比例解行程问题题库.docx

比例解行程问题题库.docx

《比例解行程问题题库.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《比例解行程问题题库.docx（20页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

比例解行程问题题库

比例解行程问题题库doc（总9页）

比例解行程问题

知识精讲

比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。

从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。

比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。

我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用

来表示，大体可分为以下两种情况：

1.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。

，这里因为时间相同，即

所以由

得到

，

，甲乙在同一段时间t内的路程之比等于速度比

2.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。

，这里因为路程相同，即

，由

得

，

，甲乙在同一段路程s上的时间之比等于速度比的反比。

模块一：

比例初步——利用简单倍比关系进行解题

【例1】（难度等级※※※）上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分

1【解析】画一张简单的示意图：

图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是4＋8＝12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。

注意：

小明第2个4千米，也就是从

到

的过程中，爸爸一共走12千米，这一点是本题的关键．对时间相同或距离相同，但运动速度、方式不同的两种状态，是一大类行程问题的关键．本题的解答就巧妙地运用了这一点．

【巩固】（难度等级※※※）欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里．早晨7:

40，欢欢从家出发骑车去学校，7:

46追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度提高到原来的2倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢8:

00赶到学校时，贝贝也恰好到学校．如果欢欢在家换校服用去6分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是几点几分．

2【解析】欢欢从出发到追上贝贝用了6分钟，她调头后速度提高到原来的2倍，根据路程一定，时间比等于速度的反比，她回到家所用的时间为3分钟，换衣服用时6分钟，所以她再从家里出发到到达学校用了20-6-3-6=5分钟，故她以原速度到达学校需要10分钟，最开始她追上贝贝用了6分钟，还剩下4分钟的路程，而这4分钟的路程贝贝走了14分钟，所以欢欢的6分钟路程贝贝要走14×（6÷4）=21分钟，也就是说欢欢追上贝贝时贝贝已走了21分钟，所以贝贝是7点25分出发的．

【例2】难度等级※※※）甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离

1【解析】画线段示意图（实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线）：

可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（千米），而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：

95×3-25=285-25=260（千米）．

【巩固】（难度等级※※※）地铁有A，B两站，甲、乙二人都要在两站间往返行走.两人分别从A，B两站同时出发，他们第一次相遇时距A站800米，第二次相遇时距B站500米.问：

两站相距多远

2【解析】从起点到第一次迎面相遇地点，两人共同完成1个全长，从起点到第二次迎面相遇地点，两人共同完成3个全长，一个全程中甲走1段800米，3个全程甲走的路程为3段800米.画图可知，由3倍关系得到：

A，B两站的距离为800×3－500=1900米

【巩固】（难度等级※※※）如右图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇.已知C离A有80米，D离B有60米，求这个圆的周长.

3【解析】根据总结可知，第二次相遇时，乙一共走了80×3=240米，两人的总路程和为一周半，又甲所走路程比一周少60米，说明乙的路程比半周多60米，那么圆形场地的半周长为240-60=180米，周长为180×2=360米.

【例3】（难度等级※※※※）甲、乙两人从相距490米的A、B两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从A出发，在甲、乙二人之间来回跑步（遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回）．已知丙每分钟跑240米，甲每分钟走40米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距210米，那么乙每分钟走________米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距________米．

1【解析】如图所示：

假设乙、丙在

处相遇，然后丙返回，并在

处与甲相遇，此时乙则从走

处到

处．根据题意可知

米．由于丙的速度是甲的速度的6倍，那么相同时间内丙跑的路程是甲走的路程的6倍，也就是从

到

再到

的长度是

的6倍，那么

，

，可见

．那么丙从

到

所用的时间是从

到

所用时间的

，那么这段时间内乙、丙所走的路程之和（

加

）是前一段时间内乙、丙所走的路程之和（

加

，即全程）的

，所以

，而

，可得

，

．

相同时间内丙跑的路程是乙走的路程的

倍，所以丙的速度是乙的速度的4倍，那么乙的速度为

（米/分），即乙每分钟走60米．

当这一次丙与甲相遇后，三人的位置关系和运动方向都与最开始时相同，只是甲、乙之间的距离改变了，变为原来的

，但三人的速度不变，可知运动过程中的比例关系都不改变，那么当下一次甲、丙相遇时，甲、乙之间的距离也是此时距离的

，为

米．

【巩固】（难度等级※※※）甲、乙两车同时从A地出发，不停地往返行驶于A、B两地之间．已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地．甲车的速度是乙车速度的多少倍

