初一下学期数学拔高训练.docx

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初一下学期数学拔高训练

初一下学期数学拔高训练例题

二元一次方程（组）

【例1】　已知方程组

的解x，y满足方程5x-y=3，求k的值.

【思考与分析】　本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.

　（１）　由已知方程组消去k，得x与y的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出x，y的值，最后将x，y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.

　（２）　把k当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3建立关于k的方程，便可求出k的值.

　（３）　将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整体代入即可求出k的值.

　把

代入①，得

，解得　k=-4.

　解法二：

　①×3－②×２，得　17y=k-22，

　解法三：

　①+②，得　5x-y=2k+11.

　又由5x-y=3，得　2k+11=3，解得　k=-4.

【小结】　解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解法了.

【例2】　某种商品价格为每件３３元，某人身边只带有２元和５元两种面值的人民币各若干张，买了一件这种商品.若无需找零钱，则付款方式有哪几种（指付出２元和５元钱的张数）？

哪种付款方式付出的张数最少？

　【思考与分析】　本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解.我们先找出问题中的数量关系，再找出最主要的数量关系，构建等式.然后找出已知量和未知量设元，列方程组求解.

最后，比较各个解对应的x+y的值，即可知道哪种付款方式付出的张数最少.

　解：

　设付出２元钱的张数为x，付出５元钱的张数为y，则x，y的取值均为自然数.依题意可得方程：

　2x+5y=33.

　因为5y个位上的数只可能是０或５，

　所以2x个位上数应为３或８.

　又因为２x是偶数，所以２x个位上的数是８，从而此方程的解为：

　由

得x+y=12；由

得x+y=15.所以第一种付款方式付出的张数最少.

　答：

　付款方式有３种，分别是：

　付出４张２元钱和５张５元钱；付出９张２元钱和３张５元钱；付出１４张２元钱和１张５元钱.　其中第一种付款方式付出的张数最少.

【例3】解方程组

【思考与分析】本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零。

解：

由①，得y=4－mx，       ③

把③代入②，得 2x+5（4－mx）=8，

解得（2－5m）x=-12，当2－5m＝0，

即m＝

时，方程无解，则原方程组无解.

当2－5m≠0，即m≠

时，方程解为

　将

代入③，得

　故当m≠

时，

　原方程组的解为

　【小结】含字母系数的一次方程组的解法和数字系数的方程组的解法相同，但注意求解时需要讨论字母系数的取值情况．

　对于x、y的方程组

中，a1、b1、c1、a2、b2、c2均为已知数，且a1与b1、a2与b2都至少有一个不等于零，则

　①

时，原方程组有惟一解；

　②

时，原方程组有无穷多组解；

　③

时，原方程组无解.

【例4】某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4道门进行了训练：

当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟可以通过800名学生.

（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？

（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％.安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：

建造的这4道门是否符合安全规定？

请说明理由.

　【思考与解】

（1）设平均每分钟一道正门可通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生.

　　根据题意，得

　所以平均每分钟一道正门可以通过学生120人，一道侧门可以通过学生80人.

（2）这栋楼最多有学生4×8×45=1440（人）.拥挤时5分钟4道门能通过

　5×2×（120+80）×（1-20%）=1600（人）.

　因为1600>1440，所以建造的4道门符合安全规定.

　答:

平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过120名学生、80名学生；建造的这4道门符合安全规定.

不等式（组）

【例1】：

解不等式

解：

利用分数的性质（即左边第一项分子、分母同乘以4，第二项分子、分母同乘以2），得8x+4-2（x－2）≤2，

去括号，得8x+4-2x+4≤2，移项，合并同类项，得6x≤-6两边同时除以6得x≤-1.

【例2】设a、b是不相等的任意正数，又x＝

，则x、y这两个数一定是（）

A．都不大于2B．都不小于2

C．至少有一个大于2D．至少有一个小于2

【思考与分析】不妨取a＝1，b＝3，得x＝10，y＝

从而排除A、B，再取a＝3，b＝4，得

，从而排除D，故选C.

