高中数学 24等比数列教案一新人教A版必修5.docx

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高中数学24等比数列教案一新人教A版必修5

2.4　等比数列

第一课时

教学过程

推进新课

［合作探究］

教师出示投影胶片：

计算机病毒传播问题.

一种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的数列呢?

师（读题后）这种病毒每一轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢？

引导学生发现“病毒制造者发送病毒称为第一轮”“每一轮感染20台计算机”中蕴涵的等比关系.

生发现等比关系，写出一个无穷等比数列：

1，20，202，203，204，…　　①

教师出示多媒体课件二：

银行存款利息问题.

师介绍“复利”的背景：

“复利”是我国现行定期储蓄中的一种支付利息的方式，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”.我国现行定期储蓄中的自动转存业务实际上就是按复利支付利息的.

给出计算本利和的公式：

本利和=本金×（1+本金）n，这里n为存期.

生列出5年内各年末的本利和，并说明计算过程.

师生合作讨论得出“时间”“年初本金”“年末本利和”三个量之间的对应关系，并写出：

各年末本利和（单位：

元）组成了下面数列：

10000×1.0198，10000×1.01982，10000×1.01983，10000×1.01984，10000×1.01985.　②

师回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上面的数列①②③④，说说它们有什么共同特点？

师引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关系.

师从上面的数列①②中我们发现了它们的共同特点是：

具有等比关系.如果我们将具有这样特点的数列称之为等比数列，那么你能给等比数列下一个什么样的定义呢？

生回忆等差数列的定义，并进行类比，说出：

一般地，如果把一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.

［教师精讲］

师同学们概括得很好，这就是等比数列（geometricsequence）的定义.有些书籍把等比数列的英文缩写记作G.P.（Geometric　Progression）.我们今后也常用G.P.这个缩写表示等比数列.定义中的这个常数叫做等比数列的公比（commonratio），公比通常用字母q表示（q≠0）.

请同学们想一想，为什么q≠0呢？

生独立思考、合作交流、自主探究.

师假设q=0，数列的第二项就应该是0，那么作第一项后面的任一项与它的前一项的比时就出现什么了呢？

生分母为0了.

师对了，问题就出在这里了，所以，必须q≠0.

师那么，等比数列的首项能不能为0呢？

生等比数列的首项不能为0.

师是的，等比数列的首项和公比都不能为0，等比数列中的任一项都不会是0.

［合作探究］

师类比等差中项的概念，请同学们自己给出等比中项的概念.

生如果在a与b中间插入一个数G，使a、G、b成等比数列，那么G叫做a、b的等比中项.

师想一想，这时a、b的符号有什么特点呢？

你能用a、b表示G吗？

生一起探究,a、b是同号的

，G=±

，G2=ab.

师观察学生所得到的a、b、G的关系式，并给予肯定.

补充练习：

与等差数列一样，等比数列也具有一定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2倍，即an-k+an+k=2an.对于等比数列来说，有什么类似的性质呢？

生独立探究，得出：

等比数列有类似的性质：

an-k·an+k=an2.

［合作探究］

探究：

（1）一个数列a1,a2,a3,…,an,…（a1≠0）是等差数列，同时还能不能是等比数列呢？

（2）写出两个首项为1的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？

写出两个公比为2的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？

（3）任一项an及公比q相同，则这两个数列相同吗？

（4）任意两项am、an相同，这两个数列相同吗？

（5）若两个等比数列相同，需要什么条件？

师引导学生探究，并给出

（1）的答案，

（2）（3）（4）可留给学生回答.

生探究并分组讨论上述问题的解答办法，并交流

（1）的解答.

［教师精讲］

概括总结对上述问题的探究，得出：

（1）中，既是等差数列又是等比数列的数列是存在的，每一个非零常数列都是公差为0，公比为1的既是等差数列又是等比数列的数列.

概括学生对

（2）（3）（4）的解答.

（2）中，首项为1，而公比不同的等比数列是不会相同的；公比为2，而首项不同的等比数列也是不会相同的.

（3）中，是指两个数列中的任一对应项与公比都相同，可得出这两个数列相同；

（4）中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同；

（5）中，结论是：

若两个数列相同，需要“首项和公比都相同”.

（探究的目的是为了说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件；为等比数列的通项公式的推导做准备）

［合作探究］

师回顾等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？

生推导等比数列的通项公式.