2【解析】第一次相遇时两车合走了两个全程，而乙车走了AC这一段路；第二次相遇两车又合走了两个全程，而乙车走了从C地到B地再到C地，也就是2个BC段．由于两次的总行程相等，所以每次乙车走的路程也相等，所以AC的长等于2倍BC的长．而从第一次相遇到第二次相遇之间，甲车走了2个AC段，根据时间一定，速度比等于路程的比，甲车、乙车的速度比为2AC:

2BC?

2:

1，所以甲车的速度是乙车速度的2倍．

【例4】（难度等级※※※※）甲、乙两人同时从A地出发，在A、B两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲每次到达A地、B地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在A、B之间行走方向不会改变，已知两人第一次相遇点距离B地1800米，第三次相遇点距离B地800米，那么第二次相遇的地点距离B地多少米

1【解析】设甲、乙两人的速度分别为

、

，全程为s，第二次相遇的地点距离B地x米．

2【解析】由于甲的速度大于乙的速度，所以甲第一次遇到乙是甲到达B地并调头往回走时遇到乙的，这时甲、乙合走了两个全程，第一次相遇的地点与B地的距离为

，那么第一次相遇的地点到B地的距离与全程的比为

；两人第一次相遇后，甲调头向B地走，乙则继续向B地走，这样一个过程与第一次相遇前相似，只是这次的“全程”为第一次相遇的地点到B地的距离，即1800米．根据上面的分析可知第二次相遇的地点到B地的距离与第一次相遇的地点到B地的距离的比为

；类似分析可知，第三次相遇的地点到B地的距离与第二次相遇的地点到B地的距离的比为

；那么

，得到

，故第二次相遇的地点距离B地1200米．

【例5】（难度等级※※※）每天早晨，小刚定时离家步行上学，张大爷也定时出家门散步，他们相向而行，并且准时在途中相遇．有一天，小刚提早出门，因此比平时早7分钟与张大爷相遇．已知小刚步行速度是每分钟70米，张大爷步行速度是每分钟40米，那么这一天小刚比平时早出门多少分钟

1【解析】比平时早7分钟相遇，那么小刚因提早出门而比平时多走的路程为小刚和张大爷7分钟合走的路程，所以当张大爷出门时小刚已经比平时多走了（70+40）×7=770米，因此小刚比平时早出门770÷70=11分钟．

模块二：

时间相同速度比等于路程比

【例6】（难度等级※※※）A、B两地相距7200米，甲、乙分别从A，B两地同时出发，结果在距B地2400米处相遇．如果乙的速度提高到原来的3倍，那么两人可提前10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米

1【解析】第一种情况中相遇时乙走了2400米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度比为（7200－2400）:

2400=2:

1，所以第一情况中相遇时甲走了全程的2/3．乙的速度提高3倍后，两人速度比为2:

3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以第二种情况中相遇时甲走了全程的

．两种情况相比，甲的速度没有变化，只是第二种情况比第一种情况少走10分钟，所以甲的速度为

（米/分）．

【例7】（难度等级※※※）甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是4:

3，二人相遇后继续行进，甲到达B地和乙到达A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点30千米，则A、B两地相距多少千米

1【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为4:

3．第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了3个全程，三个全程中甲走了

个全程，与第一次相遇地点的距离为

个全程．所以A、B两地相距

（千米）．

【巩固】（难度等级※※※）甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速度的

，并且甲、乙两车第2007次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第2008次相遇的地点恰好相距120千米，那么，A、B两地之间的距离等于多少千米

2【解析】甲、乙速度之比是3：

7，所以我们可以设整个路程为3+7=10份，这样一个全程中甲走3份，第2007次相遇时甲总共走了3×（2007×2-1）=12039份，第2008次相遇时甲总共走了3×（2008×2-1）=12045份，所以总长为120÷［（）]×10=300米.