答案：

C．

【反思】用特殊值法解选择题时，如果所取的特殊值使部分选项取得相同的结果，则应另选特殊值再验，直至选出答案．

比较两个数或两个代数式的大小，可以运用求差法：

如果a－b>0，则a>b；如果a－b<0，则a

运用求差法比较大小的一般步骤是：

（1）作差；

（2）判断差的符号；（3）确定大小.

【例4】设x>y，试比较代数式-（8-10x）与－（8-10y）的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x或y的值是多少？

【思考与分析】根据求差法的步骤我们先求出两个式子的差，然后再根据已知条件x>y，来判断这个差的符号，从而比较两个代数式的大小.

解：

由两式作差得-（8-10x）－［－（8-10y）］＝-8+10x+8-10y＝10x-10y.

因为x>y，所以10x>10y，即10x-10y>0.

所以-（8-10x）>－（8-10y）.

又由题意得-（8-10x）>0，即x>

，所以x最小的正整数值为1.

巧去括号

　【例6】

　【思考与分析】观察题目中的括号及数字的特点可先考虑去中括号，再去小括号，这样会使运算简便.

　解：

去中括号，得

　去分母，得3x+60＜28+8x，移项，合并同类项，得-5x＜-32，

　【思考与分析】观察题目中的括号及数字的特点可从里向外去小括号，给后面的运算带来方便.

　巧用“整体思想”

　【例7】解不等式：

　【思考与分析】观察题目中括号内外可知都有相同的项：

2x-1，我们把2x－1视为整体，再去中括号和分母，则可使运算简捷．

　解：

3（2x-1）-9（2x-1）-9＜5．

　合并同类项得

　-6×（2x-1）＜14．

　解得

　反思：

我们在解带有括号的一元一次不等式时，我们要善于观察题目的特点，巧去括号可使运算简便.

【例1】满足

的x的值中，绝对值不超过11的那些整数之和等于

   【思考与分析】要求出那些整数之和，必须求出不等式的绝对值不超过11的整数解，因此我们应该先解不等式.

解：

原不等式去分母，得3（2＋x）≥2（2x－1），

去括号，移项，合并同类项，得－x≥－8，即x≤8.

满足x≤8且绝对值不超过11的整数有0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8，－9，－10，－11.

这些整数的和为（－9）＋（－10）＋（－11）＝－30.

【例2】如果关于x的一元一次方程3（x＋4）＝2a＋5的解大于关于x的方程

的解，那么（）.

【思考与分析】这道题把方程问题转化为解不等式问题，利用了转化的数学思想.由于第一个方程的解大于第二个方程的解，只要先分别解出关于x的两个方程的解（两个解都是关于a的式子），再令第一个方程的解大于第二个方程的解，就可以求出问题的答案.

解：

关于x的方程3（x＋4）＝2a＋5的解为

关于x的方程

的解为

由题意得

，解得

.因此选D.

【例3】如果

，2+c>2，那么（）.

A.a-c>a+cB.c-a>c+aC.ac>-acD.3a>2a

【思考与分析】已知两个不等式分别是关于a和c的不等式，求得它们的解集后，便可以找到正确的答案.

解:

由

所以a<0.

由2+c>2，得c>0，则有－c

两边都加上a，得a-c

由a<0，c>0，得ac<0，－ac>0，从而ac<-ac，排除C；

由a<0，两边都加上2a，得3a<2a，排除D.

答案应该选B，事实上，由a<0，得－a>0，从而－a>a，两边同时加上c，可得c－a>c＋a.

【例4】四个连续整数的和为S，S满足不等式

，这四个数中最大数与最小数的平方差等。

【思考与分析】由于四个数是连续整数，我们欲求最大值与最小值，故只须知四数之一就行了，由它们的和满足的不等式就可以求出.

解：

设四个连续整数为m-1，m，m+1，m+2，它们的和为S＝4m＋2.

