感悟数学思想的解题魅力.docx

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感悟数学思想的解题魅力

感悟数学思想的解题魅力

--------一节高中数学思想专题复习的导入课

[教学目的和意义]

在第一轮复习告一段落之际，如何引导学生自主转入下一轮的复习？

下一轮的复习重在解决什么问题？

为什么要解决这样的问题？

本节课设置的意图和目的就在于帮助学生感受到数学思想的解题魅力，认识到数学思想在解题中的重要性，从而顺利地、自然的进入“数学思想”专题的复习。

这节课为下一阶段的复习起了铺垫作用，导向作用，承前启后的作用。

[教学过程设计]

一、引例：

在中（）内分别填入一个正整数，并使它们的和最小．

分析：

这是一道看似小学“奥数”智力题，乍一看好象与我们高中数学知识没有什么联系，但引入字母x，y后将问题转化为“已知x,y为正整数，，试求x+y的最小值”。

这样就将这道题转化为一道高二不等式的题了。

思考：

1.这样一道新的、复杂的问题，通过变形，变成了一道常见的最值问题，折射出解答数学问题的的本质通常就是“变形”。

为什么变？

怎样变？

变成什么样？

不这样变行吗？

这一思维的蜕变过程体现了重要的数学思想：

转化与化归思想。

2．常见的变形方式：

①繁变简，难变易，抽象变具体。

②数变形，形变数，数形常结合。

③函数、方程、不等式问题的合理转化。

二、老题新看：

第一组：

①集合A=｛1，2，3｝，则满足A∪B=A的集合B的个数是。

②若方程sin2x+cosx=a有解，则实数a的取值范围是。

学生在思考中会发现的问题：

对①利用并集运算，一一罗列出了集合Ｂ的所有情况,找到了集合Ｂ的个数。

显然这种方法是学生对此题只停留在对并集运算的理解上，一旦集合Ａ中元素多了，此法就显然不可取了。

对②这样的方程判断是否有解不能直接套用一元二次方程的求根公式和根的判别式，将如何研究？

如何帮助学生走出疑惑：

对①中A∪B=A准确理解为“Ｂ是Ａ的子集”将此问题转化成了“求集合Ａ＝｛１，２，３｝的子集的个数是”是关键,很容易得知:

２３个.

对②方程中a＝－sin２x－cosx以函数的面孔出现，把问题转化为:

“求函数f（x）＝－sin２x－cosx的值域”.体现了函数与方程思想。

[小结]：

通过对已知条件的正确理解，把问题转化为己有知识范围内可以解决的问题，这是一种成功的解题思维方式。

第二组：

（1）设A={x|1是关于x的不等式组的解集，若，求a,b满足的条件。

（2）实系数方程x2+ax+b=0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，求的取值范围。

学生在思考中常存在的问题：

对

（1）来说，部分学生可能想通过解出不等式组的解，从而写出集合B,但解不等式组会遇到了麻烦，因为a,b的不确定性，使不等式组的解集需要通过繁杂的讨论才能完成，显然这条路不好走。

对

（2）来说，部分学生通过解根去转化“大于0且小于1”，“大于1且小于2”，但两根所引发的不等式也较难解。

会使问题的解决陷入重重困境。

如何帮助学生走出困惑：

分析两道题的共性：

他们无论是一元二次不等式，还是一元二次方程都与一元二次函数有密切关系。

而谈到一元二次函数时，我们多借助于二次函数的图象来研究问题，从而启发学生：

“如何用二次函数的图象来反映相对应的不等式的解集或方程的解。

”这样的引导会使学生茅塞顿开。

令f（x）＝χ2－2χ+a;g（x）=x2－2bx+5。

则要满足如图；

当且仅当f

（1）且f（3）且g

（1）且g（3）时满足，得a且b

[小结]：

“形”的直观性往往会帮助我们找到解“数”的捷径，数与形的有机结合，相辅相成，优化了解题的过程，是一种有效的解题途径。

问题引申：

图的直观性的确起一个“化抽象为具体”的作用，但就仅仅只靠形的直观感觉判断数的结果是否可靠？

第三组：

（1）已知的图象有几个交点？

（2）已知的图象有几个交点？

y=tanx

y=sinx

（1）

（2）

学生的困惑：

通过画图：

（1）有三个交点，

（2）就没有交点

教师的解惑：

图

（1）不正确性在于：

平时在一个坐标系内没有把两个函数图象比较，由于画图的不精确产生了一种错误信息,因而造成错误的判断。

但事实上,根据方程sinx=tanx（）只能解出x=0一个根,说明只有一个交点.另一方面，在时,sinx是恒成立的,也能说明在范围内,方程tanx=sinx只有一个解.因此图

