含对数式的极值点偏移问题11.docx

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含对数式的极值点偏移问题11

极值克偏移第三招——含对数式的极值点偏移问題

前面我们已经指明并提炼出利用判定定理解决极值点偏移问题的策略：

若f（X）的极值点为Xo,则根据对称性构造一元差函数

F（x）=f（Xo+x）-f（Xo-X），巧借F（x）的单调性以及F（o）=o，借助于

）]=f（2Xo-X2），比较X2与

f（Xi）=f（X2）=f[Xo-（Xo—X2与f[xo+（Xo-X2

2Xo-Xi的大小，即比较Xo与gw的大小.有了这种解题策略，我们2

师生就克服了解题的盲目性，细细咀嚼不得不为其绝妙的想法喝彩。

本文将提炼出极值点偏移问题的又一解题策略：

根据

f（Xi）=f（X2）建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，利用对数平均不等式链求解.

★例.已知函数f（x）=lnX-ax2+（2-a）x.

（1）讨论f（X）的单调性;

（2）设a:

>0，证明：

当ovx<」时，f（丄+x）》f（丄-X）;

aaa

（3）若函数y=f（x）的图象与X轴交于A,B两点，线段AB中点的横坐

标为Xo，证明：

f（xo）vo.

【解析】（D易得：

3/1＜0时，才（X）在（0=-Ki＞）上单调递増;

当fl＞0时，/（力在（t＞丄）上单调递増，在（-：

+x）上单调递减.aa

（2）法一：

构造函数g（力=/｛丄+力一_＜（丄一Q（O＜^€丄）aaa

二共c）在（Q—）上单调递増,a

又g（0〉=0,二g0,SP-+jc）>/<--x>.aa

法二：

构造以a为主元的函数，设函数h（a）=f（—+x）-f（丄-x）,aa

贝Jh（a）=1n（1+ax）—In（1—ax）—2ax，『（a）=—^+——2x=—，1+ax1-ax1-ax

由0CX<—，解得0

当0

>0,「.h（a）在（0,邑）上单调递增，

而h（0）=0，所以h（a）>0，故当0vxv丄时，f（丄+x）>f（丄-x）.

aaa

⑶由⑴知，只有当＜3＞0,且/⑴的最大值才G）a0时,

函数y=f（^才会有两个零点，不妨设/（耳0）已可2）2＜再5,

贝iJ0

aaa

由

（2）得：

=+==

aaaaa

又由/（力在（g）上单调递减，

£1

所以花＞2—珂，于是召严西+花＞丄，a2a

由⑴知，f（孔）

【问题的进一步探究】

对数平均不等式的介绍与证明

Ia—b（ab）两个正数a和b的对数平均定义：

L（a,b）星Ina-Inb（a

[a（a=b）.

对数平均与算术平均、几何平均的大小关系:

届rng竽（此式记为对数平均不等式）取等条件：

当且仅当a=b时，等号成立.

证明如下:

（x+1）

不等式二Ina—Inbc^iuInac

Tabbb

1211

构造函数f（x）=2InX—（x--）,（xA1），贝y厂（X）=--[-飞二-（1--）2.

xxxx

因为x:

>1时，「（x）<0，所以函数f（x）在（1,咼）上单调递减，

故f（x）

（1）=0，从而不等式成立;

a+b

（II）再证：

L（a,b）v——…•・・[KS5UKS5U.KS5U

.ln…lnr菁=lnx>2x^（其中"忑T

2构造函数ggWx-gg1），则g'（x）十击=晋.

因为X〉1时，g'（x）>0，所以函数g（x）在（1,址）上单调递增,

故g（xHg（i^0，从而不等式成立;

综合（I）（II）知，对如b迂R+，都有对数平均不等式7ab

成立，[KS5UKS5U]

当且仅当a=b时，等号成立.

例题第（3）问另解：

由f（Xi）=f（X2）=0

二InXj-axj+（2—a）x1=Inxz-ax?

+（2—a）X2=0

=InXr-lnX2+2（%-X2）=3（%-x2+x-^-x2）

InXr-InX2+2（x1-X2）

Xj2-X22中人一X2

=a=

故要证f（xo）a

xj-X22+%-X2

X<^X2X「-x/+%-X2_+x2+1

2In捲-Inx2+2（x1-x2）ln%nX2+2

X1—X2

2InXt—Inx2

台<——12

Xj+X2X1-X2

根据对数平均不等式，此不等式显然成立，故原不等式得证★已知函数f（x）=xlnx与直线y=m交于A（xi,yj,Bgy?

