4含参数的极值点偏移问题.docx

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4含参数的极值点偏移问题

4含参数的极值点偏移问题

含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元x1,x2的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到:

想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.21m例1.已知函数f（x）=x—aex有两个不同的零点X1,X2，求证：

x1+x^2.

【解折】思昭I：

匪"*的两个事点，等价于方趕F的两个实根，从而这K问題与专卷三f下含裁数的播値点«移|'司题）例題亮全等饥专S三例魁的匹种方注全那可以用I思路4也可S刑用荻数《这个謀介去构造出新的翅数解答如下:

因为1函針/

由0>+

（2）n：

%,+西=负沪+严）'

要证明西+可>2,只S证明厮S八22,

由0）=⑵得：

乞-三£J（*-0）,即g7先

J,

+e帀G%"吟+l

不妨设

即证：

（州—叼》二万>20（舟一可）r百

x-^>x2，记t=Xj—X2，贝UtA0,6A1，

所以F（x）aO，因此原不等式为+x2>2获证.

例2.已知函数f（x）=1nx-ax，a为常数，若函数f（x）有两个零点x1,x2，证明：

x,^x^e2.

【解析】法一：

消誓转化咸无參数问Si：

/fX）=O<=>111JC=ecO=

西円是方a/（x）=o的两根，也罡方程h工=加*"的两根,则In卷InXj杲方程X=a'的两根F

设u,=liijq,Uj=ln3£^^g

从而码花A/olfl斗+ln七+此问题等懈专化成内专题三例题「下略.

法二：

利用参数a作为媒介，换元后构造新函数:

不妨设x^>x2，••Tnx,—ax,=O,lnX2-ax2=0,alnx<^lnx?

=a（Xi+x2）,lnx,—InX2=a（x,-X2）,

■-I1-Xi一=a，欲证明xix2>e2，即证In为+Inx?

>2.

Xi—X2

^^Int>2，转化成法二，下同，略

t-i

例3.已知X1,x2是函数f（X）=ex-ax的两个零点，且x1

（1）求证：

x^+x^2；

（2）求证：

为^X2<1.

YI

【解析】⑴冋题可以铐化为；与y匸一宥两个交点，由團知，叶画<1<旳

ea

_它L

.-总—密创=a{x^—jq）,a=

工可"斗

花

沪+应％护+才才2

故S证；坷+帀沁，即证：

>2,也即证：

—―A

a沪一可-珂

盯■'+12

也即S>、令£=孔一坷=则fg（0=+GO）

总-耳1_码

.*■sV）在（0乜>）单调递增，即

二eW在9乜^）单调逼增，即2^2匱⑹=0,故原不等式再证.

—（Z

2

+L1丄

令h（t）=te2-e+1（t>0），贝yh'（t）=e2+丄te22

t—1t

又令W（t）=1+——e2（tA0），得W⑴=——e2<0,•••W（t）在（0,母）单调递减,

222

®（t）"（0）=0，从而h（t）c0,h（t）在（0,咼）单调递减，•••h（t）

【点评】从消元的角度，消掉参数a，得到一个关于Xi,X2的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等

式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式

例4.已知函数f（X）=x—eax（a沁），若存在x,,X2（XiVX2），使f（xj=f（X2）=0，求证：

一cae.x

【解折】函數/gftW点等愉于方程令班刃=竺二（"◎・

JCX.

求导可知，g⑴在①毋上单调递増，在上単碉递减，或疝皿=鎖总）=—-

e

（0下证：

当0此丄时，方程<3=—^=—育两个实很一

CXX

①当工e（0.0时，£（工）是漏曲数*Tg（l>=0.g（e>二g（l>

二当Xe（0,^

二当蓝eW"百）时，a=—有一记为西.X

②当HE他时，gC）为；13函如g（^）=-2£i^laa^a

先证：

g（4）",即证：

令血S）二aloa（口>0）,

求导由枫町的里调性可得:

kOO.E=叙一）=一一：

>一一*故不等武£1111<1；>一一即证,e€12

也即原不等式更P）<卫成立-

a

1—¥

二当JcE@・+c»）时，a-——有一辂记为花-

X

再证：

垒cae.

