中考数学一轮复习第21课多边形及其内角和导学案.docx

中考数学一轮复习第21课多边形及其内角和导学案.docx

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中考数学一轮复习第21课多边形及其内角和导学案

第21课多边形及其内角和

【考点梳理】：

一、多边形及其相关的概念

1．多边形：

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.理解多边形的概念应注意两点：

①在平面内，②线段首尾顺次连接.如图1，是一个多边形，这是一个六边形.如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.

图1图2

2．正多边形：

在平面内，各个内角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.一个多边形是正多边形应具备两个条件：

①各个内角大小相等；②每条边长度一样.

3．多边形的内角：

多边形相邻两条边组成的角叫做多边形的内角.如图1，∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F是六边形的6个内角.多边形内角的个数与边数相等.

4．多边形的内角和：

多边形所有的内角的和叫做多边形的内角和.如图1中的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F.

5．多边形的外角：

多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.如图2，延长CD，则∠EDG是六边形的一个外角.在多边形的一个顶点处可画出两个外角.

6．多边形的外角和：

在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和.如图3，六边形的外角和为∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6.

7．多边形的对角线：

连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.连接n边形的一个顶点和其它不相邻的各顶点，可得（n-3）条对角线.如图4，线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的三条对角线.

图3图4

二、

理解内角和公式的推导以及外角和的推导

1.多边形内角和公式的推导

多边形的内角和公式（n-2）·180°的推导是将多边形分割为三角形,将多边形的内角和转化为我们熟悉的三角形的内角和来解决的.这里体现一种转化思想.常见的推导方法有三种:

（1）从一个顶点出发引n边形的（n-3）条对角线,把n边形分割成（n-2）个三角形,则这（n-2）个三角形的内角和就是n边形的内角和,从而得到n边形的内角和为（n-2）·180°.

（2）在n边形内任意取一点,然后把这一点与各顶点连接,将n边形分割成n个三角形,这n个三角形的内角和比n边形的内角和多出了一个周角360°,所以n边形的内角和为n×180°-360°=（n-2）·180°.

（3）在n边形的一边上取一点,把这点与多边形的个顶点连接,把n边形分割成（n-1）个三角形,这（n-1）个三角形的内角的和比n边形的内角的和多出了一个平角即180°,所以n边形的内角和是（n-1）×180°-180°=（n-2）·180°.

2.多边形外角和的推导

n边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180,n边形的n个外角连同它们各自相邻的内角，共有2n个角，这些角的总和为n·180°.这些总和就是n边形的外角和加上内角和，所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于n·180°-（n-2）·180°=2×180°=360°.

三、需注意的几个问题

1.利用多边形的内角和公式（n-2）·180°,当知道n的值时可以直接求出n边形的内角和；当知道内角和时,可以根据公式构造方程,通过解方程求到边数,注意方程思想的应用.

2.对于多边形的外角和360°,应注意理解多边形的外角和与边数无关；解决多边形问题常把内角问题转化为外角问题解决,注意转化思想的应用.

【思想方法】

解决此类问题时要注重观察、操作、猜想、探究等活动过程，注重知识的理解和运用.

考点：

多边形内角与外角；三角形内角和定理．

分析：

利用三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，分别表示出∠A，∠B，∠C，根据∠A=∠B=∠C，得到∠ADE=∠EDC，因为∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠EDC=∠EDC，所以∠ADC=∠ADC，即可解答．

解答：

解：

如图，

在△AED中，∠AED=60°，

∴∠A=180°﹣∠AED﹣∠ADE=120°﹣∠ADE，

在四边形DEBC中，∠DEB=180°﹣∠AED=180°﹣60°=120°，

∴∠B=∠C=（360°﹣∠DEB﹣∠EDC）÷2=120°﹣∠EDC，

∵∠A=∠B=∠C，

∴120°﹣∠ADE=120°﹣∠EDC，

∴∠ADE=∠EDC，

∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠EDC=∠EDC，

∴∠ADE=∠ADC，

故选：

D．

点评：

本题考查了多边形的内角和，解决本题的关键是根据利用三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，分别表示出∠A，∠B，∠C．

【考点二】：

多边形内角与外角运用

【例题赏析】（4分）（2015•铜仁市）（第6题）如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数是（　　）

A．3B．4C．5D．6

考点：

多边形内角与外角．

分析：

由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即可求得这个多边形的边数．

解答：

解：

∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，

∴这个多边形的边数是：

360÷60=6．

故选：

D．

点评：

此题考查了多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和等于360度是关键．

【考点三】：

正多边形

【例题赏析】（2015•烟台,第14题3分）正多边形的一个外角是

，则这个多边形的内角和的度数是________________。

考点：

正多边形

分析：

已知正多边形的一个外角，就可以算出多边形的边数；然后利用多边形的内角和公式即可算

解答：

多边形的外角和为360°，所以多边形为360°÷72°=5，根据多边形的内角和公式可得（5-2）×180°=540°．

点评：

本题综合考查了多边形的内角和与外角和公式的知识。

【考点四】：

正多边形和圆

【例题赏析】（2015•营口，第14题3分）圆内接正六边形的边心距为2

，则这个正六边形的面积为　24

　cm2．

考点：

正多边形和圆．

分析：

根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．

解答：

解：

如图，

连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．

在Rt△AOG中，OG=2

，∠AOG=30°，

∵OG=OA•cos30°，

∴OA=

=

=4，

∴这个正六边形的面积为6××4×2

=24

cm2．

故答案为：

24

．

点评：

此题主要考查正多边形的计算问题，根据题意画出图形，再根据正多边形的性质即锐角三角函数的定义解答即可．

【考点五】：

平面镶嵌

【例题赏析】

（2015·山东威海，第18题3分）如图①，②，③，用一种大小相等的正多边形密铺成一个“环”，我们称之为环形密铺．但图④，⑤不是我们所说的环形密铺．请你再写出一种可以进行环形密铺的正多边形：

