浙江省届中考数学第27讲《图形与变换1》名师讲练含答案.docx
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浙江省届中考数学第27讲《图形与变换1》名师讲练含答案
第27讲 图形与变换
第1课时 图形轴对称与中心对称
1．轴对称与轴对称图形
考试内容
考试
要求
轴对称
轴对称图形
a
定义
把一个图形沿某一条直线折叠，如果能够与另一个图形，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是，两个图形的对应点叫做对称点．
如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分能够完全，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的．
区别
轴对称是指两个全等图形之间的相互位置关系．
轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形．
轴对称
的性质
1.对称点的连线被对称轴____________________；
2．对应线段____________________；
3．对应线段或延长线段的交点在____________________上；
4．成轴对称的两个图形．
c
2.中心对称与中心对称图形
考试内容
考试
要求
中心对称
中心对称图形
a
定义
把一个图形绕着一点旋转后，如果与另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称，这个点叫做其对称中心，旋转前后重合的点叫做对称点．
把一个图形绕着某点旋转后，能与其自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做．
区别
中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系．
中心对称图形是指具有特殊形状的一个图形．
中心对
称的性
质
1.中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过____________________，而且被对称中心____________________；
2．成中心对称的两个图形．
c
考试内容
考试
要求
基本
思想
转化思想：
有关几条线段之和最短的问题，都是把它们转化到同一条直线上，然后利用“两点之间线段最短”来解决．
c
1．（2016·绍兴）我国传统建筑中，窗框（如图1）的图案玲珑剔透、千变万化，窗框一部分如图2，它是一个轴对称图形，其对称轴有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
2．（2016·湖州）为了迎接杭州G20峰会，某校开展了设计“YJG20”图标的活动，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
3．（2017·衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（ ）
A.
B.
C.
D.
4．（2017·丽水）如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是____________________．
【问题】给出下列图形．
（1）这些图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是________；
（2）画出平行四边形ABCD关于DC所在直线对称的平行四边形A1B1C1D1；
（3）通过
（1）、
（2）解题体验，你想到哪些知识和方法？
【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理轴对称图形和中心对称图形；轴对称和中心对称以及画图．
类型一 轴对称与轴对称图形、中心对称与中心对称图形
（1）（2015·无锡）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．平行四边形C．矩形D．圆
（2）（2017·山东模拟）如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为________．
【解后感悟】
（1）轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图形折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合；
（2）解答的关键是菱形是中心对称图形，并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半．
1．
（1）如图，△ABC中，AB＝AC，△ABC与△FEC关于点C成中心对称，连结AE，BF，当∠ACB为________度时，四边形ABFE为矩形（ ）
A．90°B．30°C．60°D．45°
（2）（2015·阳谷模拟）若∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1，P2，连结OP1，OP2，则下列结论最准确的是（ ）
A．OP1⊥OP2B．OP1＝OP2
C．OP1≠OP2D．OP1⊥OP2且OP1＝OP2
（3）（2017·温州模拟）如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有 种．
类型二 网格、平面直角坐标系中的图形变换
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
【解后感悟】本题运用图形的轴对称变换及旋转变换．解答此类题目的关键是掌握旋转的特点，然后根据题意找到各点的对应点，然后顺次连结即可．
2．
（1）（2015·杭州模拟）如下图均为2×2的正方形网格，每个小正形的边长均为1，请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．
（2）（2017·宁波）在4×4的方格中，△ABC的三个顶点都在格点上．
①在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形（画出一个即可）；
②将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形．
（3）（2015·南昌）如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．
（1）求对称中心的坐标；
（2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标．
类型三 轴对称变换解决折叠问题
（1）（2016·齐齐哈尔）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，连结MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为 .
【解后感悟】此题运用菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形．
（2）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE＝BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在点B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连结DG，B′G.
求证：
①∠1＝∠2；
②DG＝B′G.
【解后感悟】本题运用轴对称的性质、平行四边形的性质、全等三角形的证明等知识，首先折叠问题是一种常见题型，折叠前后的两个图形对应边、对应角相等，也就是说折叠变换就是全等变换．另外本题考查了一种常见的解题思路，证明两条线段相等或两个角相等，可以证明它们所在的两个三角形全等．
3.