）两点.

求证：

丄

【解析】由Xih^x^=m,花In花可得;

fn_m

旳=①，卷=©

IfiXjIn巧

⑪②得:

西-皆/吓—西—花一:

^③

la场In七In

①心得:

IdjCiIdXj

根据对数平均不等式

利用③©式可得:

—m

2111jqIniDjqln巧

由题于y=m与y=xlnx交于不同两点，易得出则m<0

•••上式简化为：

__2

ln（x-i咲2）＜—2=Ine

二0cnx2C丄

招式演练：

★已知函数f（x）=^（a亡R）,曲线y=f（x）在点（i,f（i））处的切线与

X+a

直线x+y+1=0垂直.

（1）试比较20162017与20172016的大小，并说明理由;

（2）若函数g（x）=f（x）-k有两个不同的零点Xi,X2，证明：

Xi?

X2Ae2.

【答案】

（1）2016201S-20172016

（2）见解析

【解析】试题分析：

〔I）求出fg的导数，由两直线垂直的条件：

斜率相等，即可得到切线的斜率和切点坐标，进而f>f（2017LBn可得到201的杏201仲顶的大小；

（II）运用分析法证明，不妨设xi>Xi>C.由根的定义可得所以化简得Izxi-kxifIwu-gf可得

li3xi+li33Q=k（xi+3Q>,Inxi-lnxj=k（\i-X2）,要证明，吗・花>/，即证明血1+11攻>2'也就是k（xi+xi）

>2.求出t,即证竺5二空，令生=f,则T>「即证.令殆）二1"_2（—1）

西+花冷f+lf+l

求出导数，判断单调性，即可得证-

试题解析:

X+a,-Inx

（1）依题意得f'（X）=—

（x+a）

所以「（X）=

1+a

（1+a）

—，又由切线方程可得f'

（1）=1，即丄=1，解

1+a

…,1-Inxf（x）=——，

令f'（x）:

>0，即1-Inx>0，解得0

此时f

令「（x）<0，即1-lnx<0,解得xAe

所以f（x）的增区间为（0,e），减区间为（e严

所以f（2016）>f（2017），即ln2016Jn2017，

20162017

2017In2016>20161n2017,20162017>20172016.[KS5UKS5U

（2）证明：

不妨设

X1>X2>0因为g（X1）=g（X2）=0

所以化简得In为-3=0，InX2-kx2=0

可得lnxi+lnx2=k（x1+x2），Inxi—Inx2=k（x1-x?

）.

要证明XiX2Ae2，即证明InXi+lnx2:

>2，也就是丘（为+x^>2

X1—X2

因为k严-皿2，所以即证lnx^lnx^^_

X1-X2X1+X2

即ln生，令^=t，则t"，即证lnt》2口X2X

令h（t）=l（t"）,由hQ）丄（t"1'>0

t+1t（t+1）t（t+1）

故函数h（t）在（1,垃）是增函数，所以h（t）:

（1）=O，即Int>¥y得证.

所以x-ix^e2.

等式，考查利用分析法和导数来证明不等式的方法.有关导数与切线

的问题，关键的突破口在与切点和斜率，本题中已知切线和某条直线

垂直，也即是给出斜率，利用斜率可求得函数的参数值.利用导数证

明不等式通常先利用分析法分析，通过转化后再利用导数来证明

★已知函数f（x）=lnx+3-a（a,b亡R）[KS5UKS5U]

（I）讨论函数f（X）的单调区间与极值；

（n）若bAO且f（x）3O恒成立，求£4-b+1的最大值;

（rn）在（n）的条件下，且訂-b+1取得最大值时，设

F（b）=g-m（m-R），且函数F（x）有两个零点，求实数m的取值b

范围，并证明：

x,X2>e2.

【答案】（I）答案见解析；（n）当lnb=aT时，ea4-b+1最大为1;

（皿）证明过程见解析

【解析】试题分析：

＜I）求导数，分类讨论，利用导数的正负，讨论Of＜X）的里调E间与极值,CII）当冋时，宙（I〉得蚯=1口b+1—O＞1君41—b+l＜lj即可求百41—6+1的最大值；（II】）片（可=工丄一朋（朋已渥},构造的数”得出当xT（3）时，

FCx）—005jiTo时，FCx）f%再用分折法进行证明即可.