　正十二边形　．

考点：

平面镶嵌（密铺）．

分析：

根据环形密铺的定义，所用多边形的外角的2倍是正多边形的内角即可．

解答：

正十二边形的外角是360°÷12=30°，

∵30°×2=60°是正三角形，

∴正十二边形可以进行环形密铺．

故答案为：

正十二边形．

点评：

本题考查了平面密铺，观察图形判断出中间空白正多边形的内角是所用正多边形的外角的2倍是解题的关键．

【真题专练】

1.（2015•山东莱芜,第9题3分）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（　　）

　A．27B．35C．44D．54

2.（2015•怀化，第6题4分）一个多边形的内角和是360°，这个多边形是（　　）

　A．三角形B．四边形C．六边形D．不能确定

3.（2015年重庆B第7题4分）若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）

A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形

4．（2015•江苏宿迁，第6题3分）已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为（　　）

　A．3B．4C．5D．6

5.（2015·江苏连云港，第12题3分）如图，一个零件的横截面是六边形，这个六边形的内角和为　　．

6.（2015•四川遂宁第12题4分）一个n边形的内角和为1080°，则n=　　．

7.（2015•娄底，第16题3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为　　．

8.（2015•四川资阳,第12题3分）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是_______．

9.（2014•四川绵阳,第16题4分）如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为　　cm2．（结果保留π）

【真题演练参考答案】

1.（2015•山东莱芜,第9题3分）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（　　）

　A．27B．35C．44D．54

考点：

多边形内角与外角．.

分析：

设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法

，即可解答．

解答：

解：

设这个内角度数为x，边数为n，

∴（n﹣2）×180°﹣x=1510，

180n=1870+x，

∵n为正整数，

∴n=11，

∴

=44，

故选：

C．

点评：

此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．

2.（2015•怀化，第6题4分）一个多边形的内角和是360°，这个多边形是（　　）

　A．三角形B．四边形C．六边形D．不能确定

考点：

多边形内角与外角．

分析：

本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于360°，列出方程，解出即可．

解答：

解：

设这个多边形的边数为n，

则有（n﹣2）180°=360°，

解得：

n=4，

故这个多边形是四边形．

故选：

B．

点评：

本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．

3.（2015年重庆B第7题4分）若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）

A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形

【答案】C

考点：

多边形的内角和定理.

4．（2015•江苏宿迁，第6题3分）已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为（　　）

　A．3B．4C．5D．6

考点：

多边形内角与外角．.

分析：

设多边形的边数为n，则根据多边形的内角和公式与多边形的外角和为360°，列方程解答．

解答：

解：

设多边形的边数为n，根据题意列方程得，

（n﹣2）•180°=360°，

n﹣2=2，

n=4．

故选B．

点评：

本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是利用多边形的内角和公式并熟悉多边形的外角和为360°．

5.（2015·江苏连云港，第12题3分）如图，一个零件的横截面是六边形，这个六边形的内角和为　720°　．

考点：

多边形内角与外角．

分析：

根据多边形内角和公式进行计算即可．

解答：

解：

由内角和公式可得：

（6﹣2）×180°=720°．

故答案为：

720°．

点评：

此题主要考查了多边形内角和公式，关键是熟练掌握计算公式：

（n﹣2）．180°（n≥3）且n为整数）．

6.（2015•四川遂宁第12题4分）一个n边形的内角和为1080°，则n=　8　．

考点：

多边形内角与外角．.

分析：

直接根据内角和公式（n﹣2）•180°计算即可求解．

解答：

解：

（n﹣2）•180°=1080°，

解得n=8．

点评：

主要考查了多边形的内角和公式．多边形内角和公式：

（n﹣2）•180°．

7.（2015•娄底，第16题3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为　6　．

考点：

多边形内角与外角．

专题：

计算题．

分析：

利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．

解答：

解：

∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，

则内角和是720度，

720÷180+2=6，

∴这个多边形是六边形．

故答案为：

6．

点评：

本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．

8.（2015•四川资阳,第12题3分）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是_______．

考点：

多边形内角与外角．.

分析：

任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．

解答：

解：

设多边形的边数为n，根据题意，得

（n﹣2）•180=3×360，

解得n=8．

则这个多边形的边数是8．

点评：

已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．考查了相似形综合题，涉及的知识点有：

等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．

9.（2014•四川绵阳,第16题4分）如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为　

　cm2．（结果保留π）

考点：

正多边形和圆

分析：

根据题意得出△COW≌△ABW，进而得出图中阴影部分面积为：

S扇形OBC进而得出答案

解答：

如图所示：

连接BO，CO，

∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，

∴AB=BC=CO=1，∠ABC=120°，△OBC是等边三角形，

∴CO∥AB，

在△COW和△ABW中

，

∴△COW≌△ABW（AAS），

∴图中阴影部分面积为：

S扇形OBC=

=

．

故答案为：

．

点评：

此题主要考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，得出阴影部分面积=S扇形OBC是解题关键．