（1）的错误原因不言而喻:

只靠直观的形,有时是不能够得出准确的结论。

图

（2）是我们常画的草图，其实稍微细心一点,会发现:

当时，若x=2则,,x=4则,说明a>1时有可能使和有一个交点（2，2）和（4，4），因此，在a>1的变化当中也一定会出现一个交点的情形。

[小结]形帮数以直观，数助形以精确，数形一定要有机结合。

对问题

（1）的解决也充分体现了函数与方程思想。

［课堂小结］：

提问：

1.这节课对你们有什么启发？

2.你们有什么样的收获？

3如果这节课是一篇作文，这节课的中心思想是什么？

［课后记］

这节课在上的过程中，学生的状态一直很好，似乎是这节课的内容极大的激发了他们的求知欲（从学生的眼神中和他们积极思考、积极发言诸多方面的表现上可以看出）。

这也许是第一轮复习时间太久，教师在复习的方法上一尘不变，对知识在讲解时的入角点不变，学生有了一定的疲倦感。

这节课使学生在审视知识上换了角度，也发现了仅仅完成第一轮的复习是不够的，缺少了数学思想的导向作用，在解决综合的数学问题时，往往会找不着解题的思路。

作为教师，针对不同的学生，不同内容的课，采取不同的教学方式，会提高上课的效率，体现出因材施教的教学原则，也是素质教育的体现。

尤其在每个章节，每一轮的复习，每一个知识板块的教学中，搞好引导工作，衔接工作，会充分调动学生自主学习的意识，使教与学充分和谐。

重视强化题组训练－－感悟数学思想方法

黄浦学校顾涵明

黄浦区教师进修学院李建国

我们要养成解题后反思的习惯．反思自己的思维过程，反思知识点和解题技巧，反思多种解法的优劣，反思各种方法的纵横联系．适时地展开想象，题设条件能否减弱?

结论能否加强？

问题能否推广?

等等。

进而总结出它所用到的数学思想方法，并把数学思想方法相近的题目编成一组，不断提炼、不断深化，做到举一反三、触类旁通。

逐步学会观察、试验、分析、猜想、归纳、类比、联想等思想方法，主动地发现问题和提出问题。

梳理考试中经常出现的数学思想方法，例如分类讨论法、数形结合法、待定系数法、面积法，特值法等等，并在自己的脑海中对每一种方法记忆一道对应的典型试题。

养成去伪存真、由此及彼、由表及里的思维方法，提高我们的思维品质。

观察下列几个问题和解题思路，你有什么发现吗？

1、已知：

正方形ABCD中，P是对角线AC上任意点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F。

求证：

DP=EF

分析：

这是一题有关正方形和直角三角形的问题。

EF是RT△EFP的一条斜边，我们可以通过添加辅助线构造RT△DPG，然后通过证明三角形全等使问题得到解决。

当然这题也可以连接BP，利用矩形的相关性质来解决。

2、如图：

在正方形ABCD的对角线AC上有一点P，连接BP，作PE⊥BP，PE交CD于E，EF∥BC交AB于F，已知AB=10。

（1）求证：

BP=PE

（2）求证:

△PBE∽△DAC

（3）设AP=x，BF=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

分析：

这也是一个有关正方形和直角三角形的问题，图中条件可以运用。

第

（1）问是要证明两条线段相等，我们首先想到的是否通过证明两个三角形全等，从而得到两条线段相等。

为此我们通过添加辅助线来解决问题。

在第

（1）问的基础上就很容易解决第

（2）个问题。

第（3）个问题也迎刃而解了。

以上两个问题都是运用了直角三角形和正方形的相关知识，通过构造三角形全等来解决问题，这也是我们解决这一类问题常用的方法。

如果你能归纳出这两个问题的共通点，那么拿到下一个问题你也许不会措手不及了。

操作：

将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。

探究：

设A、P两点的距离为x。

（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的关系？

试证明你观察得到的结论。

（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域。

（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？

如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。

（左图、中图、右图的形状大下相同，左图供操作、实验用，中图和右图备用。

分析：

首先我们画出符合要求的图形。

通过类比你是否发现它与我们刚刚解决的第2个问题很相像，那么你一定能够马上猜想到BP=PQ。

证明的方法也是通过构造三角形全等解决问题。

问题

（2）建立在问题

（1）的基础上就能解决，我们就进行了联想——类比——猜想。

依据已知条件，联想与之相似的事物，通过比较、类比，对其结论进行推测。

而问题（3）则是要全面的考虑问题的可能性，如果你在平时的练习中已经归纳出要判断是否存在等腰三角形的一些规律，并且注意进行分类讨论，这个问题也不会让你感到紧张。

在解决综合题的过程中我们会发现化归思想是无处不在,它是分析问题解决问题的有效途径。

在初中数学学习中运用这种化归的思维方法解决问题的例子非常多。

例如,在代数方程求解时大多采用“化归”的思路,它是解决方程（组）问题的最基本的思想。

即将复杂的方程（组）通过各种途径转化为简单的方程（组）,最后归结为一元一次方程或一元二次方程。

平面几何的学习中亦是如此。

例如,研究四边形、多边形问题时通过分割图形,把四边形、多边形知识转化为三角形知识来研究；解任意三角形的问题，通过作三角形一边上的高，转化为解直角三角形问题；我们熟悉的梯形问题,常通过作腰的平行线或作两条高等常用辅助线,把梯形问题转化为平行四边形与三角形问题。

又如，圆中有关弦心距、半径、弦长的计算亦能通过连结半径或作弦心距把问题转化为直角三角形的求解。

还有，解正多边形的问题，通过添半径和边心距，转化为解直角三角形问题等等。

在解决综合题的过程中方程与函数的转化、化动为静、化实际问题为数学问题、代数问题与几何问题的转化都是非常常用的。

【例如】在直角坐标系中，点

的坐标为（2，0），⊙

与x轴交于原点O和点A.又B、C、E三点的坐标分别为（-1，0）、（0，3）、（0，b），且0＜b＜3.

（1）求点A的坐标和经过B、C两点的直线的解析式；

（2）当点E在线段OC上移动时，直线BE与⊙

有哪几种位置关系？

并求出每种位置关系时，b的取值范围。

【分析】要考察直线BE与⊙

有哪几种位置关系，

可先考察相切这种特殊位置，化一般为特殊，相切时直

线与圆有可以运用的性质定理，此时求得的b的值就是

一个分界点。

在分析的过程中，应用本题的“静态”——

直线与圆相切，作出图形，化动为静是解题的关键。

【解】

（1）由已知得：

A（4，0）由待定系数法，得：

经过B、C两点的直线的解析式为y=3x+3

（2）当点E在线段OC上移动时，直线BE与⊙

有三种位置关系:

相离、相切、相交。

设当点E运动到OC上某处时，恰使直线BE切⊙

于点M，连结

M.

∵BM是⊙

的切线∴

M⊥BM且

M=2

在Rt⊿B

M中，B

=3，

M=2∴BM=

又

∴OE=

∴当b=

时，直线BE与⊙

相切；当

＜b＜3时，直线BE与⊙

相离；当0＜b＜

时，直线BE与⊙

相交.

数形结合思想也是初中的重要数学思想方法之一，能运用代数、三角比知识通过数量关系的讨论去处理几何图形的问题；能运用几何、三角比知识通过对图形性质的研究去解决数量关系的问题。

能将抽象的数学语言与直观的图形符号结合起来，把抽象思维与形象思维结合起来；会用代数的方法去研究几何问题，会根据图形的性质及几何知识去处理代数问题。

下面的例题也许会给你一些启发。

【例如】已知一条抛物线的对称轴是直线x=1；它与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），且线段AB的长是4；它还与过点C（1，-2）的直线有一个交点是D（2，-3）．

（1）求这条直线的函数解析式；

（2）求这条抛物线的函数解析式；

（3）若这条直线上有P点，使

，求点P的坐标．

【分析】对于

（1）、

（2）两问我们只要正确的找到图像上的点运用待定系数法就可以解决。

第（3）问可以由面积建立等式，而其中的关键是明确点P所在的位置正确的设P点坐标，特别要注意此时三角形是在直角坐标平面的背景下，需要把点的坐标转化为线段的长，然后建立方程，在解决问题时我们可以通过画图来尽快的找到解决问题的方法和途径。

以上一些例子说明了数学思想方法是可以通过题组训练提高的。

因此在完成有挑战性的问题时,我们不能仅仅关注最后的结果,更要及时反思和归纳,从看似不同问题之间中寻找它们之间的共同点,感悟蕴涵在其中的数学思想和方法,这样对于提高数学素养和解题能力是大有帮助的。