［方法引导］

师让学生与等差数列的推导过程类比，并引导学生采用不完全归纳法得出等比数列的通项公式.

具体的，设等比数列{an}首项为a1，公比为q，根据等比数列的定义，我们有：

a2=a1q,a3=a2q=a1q2,…,an=an-1q=a1qn-1，

即an=a1qn-1.

师根据等比数列的定义，我们还可以写出

进而有an=an-1q=an-2q2=an-3q3=…=a1qn-1.

亦得

an=a1qn-1.

师观察一下上式，每一道式子里，项的下标与q的指数，你能发现有什么共同的特征吗？

生把an看成anq0，那么，每一道式子里，项的下标与q的指数的和都是n.

师非常正确，这里不仅给出了一个由an倒推到an与a1，q的关系，从而得出通项公式的过程，而且其中还蕴含了等比数列的基本性质，在后面我们研究等比数列的基本性质时将会再提到这组关系式.

师请同学们围绕根据等比数列的定义写出的式子

再思考.

如果我们把上面的式子改写成

.

那么我们就有了n-1个等式，将这n-1个等式两边分别乘到一起（叠乘），得到的结果是

于是，得an=a1qn-1.

师这不又是一个推导等比数列通项公式的方法吗？

师在上述方法中，前两种方法采用的是不完全归纳法，严格的，还需给出证明.第三种方法没有涉及不完全归纳法，是一个完美的推导过程，不再需要证明.

师让学生说出公式中首项a1和公比q的限制条件.

生a1，q都不能为0.

［知识拓展］

师前面实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习和习题，那里是用什么方法解决问题的呢？

教师出示多媒体课件三：

前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习或习题.

某种储蓄按复利计算成本利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x,本利和为y元.

（1）写出本利和y随存期x变化的函数关系式；

（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.

师前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的问题是用函数的知识和方法解决问题的.

生比较两种方法，思考它们的异同.

［教师精讲］

通过用不同的数学知识解决类似的数学问题，从中发现等比数列和指数函数可以联系起来.

（1）在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为an=2n-1的数列的图象和函数y=2x-1的图象，你发现了什么？

（2）在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为

的数列的图象和函数y=（

）x-1的图象，你又发现了什么？

生借助信息技术或用描点作图画出上述两组图象，然后交流、讨论、归纳出二者之间的关系.

师出示多媒体课件四：

借助信息技术作出的上述两组图象.

观察它们之间的关系，得出结论：

等比数列是特殊的指数函数，等比数列的图象是一些孤立的点.

师请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3个角度类比等差数列与等比数列，并填充下列表格：

等差数列

等比数列

定　义

从第二项起，每一项与它前一项的差都是同一个常数

从第二项起，每一项与它前一项的比都是同一个常数

首项、公差（公比）取值有无限制

没有任何限制

首项、公比都不能为0

通项公式

an=a1+（n-1）d

an=a1qn-1

相应图象的特点

直线y=a1+（x-1）d上孤立的点

函数y=a1qx-1图象上孤立的点

［例题剖析］

【例1】某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的84％，这种物质的半衰期为多长（精确到1年）？

师从中能抽象出一个数列的模型，并且该数列具有等比关系.

【例2】根据右图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？

师将打印出来的数依次记为a1（即A），a2，a3，….

可知a1=1;a2=a1×

;a3=a2×

.

于是，可得递推公式

.

由于

，因此，这个数列是等比数列.

生算出这个数列的各项，求出这个数列的通项公式.

练习：

1.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项.

师启发、引导学生列方程求未知量.

生探究、交流、列式、求解.

2.课本第59页练习第1、2题.

课堂小结

本节学习了如下内容：

1.等比数列的定义.

2.等比数列的通项公式.

3.等比数列与指数函数的联系.

布置作业

课本第60页习题2.4A组第1、2题.

板书设计

等比数列的概念及通项公式

1.等比数列的定义实例剖析

2.等比数列的通项公式从三个角度类比等差数列表例1

练习：

1.（学生板演）例2

第二课时

教学过程

［合作探究］

师出示投影胶片1

例题1　（教材P61B组第3题）就任一等差数列{an}，计算a7+a10，a8+a9和a10+a40，a20+a30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？

从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？

师注意题目中“就任一等差数列{an}”，你打算用一个什么样的等差数列来计算？

生用等差数列1，2，3，…

师很好，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？

生在等差数列{an}中，若k+s=p+q（k,s,p,q∈N*），则ak+as=ap+aq.

