极坐标参数方程题型总结.docx

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极坐标参数方程题型总结

极坐标参数方程题型总结

极坐标参数方程专题训练

一、知识要点

（一）曲线的参数方程的定义：

在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即　

并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．

（二）常见曲线的参数方程如下：

1．过定点（x0，y0），倾角为α的直线：

　　（t为参数）

其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．

根据t的几何意义，有以下结论．

设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则

＝

＝

．

线段AB的中点所对应的参数值等于

．

③设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则P到A，B两点距离之积

2．中心在（x0，y0），半径等于r的圆：

　　（

为参数）

3．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：

　　　　（

为参数）　　（或　

）

中心在点（x0,y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程

4．顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：

　　（t为参数，p＞0）

直线的参数方程和参数的几何意义

过定点P（x0，y0），倾斜角为

的直线的参数方程是　

　（t为参数）．

（三）极坐标系

1、定义：

在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对（ρ,θ）就叫做点M的极坐标。

这样建立的坐标系叫做极坐标系。

2、极坐标有四个要素：

①极点；②极轴；

3.已知P为半圆C：

（

为参数，

）上的点，点A的坐标为（1,0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧

的长度均为

。

（

）以O为极点，

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；

（

）求直线AM的参数方程。

4.已知直线C1

（t为参数），C2

（

为参数），

（Ⅰ）当

=

时，求C1与C2的交点坐标；

（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当

变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。

5.已知在平面直角坐标系

中，圆C的参数方程为

，以

为极轴建立极坐标系，直线

的极坐标方程为

，

（1）写出直线

的直角坐标方程和圆C的普通方程；

（2）求圆C截直线L所得的弦长。

6.已知直线L经过点

（1）写出直线L的参数方程；

（2）设L与圆

相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积。

7.已知曲线

（1）化

为直角坐标方程，化

为普通方程；

（2）若M为曲线

与X轴的交点，N为曲线

上一动点，求

的最大值。

8.已知曲线C

：

 （t为参数），C

：

（

为参数）。

（1）化C

，C

的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C

上的点P对应的参数为

，Q为C

上的动点，求

中点

到直线

 （t为参数）距离的最小值。

9.在极坐标系中，已知圆C的圆心C

，半径r＝3，

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）若Q点在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|＝3∶2，求动点P的轨迹方程．