常微分方程第5章答案.docx

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常微分方程第5章答案

习题5.1

1.给定方程组

x=xx=（*）

a）试验证u（t）=,v（t）=分别是方程组（*）的满足初始条件u（0）=,v（0）=的解.

b）试验证w（t）＝cu（t）+cv（t）是方程组（*）的满足初始条件w（0）=的解，其中是任意常数.

解：

a）u（0）==

u（t）==u（t）

又v（0）==

v（t）===v（t）

因此u（t）,v（t）分别是给定初值问题的解.

b）w（0）=u（0）+u（0）=+=

w（t）=u（t）+v（t）

=+

=

=

=w（t）

因此w（t）是给定方程初值问题的解.

2.将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：

a）x+2x+7tx=e,x

（1）=7,x

（1）=-2

b）x+x=te,x（0）=1,x（0）=-1,x（0）=2,x（0）=0

c）

x（0）=1,x（0）=0,y（0）=0,y（0）=1

解：

a）令x＝x,x=x,得

即

又x＝x

（1）=7x

（1）=x

（1）=-2

于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：

x＝x

（1）＝

其中x＝.

b）令＝x＝＝＝则得：

且（0）=x（0）=1,=（0）=-1,（0）=（0）=2,

（0）=（0）=0

于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：

=x（0）=,其中x=.

c）令w＝x，w＝，w＝y，w＝y，则原初值问题可化为：

且

即w

w（0）=其中w＝

3.试用逐步逼近法求方程组

＝xx＝

满足初始条件

x（0）=

的第三次近似解.

解：

0241201杨素玲

习题5.2

02412—0202412—03

1.试验证=

是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。

解：

令的第一列为（t）=,这时（t）==（t）故（t）是一个解。

同样如果以（t）表示第二列，我们有（t）==（t）这样（t）也是一个解。

因此是解矩阵。

又因为det=-t故是基解矩阵。

2.考虑方程组x=A（t）x（5.15）其中A（t）是区间a上的连续nn矩阵，它的元素为a（t）,i,j=1,2,…,n

a）如果x（t）,x（t）,…,x（t）是（5.15）的任意n个解，那么它们的伏朗斯基行列式W[x（t）,x（t）,…,x（t）]W（t）满足下面的一阶线性微分方程W=[a（t）+a（t）+…+a（t）]W

b）解上面的一阶线性微分方程，证明下面公式：

W（t）=W（t）et,t[a,b]

解：

w（t）=++…+

=+…+=+…+整理后原式变为

（a+…+a）=（a+…+a）w（t）

=（a（t）+…+a（t））w（t）

b）由于w（t）=[a（t）+…+a（t）]w（t）,即=[a（t）+…+a（t）]dt

两边从t到t积分ln-ln=即w（t）=w（t）e,t[a,b]

3.设A（t）为区间a上的连续nn实矩阵，为方程x=A（t）x的基解矩阵，而x=（t）为其一解，试证：

a）对于方程y=-A（t）y的任一解y=（t）必有（t）（t）=常数；

b）（t）为方程y=-A（t）y的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C，使（t）（t）=C.

解a）[（t）（t）]=（t）+（t）=（t）+（t）A（t）

又因为=-A（t）（t），所以=-（t）A（t）

[（t）（t）]=-（t）（t）A（t）+（t）A（t）（t）=0,

所以对于方程y=-A（t）y的任一解y=（t）必有（t）（t）=常数

b）“”假设为方程y=-A（t）y的基解矩阵，则

[（t）（t）]=[（t）]+（t）（t）=[-A（t）（t）]+（t）A（t））+（t）[A（t）（t）]=-（t）A（t）+（t）A（t）=0,故（t）（t）=C

“”若存在非奇异常数矩阵C，detc0,使（t）（t）=C，

则[（t）（t）]=（t）+（t）=0，故（t）（t）=-（t）（t）A（t）（t）=-（t）A（t）所以（t）=-（t）A（t）,（t）=-（t）A（t）即（t）为方程y=-A（t）y的基解矩阵

4.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明:

（t）=（t-t）其中t为某一值.

证明：

（1）,（t-t）是基解矩阵。

（2）由于为方程x=Ax的解矩阵，所以（t）也是x=Ax的解矩阵，而当t=t时，（t）（t）=E,（t-t）=（0）=E.故由解的存在唯一性定理，得（t）=（t-t）

5.设A（t）,f（t）分别为在区间a上连续的nn矩阵和n维列向量，证明方程组x=A（t）x+f（t）存在且最多存在n+1个线性无关解。

证明：

设x,x,…x是x=A（t）x的n个线性无关解，是x=A（t）x+f（t）的一个解，则x+,x+,…,x+,都是非齐线性方程的解，下面来证明它们线性无关，假设存在不全为零的常数C,（I=1,2,…,n）使得+c=0,从而x+,x+,…,x+,在a上线性相关，此与已知矛盾，因此x+,x+,…,x+,线性无关，所以方程组x=A（t）x+f（t）存在且最多存在n+1个线性无关解。

