福师大网络教育《复变函数》网络作业答案.docx
《福师大网络教育《复变函数》网络作业答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福师大网络教育《复变函数》网络作业答案.docx（30页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
福师大网络教育《复变函数》网络作业答案
.
复变函数作业一
一、判断（对的用T表示，错的用F表示）
1、如果f（z0）存在，那么f（z）在z0解析。
（F）
2、LnznnLnz。
（F）
3、当且仅当z为实数时，ez为实数。
（F）
4、设f（z）uiv在区域D是解析的，如果u是实常数，那么
数；如果v是实常数，那么f（z）在D也是常数。
（T）
二、填空
1
i
n
1
i3
n
1、Re
3
=
；Im
=
2
2
2、设
是1的n
次根，
1，则1
2
L
n1=
0
3、在映射
z2
下，扇形区域0
argz
z
4
0
argz
π
2
。
4、若
1
n
1
n
。
i
i，则n=
三、计算
1、计算下列函数值：
1）
i
；）
34i
。
Lne
2
1）、Lnei
解：
主值lnei
lnei
iargei
i,
Lnei
lnei
2kii2ki,k
f（z）在整个D是常
。
。
1的像区域为
2）、34i
解：
设3+4i的平方根是x+yi，x、y∈R，则有x2-y2=3，且2xy=4，
...
.
求得x=2，y=1，或x=-2y=-1，
故3+4i的平方根是2+i，或-2-i，
故答案为：
2+i，或-2-i
2、下列函数在复平面上何处可导？
何处解析？
1）1
；
2）x2
y2
xi2xyy2。
z
1）1
；
z
解：
因为f（z）=|z|当趋于0-时f（z）=|-1；当趋于0+时f（z）=|1；右极限不等
于左极限。
所以f（z）=|z|在z=0处不可导，而在除0以外的其他地方都可导且解析。
2）x2
y2
x
i
2xy
y2。
解：
ux
2x
1
vx
2y
uy
2y
vy
2x
2y
ux
vy,uy
vx
y
1
2
仅在直线y1上可导，在复平面上处处不解析。
2
3、函数f（z）x2y32x2y2i是否为解析函数？
求出其导数。
解：
不是解析函数，因为满足条件的只有两个点，不成区域
f
（x,y）
ux
ivx
2x
4xy2
f
（0,0）
0,f
3,2
3
4i
4
3
2
3
...
.
4、已知f（z）
3
2
7
1
C:
x
2
y
2
3
，求f1i。
C
z
d
解：
f（z）
2
i（3z2
7z
1）
f（z）
2
i（6z
7）
f（1
i）
2
613i
5、计算积分
1）
3z
1
z2zz
dz；
1
解：
1）
3z
1dz；
z2zz
1
...
.
sin
z
4
2）
1
2
dz；
z1
z
1
解：
sin
z
sin
z
4
4
z2
在z
11只有z
1一个极点，所以令fz
，所以
1
1
z
sin
z
4
fz
2
dz
2if1
z11z2
1
dz
i
z11z1
2
3）z11
ez
dz；
2
2zz
1
解:
1
ez
dz
z1
2
2
zz
1
1
e
dz
2z（z2
z1
1）
4）
dz
2。
z13
3
z
2
z
解：
3dz3
1
2
4z4）
z1
z（z
3dz
z1
z5
4z4
4z3
四、证明：
若积分路径不经过
1
dz
k,k￠。
i，则
z2
01
4
证明：
如果积分路径不经过i，且不绕过，i则由柯西定理得，
...
.
若积分绕z=转k1圈，则积分值为
若绕z=-i转k2圈，则积分值为
故在一般情况下，积分值为
五、证明：
设v是u的共轭调和函数，问下列各对函数中后者是不是前者的共轭调和函数？
判断并给出理由：
1）Au
Bv,BuAv（A,B为常数）；
2）u2
v2,uv。
1）证明：
2）不是的共轭调和函数
证明：
...
.