X2

…Xi_axi_axix2ax2Inx2

而0vxiceCX2,Inx^1

^=^€^=ae.证毕.x2Inx21

例5：

设函数

（2）证明：

由Fxa（Xl1），易知X2〉x1>1且a>e,

leX2=a（x2-1）

点连线的斜率小即可,

Ina—inP又因为k=-——in_a-P

In0^—In—]

—<10—一4+2111G；>0（0<0^<1）

1ry

住—一X

=1，即证：

①

112（^-1）2令g岸）u--2|^>0,（^<1），则g（9=盲T+厂一亍<0，

•••g（a）在（0,1）上单调递减，•••g（a）Ag

（1）=0,

x

f（x）=e—ax+a（a壬R）的图像与x轴交于A（x1,0）,B（x2,0）（x-^

•••原不等式XiX2

2

例6：

设函数f（x）=alnx—bx，其图像在点P（2,f

（2））处切线的斜率为—3.

当a=2时，令g（x）=f（X）_kX，设x1,x2（x^x2）是方程g（x）=0的两个根,

Xo是X1,X2的等差中项，求证：

g\xoH0（g\x）为函数g（x）的导函数）.

【解析】由M/fx）图像在怎处切线的斜率为-3得b=],所5’皿“S两g円,则相:

2（1d码-】!

!

旳｝-（码〔-x/j-狀码一兀0,T丹盘旳，

•"岂十"故七"丄_竺迪

码一花兀两十七斗一花

叼f'tIf+1

He値F）在（0.1）上里邇逼;威，又—<0,所

Jtr+t>Jq-Xj

★设函数

以证毕.

f（x）=a2x-l-2alnax（a〉0），函数f（x）为f（x）的导函数，且A（Xi,f（xj）,B（X2,f（X2））是f（x）的

X

图像上不同的两点，满足f（Xi）+f（X2）=0,线段AB中点的横坐标为Xo，证明：

axo>1.2’

2

即f（一-x2）+f（X2）<0iiiiii

a

111

不妨设X1VX2，注意到f

（一）=0，由函数单调性知，有x^-,x2>-，

aaa

3

构造函数F（x）=f（2—X）+f（X），则F'（X）=f'（X）-f'（2-X）=-上4止芈，aaX（2—ax）

111

当x>—时，F'（x）<0，g卩F（x）单调递减，当X》一时，F（x）cF（—）=0，从而不等式式成立，故

aaa

原不等式成立.

例7：

已知函数f（x）=a-—-Inx（a忘R）.X

（1）若a=2，求函数f（x）在（1,e2）上的零点个数;

（2）若f（X）有两零点X1,X2（X1CX2），求证：

2CX1

故FB在山d上只冇一爪零点.

[*«r]Ik®设.f（o二乎，atAxiffd.小上单河询减*所以川在⑴J）上至裟只仃=个攀点.乂和吐何巧一+

（2）@证《先证^]+12>：

.

法一：

利馬通沪正明/⑴之-丄-s的极值点x=l向左偏移，

X

法匕i糕穫兀法吧卑变抵依也甌冇£7=l+lnx,=-+lnii.于咼对A

十2（==111』）

记一=入/>1+R'JInI=—>故工L=—-于是，工]+1产<|〔/+1）=—>j-]+jj-2=—斗

u,fd』flnfbu

-Inx-x>l,趺曲打-匕^>0・故£|力在厲+呵上唯调湍増.2x2r

于是，41时*£（">班1円*yliv>0,所弘xi+xj>2.