试题解折：

（1）/w=--4=^

XXX

当b刘时，门刃aO恒成立，的数几刃的单调増区间为Qxo）,无极值；当^^“时，JC£（{U）时，/（x）＜O,xe（&,-Ko}0^,,函数/（丸）的单调减区间为（0＞）.增区间为（执刊0）,有极小值/3}=1仍+1-S

—b+1<1J

（Il）当^>oa寸,SCI）得/■（£）□価=liii+1—a>Qlii&>a—1上>它4［二/T即当=时，严Lf+1最大为L

（m）由（n）知，当P-b+i取最大值1

ea°=b=a-1=lnb=F（b）=也-m,（ba0），记F（x）=叵-m（xa0）,bX

十丄、5，口工宀InXj=mX

F（x）=0=lnx-mx=0,不妨设人ex?

由题意｛

InX2=m%

Inx1X2=m（xtx）,In'=m（X2-为）=m=X^，欲证明X1X^e2，只需

X1X2—为

证明In（x1x^＞2，只需证明+x2）：

＞2,

|nt〉2E，也就是证明|nt2#〉0，记屮）冷—”心1）'所以

U'（t）=!

-一=——＞0,所以u（t）在（1,咼）单调递增，所以

t（t+1）t（t+1）

u（t）：

＞u

（1）=0，所以原不等式成立.

★已知函数f（x）=—，酣其中a/O,b/O

（1）若a=b,讨论F（K）=f（x）-聆）的单调区间;

（2）已知函数E的曲线与函数的的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为S®,证明：

^^凶+⑥＞2.

【答案】（I）见解析（n）见解析.

]nx

【解析】（I）由已知得F（K）=f（x）-g）=Ei（—-X-1）,

_1-]tixaT

-FKx）=aC=^-1）=^1-x^-lnx）

当0乂c1时,■/1-yC>Q,-Inx>0,-1--inx>0

当x>l时，Tl-MX0,+•+[_/_InxvO.

inx.

（11＞不妨设勺＞%依题肓—=・Lh

»a1rb£j=”吋…①，

同理心叫=b（寸”吋一②由®=②得，=t＞（x/■勺’k/+卩二屮]-引石+勺-

In—

7勺+勺——:

勺*®b矍严勺勺

（叫+£）-%++玉・U=讷一,

3a%t号故只需证口.工.

Xl6X,

X]t+]

取--->1，即只需证明h心2成立.即只需证

p（t）=Jnt-2=^>oyt>1成立.

14（t-

•••PW=--=AD,•••p（t）在区间［1,十◎上单调递增,

t（t+irt（t+if

Ap⑴=0Vl：

>1成立.

故原命题得证.

★已知函数y.

（1）若f（x）在点（e2,f（e2））处的切线与直线4x+y=0垂直，求函数f（x）

的单调递增区间;

（2）若方程f（x）=1有两个不相等的实数解Xi,X2，证明：

Xi+X2>2e.

【答案】（I）（0,1）和（1,e）;（n）见解析

【解析】试题分析:

（1】利用题意首先求得实数G的值，然后结合导a数与原函数的关系求得的数的单调区间即可;

⑵本题利用分析法证明较好，首先写出吗內满足的关系式，然后结合对数的运算法则进行恒等变形，最后构造函数g（0=1M-警9,讨论函数的性质即可证得结论.

试题解析:

<1）"穿'L得：

□二

IdX44

i«„_l

二令厂（力=^^<0,得：

即/（力的单调减区间为（0,1）和ae）

（n）由严十xy严-lnx十（xr）

InXr=ax,Inx^lnx2=&（石+%）

Inx1-lnx2

/.a=

Xl—X2

‘：

xi+冷A2JX.X7，只要证x,X2:

>e2二Inx

只需证In为+1nx2=a（x1+X2）=（x,+X2）__>2，不妨设x^>x2

x1—X2

即证In生>空匸空,令^=,1,

x2x^x2x2

只需证Int>生①,g（t）=|nt-辽①=lnt+4-2

t+1t+1t+1

则g（t）在（1,，处）上单调递增，g（t）:

（1）=0（t>1），即证

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