导数的极值点偏移问题.docx
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导数的极值点偏移问题
导数极值点偏移问题
如上图所示，
x0为函数的极值点，
x0处对应的曲线的切线的斜率为0
极值点左移：
x1
x2
2x0
，x
x1
x2
处切线与x轴不平行
2
极值点右移：
x1
x2
2x0
，x
x1
x2
处切线与x轴不平行
2
由上面图像可知，函数的图像分为凸函数和凹函数。
当函数图像为凸函数，且极值点左偏时，
有f'x1x2
f'x0
0；当函数图像为凸函数，且极值点右偏时，有
2
f'
x1
x2
f
2
f'
x1
x2
f
2
f'
x1
x2
f
2
'x00。
当函数图像为凹函数，且极值点左偏时，
'x00；当函数图像为凹函数，且极值点右移时，有
'x00。
如图所示，上图的函数图像为凸函数，且极值点右移，
x1和x2
处对应的函数值相等，我们
可以作x2关于x0的对称点x3，则x32x0
x2
x1，且x3
x0，故fx3
fx1，即
f2x0x2fx1，故我们可以构造函数
Fx
f2x0x2
fx1，只需要判断函数
1
Fx的单调性，然后根据单调性判断函数的最小值，只要满足Fxmin0，我们就可以得
到x1x22x0。
同理，我们可以得到凸函数极值点左移以及凹函数极值点左移或右移的构造函数。
做题步骤：
（1）求极值点x0；
（2）构造函数F（x）f（x）
f（2x0x）；
（3）判断极值点左移还是右移；
（4）若是左移，求导时研究极值点左侧区间，比较
f（x）和f（2x0x）大小，然后在极值
点右侧区间利用f（x）单调性，得出结论；若是右移，求导时研究极值点右侧区间，
比较f（x）
和f（2x0x）大小，然后在极值点左侧区间利用
f（x）单调性，得出结论；
（5）若极值点求不出来，由
f'（x0）0，使用替换的思想，简化计算步骤.
2
经典题型：
1.已知函数f
xlnxax2，其中aR
（1）若函数f
x有两个零点，求
a的取值范围；
（2）若函数f
x有极大值为
1
，且方程fx
m的两根为x1,x2，且x1
x2，证明：
2
x1x24a.
3
2.已知函数fxexaxaaR，其中e为自然对数的底数.
（1）讨论函数yfx的单调性；
（2）若函数fx有两个零点x1,x2，证明：
x1x22lna.
4
3.设函数fxa2lnxx2axaR.
（1）试讨论函数fx的单调性；
（2）如果a0且关于x的方程fxm有两解x1，x2（x1x2），证明x1x22a.
5
4.已知函数fxax2xlnx（a0）.
（Ⅰ）求fx的单调区间；
（Ⅱ）设fx极值点为x0，若存在x1,x20,，且x1x2，使fx1fx2，求
证：
x1x22x0.
6
5.设函数fx
a2lnx
x2
axa
R
.
（1）试讨论函数
fx的单调性；
（2）设
2
hxfx
x
0时，若方程
x
2x
a
alnx
，记
，当a
hxmm
R有两个不相等的实根
x1
，x2，证明h'x1
x2
0.
2
7
6.设函数f
x
1x2
a1xalnx.
2
（Ⅰ）讨论函数
fx
的单调性；
（Ⅱ）若f
x
b有两个不相等的实数根
x1
x2
0.
x1,x2，求证f
2
8
7.设函数fxx2alnx，gx=a2x.
（Ⅰ）求函数fx的单调区间；
（Ⅱ）若函数Fxfxgx有两个零点x1,x2.
（1）求满足条件的最小正整数a的值；
x1
x2
0.
（2）求证：
F
2
9
8.（2016年全国卷1）已知函数fxx2exax12有两个零点
（1）求a的取值范围；
（2）设x1,x2是fx的两个零点，证明：
x1x22
10
9.（2018年湖北省七市州联考）已知函数fxaxe2x
2x12,aR
（1）当a4时，谈论函数fx的单调性；
（2）当0a1时，求证：
函数fx有两个不相等的零点x1,x2，且x1x22
11
10.（广西桂林2017年第一次联合模拟考试）已知函数fxm1lnx1mR的两个
x2
零点为x1,x2x1x2
（1）求实数m的取值范围；
（2）求证：
112
x1x2e
12
11.已知函数fxexax有两个零点
（1）求实数a的取值范围；
（2）设x1,x2是函数fx的两个零点，证明：
x1x22
13
12.已知函数fxex1kx2k
（1）讨论函数fx的单调性；
（2）当函数fx有两个零点x1,x2时，证明：
x1x22
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