【例8】（难度等级※※※※※）B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。

1【解析】根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：

因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：

（1）若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，所以丙用时间为：

10÷（3－1）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信

当丙再回到B点用5分钟，此时甲已经距B地有10＋10＋5＋5＝30（分钟），同理丙追及时间为30÷（3－1）=15（分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信

在给乙送信，此时乙已经距B地：

10＋5＋5＋15＋15=50（分钟），

此时追及乙需要：

50÷（3－1）=25（分钟），返回B地需要25分钟

所以共需要时间为5＋5＋15＋15＋25＋25=90（分钟）

（2）同理先追及甲需要时间为120分钟

【例9】（难度等级※※※※）甲、乙两人同时从A、B两点出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，出发一段时间后，两人在距中点的C处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了7分钟，两人将在距中点的D处相遇，且中点距C、D距离相等，问A、B两点相距多少米

1【解析】甲、乙两人速度比为

，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了全程的

，乙走了全程的

．第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相等，所以第二次乙行了全程的

，甲行了全程的

．由于甲、乙速度比为4:

3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了

，所以甲停留期间乙行了

，所以A、B两点的距离为

（米）．

【例10】（难度等级※※※※）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是5:

4，相遇后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%．这样当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．那么A、B两地相距多少千米

1【解析】两车相遇时甲走了全程的

，乙走了全程的

，之后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，此时甲、乙的速度比为

，所以甲到达B地时，乙又走了

，距离A地

，所以A、B两地的距离为

（千米）．

【例11】（难度等级※※※※※）早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午1点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午2点时两人之间的距离是15千米．下午3点时，两人之间的距离还是l5千米．下午4点时小王到达乙地，晚上7点小张到达乙地．小张是早晨几点出发

1【解析】从题中可以看出小王的速度比小张块．下午2点时两人之间的距离是l5千米．下午3点时，两人之间的距离还是l5千米，所以下午2点时小王距小张15千米，下午3点时小王超过小张15千米，可知两人的速度差是每小时30千米．由下午3点开始计算，小王再有1小时就可走完全程，在这1小时当中，小王比小张多走30千米，那小张3小时走了153045?

?

千米，故小张的速度是45÷3=15千米/时，小王的速度是15＋30=45千米/时．全程是45×3=135千米，小张走完全程用了135＋15=9小时，所以他是上午10点出发的。

【例12】（难度等级※※※※※）从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。

其中下坡路与上坡路的距离相等。

陈明开车从甲地到乙地共用了3小时，其中第一小时比第二小时多走15千米，第二小时比第三小时多走25千米。

如果汽车走上坡路比走平路每小时慢30千米，走下坡路比走平路每小时快15千米。

那么甲乙两地相距多少千米

1【解析】⑴由于3个小时中每个小时各走的什么路不明确，所以需要先予以确定．

从甲地到乙地共用3小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路的路程不需要1小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了1小时，这说明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小时则是全在走平路．这样的话，由于下坡速度大于平路速度，所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走1小时的路程，而这个路程恰好比以平路的速度走1小时的路程（即第二小时走的路程）多走15千米，所以这样的话第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，不合题意，所以假设不成立，即第三小时全部在走上坡路．

如果第一小时全部在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二小时走的路程将大于以平路的速度走1小时的路程，而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，也不合题意，所以假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路．

所以整个行程为：

第一小时已走完下坡路，还走了一段平路；第二小时走完平路，还走了一段上坡路；第三小时全部在走上坡路．

⑵由于第二小时比第三小时多走25千米，而走平路比走上坡路的速度快每小时30千米．所以第二小时内用在走平路上的时间为

小时，其余的

小时在走上坡路；

因为第一小时比第二小时多走了15千米，而

小时的下坡路比上坡路要多走

千米，那么第一小时余下的下坡路所用的时间为

小时，所以在第一小时中，有

小时是在下坡路上走的，剩余的

小时是在平路上走的．

因此，陈明走下坡路用了

小时，走平路用了

小时，走上坡路用了

小时．

⑶因为下坡路与上坡路的距离相等，所以上坡路与下坡路的速度比是

．那么下坡路的速度为

千米/时，平路的速度是每小时

千米，上坡路的速度是每小时

千米．

那么甲、乙两地相距

（千米）．

模块三：

路程相同速度比等于时间的反比

【例13】（难度等级※※※）在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分

1【解析】由题意知，甲行4分相当于乙行6分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）

2【解析】从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行12分，而乙行12分相当于甲行8分，所以甲环行一周需12＋8＝20（分），乙需20÷4×6＝30（分）.

