OCD为等边三角形,

•CD=OD,OB=AB,/ADC=/ABO=60

•四边形ODEB是平行四边形,

•OD=BE,OB=DE,/CBE=/EDO.

•CD=BE,AB=DE,/ABE=/CDE.

•△ABEEDC.

•AE=CE,/AEB=/ECD.

•/BE//AD,

•/AEB=/EAD.

•/EAD=/ECD.

在AAFE和△CFD中

又AFE=/CFD,

•••/AEC=/ADC=60.

•••△ACE为等边三角形.

5.

如图，在直角梯形ABCD中，/ABC=ZBAD=90°,AB=16，对角线AC与BD交于点E,过E作EF丄AB于点F,0为边AB的中点，且FE+B0=8.求AD+BC的值.

解：

设EF^,BF=y?

■.'FE+E0=8?

/.0E-8_xf

而AB=16,0洵边AE的中点,

JEF丄AB,

.'.Z0FE=90°,

.\OE2=OF2+EF2,即（8-k）—<8-y）Z+T2,

又TZABC二,即AD〃EF"EG

/.ABEF<^ABDA^AAEFooAACBj

.EFBFEFAF

一一一—一一

■:

ADBVEC^AE

16/.AD+BC^16x^—=16・

16厂十

6.如图，在△ABC中，/BAC=90,AB=AC,D是厶ABC内一点，且ZMC=Z^=15°

求证：

BD=BA

如图：

以AD为边，在△ADB中作等边三角形ADE，连接BE.

°=15°，即/BAE=/CAD，且AB=AC，AE=AD，

/•△EABDAC（SAS），

/•ZBEA=/CDA=180-15°15°=150°，

/•ZBED=360-ZBEA-60=150°，即ZBEA=ZBED;又vAE=ED，BE=BE，

•/△BEABED（SAS），

•/BA=BD.

求证：

_一二一一—-

延长CA至F，使得AF=CA则三角形DAF与三角形BAC全等,

DF=BC,且

又DE=BC=DF，所以三角形DFE为等腰三角形，所以

8.如图，已知点D是边长为1的等边三角形ABC的内心，点E，F分别在边AB,AC上，且满足m仆。

求—丄的周长。

过D做AC和AB的垂线交与HG找到一个I点，使/EDI=60度可以证明。

过D做AC和AB的垂线交与HG找到一个I点，使/EDI=60度那么三角形HDF和GDI全等。

证明：

/HDG=120/FDI=120（2个60度相加）/HDG-ZFDG=/FDI-ZFDG

/HDF=/GDI

DH=GD

/DHF=/DGI=90度

由此可知FD=ID

那么三角形FDE和IDE全等。

证明：

因为FD=ID

ED=ED

/FDE=/IDE=60°

由此可知FE=IE（蓝色线）那么三角形AFD和BID全等。

证明：

/ADB=120/FDI=120（2个60度相加）

/ADB-ZADI=/FDI-ZADI

所以ZBDI=ZFDA

因为FD=ID,AD=BD那么，AE=BI红色线）最后，AE+EF+FA=AE+EI+IB单边长。

为固定值。

A

初一下册数学难题（全内容）

1

1、解方程：

180"「二「290180，则:

=60°

3

2、用10唏口5%勺盐水合成8%勺盐水10kg，问10帰口5%勺盐水各需多少kg?

设需10%勺盐水X千克，则需要5%勺盐水（10-X）千克

X*10%+（10-X）*5%=10*8%

5%X=0.3

X=6

10-6=4（千克）

所以需10%勺盐水6千克，则需要5%勺盐水4千克

3、已知5x2k=3的解为正数，则k的取值范围是

x—2a1

4、

（2）若的解为x>3，则a的取值范围

、2（x+1）.11-x

（2x-a1

（3）若的解是-1vxv1，则（a+1）（b-2）=

x-2b）3

（4）若2xva的解集为xv2，贝Ua=

2x—m兰0

（5）若有解，则m的取值范围

4^160

X3x2y=m1+

5、已知，x>y，贝Um的取值范围;

_2x+y=m—1

6、已知上山的速度为600m/h，下上的速度为400m/h，则上下山的平均速度为？

7、已知4（x+y_3）2+|x—y=0，贝Hx=，y=

]3x5y3z=0nt

8、已知｛（zh0），则x:

z=,y:

z=；

3x_5y_8z=0

1x■2y=6

9、当m=时，方程中x、y的值相等，此时x、y的值

2x-y=3m-10

10、已知点P（5a-7,-6a-2）在二、四象限的角平分线上，则a=。

”x+2y=3m小小小21

11、丿的解是3x+2y=34的解，求m2——。

x—y=9mm

12、若方程3m（x•1）•1=m（3「x）-5x的解是负数，贝Um的取值范围是。

13、船从A点出发，向北偏西60°行进了200km到B点，再从B点向南偏东20°方向走500km

到C点，则/ABC。

3x+5y=a+2

14、丿的解x和y的和为0,贝Ua=。

gx+3y=a

15、a、b互为相反数且均不为0,c、d互为倒数，则（a■b）5cd=。

a3

a

a、b互为相反数且均不为0,则（a•b-1）

（1）±。

b

a、b互为相反数，c、d互为倒数，x=2，则10a+10b+cdx=。

m

16、若一=1，则m0。

（填“〉”、“v”或“=”）

m

_27

17、计算：

一二;0.2576477二。

1

2

18、若m+5与（n—2f互为相反数，则m"=。

19、倒数等于它本身的数是：

；相反数等于它本身的数是：

。

20、有23人在甲处劳动，17人在乙处劳动，现调20人去支援，使在甲处劳动的人数是在

乙处劳动的人数的2倍，应调往甲乙两处各多少人？

21、如图

（1）,已知△ABC中,/BAC=90,AB=AC,AE是过A的一条直线，且B、C在A、E

（1）试说明：

BD=DE+CE.

•••/ABD+ZBAD=90,/CAE+ZBAD=90/-ZABD玄CAE

在Rt△ABD和Rt△CAE中，ZABD玄CAE,ZADBZCEA=90,AB=CA,ABD^ACAE,

/•BD=AE,AD=CE,TDE+AD=AE,/•DE+CE=AE=BD

⑵若直线AE绕A点旋转到图

（2）位置时（BD

不需说明.

DE=BD+CE（AAS）

⑶若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD>CE）,其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？

DE=BD+CE（AAS）

等腰Rt△EOF中,ZEOF=90,连结AE、BF.

22、如图，已知：

等腰Rt△OAB中,ZAOB=90

求证:

（1）AE=BF;

（2）AE丄BF.

证明：

（1）

tZAOEZEOBZAOB=90o

ZBOF-ZEOBZEOF=90o

/ZAOEZBOF

又tAO=BOEO=FOAO舉/BOF（SAS

/AE=BF

（2）

t/AO舉/BOF

/ZOAEZOBF

延长AE交BF于G

tZABOZBAEZOAE=90o

/ZABOZBAE-ZOBF=90o

/•ZAGB=90o

即AE!

BF

1

23、如图示，已知四边形ABCD是正方形，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF=—AB,

2

已知△ABE^AADF.

（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使厶ABE变到△ADF的位置；（3分）

（2）线段BE与DF有什么关系？

证明你的结论。

（10分）

BE=DF且垂直于DF

过程如下：

T四边形ABCD是正方形

•/AB=AD

tE是AD的中点

•••AE=1/2AD又tAF=1/2AB

•••AE=AF

vZDAB=90

•••/DAF=90

•••△DFA^ABEA（边角边）

vZFDAZF=90°,ZEBAZFDA

•••ZF+ZEBA=90

•••ZFPB=90（P是延长后交DF的点）

•BE!

DF

24、上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案：

（I）ZAOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA0B之间，移动角尺使角尺

两边相同的刻度与MN重合，即PM=PN过角尺顶点P的射线0P就是ZAOB的平分线.

（H）ZAOB是一个任意角，在边OA0B上分别取0M=0,将角尺的直角顶点P介于射线OA0B之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与MN重合，即PM=PN过角尺顶点P的射线0P就是ZAOB的平分线.

（1）方案（I）、方案（n）是否可行？

若可行，请证明；若不可行，请说明理由.（9分）

（2）在方案（I）PM=PN勺情况下，继续移动角尺，同时使PMLOAPN10B.此方案是否可

行？

请说明理由•（5分）

餡；仁〉方案＜I＞不可行.離少证明三角形全等的築件,•.•只有OP=OP,二FM不能判断△

前不能判定UF就是/ADB的平分线J

方案5）可行-

证明：

在珂和△QFN中

OM=ON

PM-PN

[oF=OP

AAOPW^AOFMCSSS）t

AZW=ZB0F（全等三角羽对应角相等》（5分）；

・・・CiF就是3啲平分线.

⑵当是直角时，方案（I）可行.

■「四边形内甬和为36胪J又若FM丄0虹FNIOBjZO«P=Z0HF=9OsjZMPH=9Or.ZAOB=9O°t垂直的走文），

TFM丄DMPN1OB,且FM二FN,

•MF为EAOB的孚分线（角平分线隹质）「

当不芮直角时.此方案也可行.

VPM-LOKjPFXOB?

几△OFNI和△OFM是盲角三角网.

在RtAOFH和肮△□FIT中

＜PM=PN

v\op=op

AAOPM^AOfU（KL）,

「•GOFN应〔全等三角形对应嗣目等）（5分八

“蹴是三血的平分线.