师题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”，如何做？

生思考、讨论、交流.

师出示多媒体课件一：

等差数列与函数之间的联系.

［教师精讲］

师从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：

由等差数列{an}的图象，可以看出

根据等式的性质，有

.

所以ak+as=ap+aq.

师在等比数列中会有怎样的类似结论？

生猜想对于等比数列{an}，类似的性质为：

k+s=p+t（k,s,p,t∈N*），则

ak·as=ap·at.

师让学生给出上述猜想的证明.

证明：

设等比数列{an}公比为q，

则有ak·as=a1qk-1·a1qs-1=a12·qk+s-2,

ap·at=a1qp-1·a1qt-1=a12·qp+t-2.

因为k+s=p+t,

所以有ak·as=ap·at.

师指出：

经过上述猜想和证明的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质.

即等比数列{an}中，若k+s=p+t（k,s,p,t∈N*），则有ak·as=ap·at.

师下面有两个结论：

（1）与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；

（2）与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方.

你能将这两个结论与上述性质联系起来吗？

生思考、列式、合作交流，得到：

结论

（1）就是上述性质中1+n=（1+t）+（n-t）时的情形；

结论

（2）就是上述性质中k+k=（k+t）+（k-t）时的情形.

师引导学生思考，得出上述联系，并给予肯定的评价.

师上述性质有着广泛的应用.

师出示投影胶片2：

例题2

例题2

（1）在等比数列{an}中，已知a1=5,a9a10=100,求a18;

（2）在等比数列{bn}中，b4=3,求该数列前七项之积；

（3）在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54,求a8.

例题2　三个小题由师生合作交流完成，充分让学生思考，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程.

解答：

（1）在等比数列{an}中，已知a1=5，a9a10=100，求a18.

解：

∵a1a18=a9a10，∴a18=

=20.

（2）在等比数列{bn}中，b4=3，求该数列前七项之积.

解：

b1b2b3b4b5b6b7=（b1b7）（b2b6）（b3b5）b4.

∵b42=b1b7=b2b6=b3b5，∴前七项之积（32）3×3=37=2187.

（3）在等比数列{an}中，a2=-2，a5=54，求a8.

解：

.∵a5是a2与a8的等比中项，∴542=a8×（-2）.

∴a8=-1458.

另解：

a8=a5q3=a5·

=-1458.

［合作探究］

师判断一个数列是否成等比数列的方法：

1、定义法；2、中项法；3、通项公式法.

例题3：

已知{an}{bn}是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格.从中你能得出什么结论？

证明你的结论.

an

bn

an·bn

判断{an·bn}是否是等比数列

例

-5×2n-1

是

自选1

自选2

师请同学们自己完成上面的表.

师根据这个表格，我们可以得到什么样的结论？

如何证明？

生得到：

如果{an}、{bn}是两个项数相同的等比数列，那么{an·bn}也是等比数列.

证明如下：

设数列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么数列{an·bn}的第n项与第n＋1项分别为a1pn-1b1qn-1与a1pnb1qn，因为

它是一个与n无关的常数，所以{an·bn}是一个以pq为公比的等比数列.

［教师精讲］

除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路：

证法二：

设数列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么数列{an·bn}的第n项、第n-1项与第n＋1项（n＞1,n∈N*）分别为a1pn-1b1qn-1、a1pn-2b1qn-2与a1pnb1qn，因为

（anbn）2=（a1pn-1b1qn-1）2=（a1b1）2（pq）2（n-1）,

（an-1·bn-1）（an+1·bn+1）=（a1pn-2b1qn-2）（a1pnb1qn）=（a1b1）2（pq）2（n-1）,

即有（anbn）2=（an-1·bn-1）（an+1·bn+1）（n＞1,n∈N*）,

所以{an·bn}是一个等比数列.

师根据对等比数列的认识，我们还可以直接对数列的通项公式考察：

证法三：

设数列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么数列{an·bn}的通项公式为

anbn=a1pn-1b1qn-1=（a1b1）（pq）n-1,

设cn=anbn,则cn=（a1b1）（pq）n-1,

所以{an·bn}是一个等比数列.

课堂小结

本节学习了如下内容：

1.等比数列的性质的探究.

2.证明等比数列的常用方法.

布置作业

课本第60页习题2.4A组第3题、B组第1题.

板书设计

等比数列的基本性质及其应用

例1　　　　　　　　　　　例2　　　　　　　　　　　例3