囱再证jrJi<3e"=*-LR/（r）=0cA0r冃AljrliuF*故“叮也星ft（瑞的两军点”由AX-r）=fl-l-lJtr=O.得且工弋上丫工）Aa工A严'上心xa利用通丫去证明丹⑴-圖-1-皿工的极也点r三C-'向右龙移+所以V厂'H1j-^+Xj<2严.由片+x>2即如主玉

]+匕广小苓i+h+A生尹｝cLm—njt宀

【点评】1.方程的变形方向：

①Xi,X2是函数f（X）的两个零点，1是该函数的极值点.②Xi,X2是函数h（x）

,冷a1

的两个零点，e是该函数的极值点.WWW.21-

a

2.难点x2放缩.

例&已知函数fW=^-+fl-a）x-alnx.

（I）讨论f㈤的单调性;

（n）设a>0，证明：

当0

X+X

（川）设町勺是f（p的两个零点，证明H__）>Q.

2

【答案】（I）Kx）在（0间上单调递减，在（氐十◎上单调递增；（n）当Oss时，论+;（川）

证明过程见解析

【解折】试題分析：

（I）求导.并判斷导数的符号，分和时论啲恥値，确罡函数的里调区间.

Cn）构造国蜘M=伽*Xj-t（a-x|,利用导数求函数协怕0

X.+召Xx+

（HI）由（U）得伽-时訂羽1"，从而吩2・订门于是丄丄m由（I）q—）>0.

22

试題解析：

求就，得f五上」*⑴劭=沁巳

kXX

若.SO,则此pqfW在g+T上里调递增，

若"D,则由命0=旖"叭当OVKV越h和i}vO*当2闔寸，、

此时fW在〔0列上单调逛减，在僦十呵上单调递增一

sCx）=f（a十xbfOi-x），则

g（x）=-（a+x）2+（1-a）（a+x）-aln（a+x）-[^a-x）"+（1*a）（a-x）*alii（a-x）l

=2x-aln（Ei十x）十aln（a-x）.

.aa-3x'

求导数，得能）=2-一-一=二

当时0sva,g&uo,•••的在（0徂）上是减函数.

而吕◎=0,-或X）VE（0）=0，

故当0

（川）由（I）可知，当a<0时，函数丫=只胡至多有一个零点,

故且>0，从而g的最小值为f（Ei），且f（a）<0，

不妨设0<^2，则Ouxi^aUXd,0V岂-迪VH

由（n）得f®-xi）=f魚+Ei・xJufN）=o,

Xj+X,从而22a■迪，于是>a,

2

X,+治

由（I）知，f（七Tao.

点晴：

本题考查函数导数的单调性.不等式比较大小，函数的零点问题：

在（I）中通过求导，并判断导数

区X）=（5（日十X）-f（H-x）,把不等式证

（m）要充分利用（I）（n）

的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间.（n）通过构造函数

明问题转化为函数求最值问题，求函数呂⑶当0SS时的最大值小于零即可.

问的结论.21教育网

12

例9：

已知函数f（x）=4lnx--mx2（m>0）.

（I）若m=1,求函数f（X）的单调递增区间;

（n）若函数g（X）=f（X）—（m—4）x,对于曲线y=g（x）上的两个不同的点m（为，g（x,））,

N（x2,g（X2）），记直线MN的斜率为k，若k=g'（xo）,

证明：

X,+X2>2x0.

【答案】

（1）（0,2）

（2）见解析

【韶析】试砸分阪（I）先确這函數定冥坤Q+d,再求导函纽«而求走义区间上导函数的零盒2,A

后别康分析导函数符号：

当0丈工弋2时，,确定里调増区间为（0,2）.（2＞檢点偏移问題，关键

试IS解析：

彳-t]

可更+1

/\2互-1

In^-

X1

乜丿

空+1

=lnt-^^）（t>i）.t+i

2

t+1

令h（t）=lnt-20T）（t>i）,贝yf"+l丿,所以h（t）在（i,址）上单调递增，所以

h（t）>h

（1）=0.

f

2I

145/>0

X】玉+1

故珂

又因为X2-X4>0，因此g'（Xo）-g

>0，即卩g

vg'（xo）•

4

又由g'（X）=——mx+（4-m）知g'（x）在（0,址）上单调递减,

X

所以Xi+X2》Xo，即X,+X2：

>2Xo.

2