（1）（2015·莆田）数学兴趣小组开展以下折纸活动：
①对折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
②再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.
观察，探究可以得到∠ABM的度数是（ ）
A．25°B．30°C．36°D．45°
（2）（2016·河南）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3.点E为射线BC上一个动点，连结AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N.当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为 .
类型四 轴对称变换解决最小值问题
（2015·内江）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为（ ）
A.
B．2
C．2
D.
【解后感悟】此题主要运用了轴对称求最短路线以及正方形、等边三角形的性质，把线段PD与PE长度之和转化为两点之间线段最短是解题关键．
4．（2016·百色）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD＋CD的最小值是（ ）
A．4B．3
C．2
D．2＋
【探索研究题】
（2017·台州）如图，矩形EFGH四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE＝BF，将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的
时，则
为（ ）
A.
B．2C.
D．4
【方法与对策】利用菱形的翻折变换（折叠问题）为背景给出问题的信息，借助基本图形，即阴影部分是菱形，揭示数量关系，设AB＝4y，BE＝x，从而得出阴影部分边长为4y－2x，再由重叠部分面积是菱形ABCD面积的
，可得阴影部分边长为
＝y，根据4y－2x＝y，求出x，从而得出答案．
【对称图形的概念理解不透】
以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．矩形C．等腰梯形 D．平行四边形
参考答案
第27讲 图形与变换
第1课时 图形轴对称与中心对称
【考点概要】
1．重合 对称轴 重合 对称轴 垂直平分 相等 对称轴 全等 2.180° 180° 对称中心 对称中心平分 全等
【考题体验】
1．B 2.D 3.B 4.
【知识引擎】
【解析】
（1）①
（2）
（3）轴对称和轴对称图形、中心对称和中心对称图形以及对称变换画图．
【例题精析】
例1
（1）A
（2）12
例2
（1）如图所示：
点A1的坐标（2，－4）；
（2）如图所示，点A2的坐标（－2，4）．
例3
（1）如图，过点M作MF⊥DC于点F，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°，∴∠FMD＝30°，∴FD＝
MD＝
，∴FM＝DM×cos30°＝
，∴MC＝
＝
，∴EC＝MC－ME＝
－1.故答案为：
－1.
（2）证明：
①由折叠知，∠1＝∠CEF，又由平行四边形的性质知，CD∥AB，∴∠2＝∠CEF，∴∠1＝∠2.②由折叠知，BF＝B′F，又∵DE＝BF，∴DE＝B′F，由①知∠1＝∠2，∴GE＝GF，又由平行四边形的性质知，CD∥AB，∴∠DEF＝∠EFB，由折叠知，∠EFB＝∠EFB′，∴∠DEF＝∠EFB′，即∠DEG＋∠1＝∠GFB′＋∠2，∴∠DEG＝∠GFB′，∴△DEG≌△B′FG（SAS），∴DG＝B′G.
例4 由题意，可得BE与AC交于点P.∵点B与D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB＝2
.又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝2
.故所求最小值为2
.故选B.
【变式拓展】
1．
（1）C
（2）D （3）3
2．
（1）
（2）①画出下列其中一个即可．
②
（3）①根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是D1D的中点，∵D1，D的坐标分别是（0，3），（0，2），∴对称中心的坐标是（0，2.5）． ②∵A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是：
4－2＝2，∴B，C的坐标分别是（－2，4），（－2，2），∵A1D1＝2，D1的坐标是（0，3），A1的坐标是（0，1），∴B1，C1的坐标分别是（2，1），（2，3），综上，可得顶点B，C，B1，C1的坐标分别是（－2，4），（－2，2），（2，1），（2，3）．
3.
（1）B
（2）
或
4.A
【热点题型】
【分析与解】依题可得阴影部分是菱形．∴设BE＝x，AB＝4y.∴阴影部分边长为4y－2x.又∵重叠部分面积是菱形ABCD面积的
，∴阴影部分边长为
＝y.∴4y－2x＝y.∴x＝
y，∴AE＝（4－
）y＝
y，∴
＝
＝
.故答案为A.
【错误警示】B 等边三角形只是轴对称图形，等腰梯形也只是轴对称图形，平行四边形只是中心对称图形，故选B.
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