【例14】（难度等级※※※）上午8点整，甲从A地出发匀速去B地，8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地．那么，乙从B地出发时是8点几分．

1【解析】甲、乙相遇时甲走了20分钟，之后甲的速度提高到原来的3倍，又走了10分钟到达目的地，根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走10×3=30分钟，所以前后两段路程的比为20:

30=2:

3，由于甲走20分钟的路程乙要走10分钟，所以甲走30分钟的路程乙要走15分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了15分钟，所以乙从B地出发时是8点5分．

【例15】（难度等级※※※）小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路．小芳上学走这两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍

1【解析】设小芳上学路上所用时间为2，那么走一半平路所需时间是1．由于下坡路与一半平路的长度相同，根据路程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是

，因此，走上坡路需要的时间是

，那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为

，所以，上坡速度是平路速度的

倍．

【例16】（难度等级※※※※）一列火车出发1小时后因故停车小时，然后以原速的

前进，最终到达目的地晚小时．若出发1小时后又前进90公里再因故停车小时，然后同样以原速的

前进，则到达目的地仅晚1小时，那么整个路程为多少公里

1【解析】出发1小时后因故停车小时，然后以原速的

前进，最终到达目的地晚小时，

所以后面以原速的

前进的时间比原定时间多用

小时，

而速度为原来的

，所用时间为原来的

，

所以后面的一段路程原定时间为

小时，原定全程为4小时；

出发1小时后又前进90公里再因故停车小时，然后同样以原速的

前进，则到达目的地仅晚1小时，所以后面以原速的

前进的时间比原定时间多用

小时

所以后面的一段路程原定时间为

小时，

类似分析可知又前进90公里后的那段路程需要：

小时

而原定全程为4小时，所以整个路程为

公里．

【例17】（难度等级※※※※）王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高1/6，于是提前1小时40分到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米

1【解析】从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，即车速为原计划的10/9，则所用时间为原计划的1÷10/9=9/10，即比原计划少用1/10的时间，所以一个半小时等于原计划时间的1/10，原计划时间为：

÷1/10=15（小时）；按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高1/6，即此后车速为原来的7/6，则此后所用时间为原计划的1÷7/6=6/7，即此后比原计划少用1/7的时间，所以1小时40分等于按原计划的速度行驶280千米后余下时间的1/7，则按原计划的速度行驶280千米后余下的时间为：

2【解析】5/3÷1/7=35/3（小时），所以，原计划的速度为：

84（千米/时），北京、上海两市间的路程为：

84×15=1260（千米）．

【巩固】（难度等级※※※※）一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20%可以提前1小时到达．如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高30%，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几

3【解析】车速提高20%，即为原速度的6/5，那么所用时间为原来的5/6，所以原定时间为

小时；如果按原速行驶一段距离后再提速30%，此时速度为原速度的13/10，所用时间为原来的10/13，所以按原速度后面这段路程需要的时间为

小时．所以前面按原速度行使的时间为

小时，根据速度一定，路程比等于时间之比，按原速行驶了全部路程的

模块四、比例综合题

【例18】（难度等级※※※）甲、乙两人同时从A地出发到B地，经过3小时，甲先到B地，乙还需要1小时到达B地，此时甲、乙共行了35千米．求A，B两地间的距离．

1【解析】甲、乙两个人同时从A地到B地，所经过的路程是固定

所需要的时间为：

甲3个小时，乙4个小时（3+1）

两个人速度比为：

甲：

乙=4：

3

当两个人在相同时间内共行35千米时，相当与甲走4份，已走3份，

所以甲走：

35÷（4＋3）×4=20（千米），所以，A、B两地间距离为20千米

【例19】（难度等级※※※※）甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的倍，而且甲比乙速度快。

两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。

那么甲回到出发点共用多少小时

1【解析】甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲恰好到半山腰，

说明甲走过的路程应该是一个单程的1×+1/2=2倍，

就是说甲下山的速度是乙上山速度的2倍。

两人相