由

<19，

解得7

由于m为整数，所以m＝8，则四个连续整数为7，8，9，10，因此最大数与最小数的平方的差为102－72＝51.

从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，绝对值都是表示两个数的绝对值，即一个数与它相反数的绝对值是一样的．由于这个性质，含有绝对等式的求解过程出现了一些新特点。

　一个实数a的绝对值记作∣a∣，指的是由a所惟一确定的非负实数：

　含绝对值的不等式的性质：

（1）∣a∣≥∣b∣

b≤|a|或b≥-|a|，

　∣a∣≤∣b∣

∣b∣≤a≤∣b∣；

（2）∣a∣-∣b∣≤∣a+b∣≤∣∣a∣+∣b∣；

　（3）∣a∣-∣b∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.

　由于绝对值的定义，含有绝对值号的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值号的代数式进行运算，即含有绝对值号的不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．

　【例5】解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1．

　【分析】关键是去掉绝对值符号前后的变号.分三个区间讨论：

　解：

（1）当x≤

时，原不等式化为-（x-5）-［-（2x+3）］＜1，

　解得x<-7，结合x≤

，故x<-7是原不等式的解；

（2）当

＜x≤5时，原不等式化为-（x-5）-（2x+3）＜1，

　解得

是原不等式的解；

　（3）当x＞5时，原不等式化为：

x-5-（2x+3）＜1，

　解得x＞-9，结合x＞5，故x＞5是原不等式的解．

　综合

（1），

（2），（3）可知，

是原不等式的解．

训练题（*）（加试难度）

1、如果关于X的方程m（x-1）=2001-n（x-2）有无数多个解，那么

0。

2、

（1）如果关于x的不等式3-2x>a的所有正整数解的和为6，则a的取值范围是-5

（2）若a,b为实数，不等式（3a-2b）x+5a-b>0的解集为x>

，那么，不等式（2a+b）x+a-5b>0的解集是x<

3、已知a、b、c是3个非负数，并且满足3a+2b+c=5,2a+b-3c=1,设m=3a+b-7c,求m的最大值与最小值。

（答案：

）

4、已知三角形的一个角为180°-n,（此角不是最大角也不是最小角），最大角与最小角的差为24°，求n的取值范围。

（答案：

设最大角为x,最小角为y并用含n的式子求出x,y,最后转化成关于n的不等式来求解n,最终122°

5、已知a+b+c=0,a＞b＞c,则

的取值范围

。

6、在三角形ABC中，∠B的平分线以及∠B所对应的外角平分线与∠C所对应的外角平分线（或其反向延长线）相交于G、H.

（1）已知∠A=40°，则∠G=20°

（2）已知∠H>∠A,则∠G度数的取值范围为0°<∠G<30。

7、

（1）已知在△ABC中，∠A≤∠B≤∠C,且2∠B=5∠A,则∠B的取值范围是0°﹤∠B≤75°

（2）△ABC的周长为24，且a=2b,则b的取值范围是4

8、小林拟将1,2…..,n这n个数输入电脑求平均数。

当他认为输入完毕时，电脑显示只输了（n-1）个数，平均数为

，假设这（n-1）个数输入无误，则漏输入的一个数为56（设漏输入数为k,则

，得出n=71,进而求k.）

9、已知

是彼此不相等的正整数，他们的和等于159，求其中最小数

的最大值。

解：

不妨设

，则

=159.

因为

为正整数，故

。

所以7

+（1+2+3+4+5+6）≤159，所以

≤

且

为正整数。

故

的最大值为19.

10、已知

，则当m-2n达到最小值时3m+4n的值是多少？

（答案：

令m-2n=x（m-n）+y（m+n）,求出x,y.最终m-2n达最小值为-2时，3m+4n=14）

mx-ny-z=7

11、已知x=2,y=-1,z=-3是三元一次方程组2nx-3y-2mz=5x+y+z=k

的解，求m²-7n+3k的值。

（答案：

m=7,n=-10,k=-2,m²-7n+3k=113）