因为在某区域的调和函数一定是该区域某解析函数（可能多值）的实部或虚
部，反之，某区域的解析函数其实部与虚部都是该区域的调和函数。
和
不满足此条件，应该是2uv是的共轭调和函数。
综上所述，不是的共轭调和函数。
复变函数作业二
一、判断
1、
an（z2）n在z=0收敛，在z=3发散。
（F）
n
0
2、在区域z
R解析，且在区间（-R，R）取实数值的函数f（z）展开成z的幂级
数时，展开式的系数都是实数。
（
T
）
3、tan1在圆环区域0zR（0
R
）不能展开成罗朗级数。
（
F
）
z
1
4、z=0是f（z）
tan
ez的本性奇点。
（T）
二、填空
2
1、
（1i）nzn
的收敛半径为
2
。
n
0
2、ez2
sinz2展开成z的幂级数的收敛半径=
。
3、z=0是f（z）
sinztanz的
3
级零点。
4、f（z）,g（z）以z=a为m级和n级极点，则z=a为f（z）g（z）的m+n
级
极
点。
三、计算
1、求1在z0
1处的泰勒展开式。
z2
解：
...
.
1
1
1
（n1）（z1）n
（z11）
z2
z
1（z1）
n0
2、求
zn
:
z
1
n1
2
解：
zndz
dz
zndz2i
n1
z
n1
3、求f（z）12z4z2z3在z=1处的泰勒展开式。
解：
当z=1时，此函数的泰勒展开式为：
（z-1）^3-（z-1）^2-3（z-1）
1
在以i为中心的圆环域展开为罗朗级数。
4、将f（z）
z2（z
i）
解:
zndz
dz
zndz2i
n1
z
n1
四、若f（z）为整函数，且lim
M（r）
M（r）maxf（z），则f（z）是不高于n
n
r
zr
r
次的多项式。
证明：
f（z）
ckzk,z
k0
当k
n
1
lim
M
（r）
r
k
r
当k
n1
ck
M（r）
（k
0,1,2,L
）
rk
时，令kn
p
（p1）
lim
1
M（r）
0（kn
1）
p
r
n
r
r
时，ck
0
...
.
复变函数作业三
一、
判断题（对的用“T”表示，错的用“F”表示）
1、若f（z）在区域D单叶解析，则在Df
（z）0
。
（F）
2、线性变换将平面上的圆周变为圆周或直线。
（
T）
3、解析函数具有保形性。
（F
）
4、函数在可去奇点处的留数为
0。
（
F）
二、
填空题
1、方程在单位圆6z6
2z4
z2
10有
6
个根。
2、i关于z
i
1的对称点为x2+（y-1）
2=1
。
3、f（z）
1
C:
z
2，则
Cargf（z）=
－4
。
（z
1）
2（z5）（z
43i）
4、z5在点z
1i处的旋转角为
，伸缩率
为
20
。
三、计算题
dz
1、
z49（z1）（z2）（z48）（z50）
解：
设
f1（z）=1/[（z-2）（z-48）（z-50）]，
f2（z）=1/[（z-1）（z-48）（z-50）]，
f3（z）=1/[（z-1）（z-2）（z-50）]，
则答案为2πi[f1
（1）+f2
（2）+f3（48）]
2
d
2、
sin
04
解：
...
.
2
d
1
dz
2
dz
04
sin
z1
z21
iz
z1z2
8iz
1
4
2iz
2
2
z
z1
z1
i
4
15
ilim
zz1（zz1）（zz2）
z2
i
4
15
4
i
2
2i
15
15
xsinx
3、x216dx
xsinx
解：
2
dx
x
16
4、求把z平面的单位圆变为平面的单位圆，并使1成为不动点，使
1i变为无穷远点的线性变换L（z）。
ei
z
a
1
解：
依题意得，设
1
az，因为1+i关于单位圆的对称点为
1i，
无穷远点关于单位圆的对称点是
0，
...
.
1i
1
0,
1
1
1
1
i
i
z
1
1
i
z
1
i
i
1
i
1
1
2
e
1
1
i
z1
i
1z
i
1
1
2
5、求把z平面的单位圆
z1
变为
平面的单位圆
1的线性变换
L（z），使L
1
0,argL
1
。
3
3
解：
设圆周部一点
Z=a（a
1）变为
w=0,点a（a
0）关于单位圆周
z1
对称点
a*
1
w
1
a
，应该变为w=0关于单位圆周
的对称点
，因此所求变换具有形式为：
w
kz
a
k1
z
d
z
1
1
az
a
其中
k1
为常数，
当
z
1时，w
1，故取z=1，对应点w满足
1
w
k1
1
a
k1
1
a
因此令k1ei（为实数）
w
eiz
a
z1
从而所求的变换为
1
az
...
升级会员 