6、试证非齐线性微分方程组的叠加原理：

的解，则是方程组

的解。

证明：

（1）

（2）

分别将代入

（1）和

（2）

则

则

令

即证

7．考虑方程组，其中

a）试验证是的基解矩阵；

b）试求的满足初始条件的解。

证明：

a）首先验证它是基解矩阵

以表示的第一列

则

故是方程的解

如果以表示的第二列

我们有

故也是方程的解

从而是方程的解矩阵

又

故是的基解矩阵；

b）由常数变易公式可知，方程满足初始条件的解

而

8、试求，其中

满足初始条件

的解。

解：

由第7题可知的基解矩阵

则

若方程满足初始条件

则有

若

则有9、试求下列方程的通解：

a）

解：

易知对应的齐线性方程的基本解组为

这时

由公式得

通解为

b）

解：

易知对应的齐线性方程的基本解组为

是方程的特征根

故方程有形如的根

代入得

故方程有通解

c）

解：

易知对应的齐线性方程对应的特征方程为故方程的一个基本解组为

因为是对应的齐线性方程的解

故也是原方程的一个解

故方程的通解为

10、给定方程其中f（t）在上连续，试利用常数变易公式，证明：

a）如果f（t）在上有界，则上面方程的每一个解在上有界；

b）如果当时，，则上面方程的每一个解（当时）。

证明：

a）上有界

存在M>0,使得

又是齐线性方程组的基本解组

非齐线性方程组的解

又对于非齐线性方程组的满足初始条件的解x（t），都存在固定的常数

使得

从而

故上面方程的每一个解在上有界

b）时，

当t>N时

由a）的结论

故时，原命题成立

11、给定方程组（5.15）

这里A（t）是区间上的连续矩阵，设是（5.15）的一个基解矩阵，n维向量函数F（t,x）在，上连续，试证明初值问题：

（*）

的唯一解是积分方程组

（**）

的连续解。

反之，（**）的连续解也是初值问题（8）的解。

证明：

若是（*）的唯一解

则由非齐线性方程组的求解公式

即（*）的解满足（**）

反之，若是（**）的解，则有

两边对t求导：

即（**）的解是（*）的解

习题5.3

1、假设A是nn矩阵，试证：

a）对任意常数、都有

exp（A+A）=expA•expA

b）对任意整数k,都有

（expA）=expkA

（当k是负整数时，规定（expA）＝[（expA）]）

证明：

a）∵（A）•（A）＝（A）•（A）

∴exp（A+A）=expA•expA

b）k>0时，（expA）＝expA•expA……expA

＝exp（A+A+……+A）

＝expkA

k<0时，-k>0

（expA）＝[（expA）]=[exp（-A）]=exp（-A）•exp（-A）……exp（-A）

＝exp[（-A）（-k）]

＝expkA

故k，都有（expA）=expkA

2、试证：

如果是=Ax满足初始条件＝的解，那么

＝[expA（t-t）]

证明：

由定理8可知＝Ф（t）Ф-1（t0）＋Ф（t）

又因为Ф（t）=expAt,Ф-1（t0）=（expAt0）-1=exp（-At0）,f（s）=0,

又因为矩阵（At）•（-At0）=（-At0）•（At）

所以＝[expA（t-t）]

3、试计算下面矩阵的特征值及对应的特征向量

a）b）

c）d）

解：

a）det（E－A）==（－5）（+1）=0

∴=5,=－1

对应于=5的特征向量u=,（）

对应于=－1的特征向量v=,（）

b）det（E－A）=（+1）（+2）（－2）＝0

∴＝－1，＝2，＝－2

对应于＝－1的特征向量u1＝，（0）

对应于＝2的特征向量u2＝，（）

对应于＝－2的特征向量u3＝，（）

c）det（E－A）=＝（+1）2（－3）＝0

∴＝－1（二重），＝3

对应于＝－1（二重）的特征向量u＝，（0）

对应于＝3的特征向量v＝,（）

d）det（E－A）==（+3）（+1）（+2）=0

∴＝－1，＝－2，＝－3

对应于＝－1的特征向量u1＝，（0）

对应于＝－2的特征向量u2＝，（）

对应于＝－3的特征向量u3＝，（）

4、试求方程组=Ax的一个基解矩阵，并计算expAt，其中A为：

a）b）

c）d）

解：

a）det（E－A）=0得＝，＝－

对应于的特征向量为u＝，（0）

对应于的特征向量为v＝，（）

∴u＝，v＝是对应于，的两个线性无关的特征向量

Ф（t）=是一个基解矩阵

ExpAt=

b）由det（E－A）=0得＝5，＝－1

解得u＝，v＝是对应于，的两个线性无关的特征向量

则基解矩阵为Ф（t）＝

Ф（0）＝Ф－1（0）＝

则expAt＝Ф（t）Ф－1（0）＝

c）由det（E－A）=0得＝2，＝－2，＝－1

解得基解矩阵Ф（t）＝

Ф－1（0）＝

则expAt＝Ф（t）Ф－1（0）＝

d）由det（E－A）=0得＝－3，＝2＋，＝2－

解得基解矩阵Ф（t）＝

则expAt＝Ф（t）Ф－1（0）＝

5、试求方程组=Ax的基解矩阵，并求满足初始条件

解：

a）由第4题（b）知，基解矩阵为

所以

b）由第4题（d）知，基解矩阵为

Ф（t）＝

所以

c）由3（c）可知，矩阵A的特征值为＝3，＝－1（二重）

对应的特征向量为u1＝，u2＝

∴＝＋

解得

＝

6、求方程组=Ax＋f（t）的解：

解：

a）令=Ax的基解矩阵为Ф（t）

解得Ф（t）＝，则Ф－1（t）＝

Ф－1（0）＝

求得＝

b）由det（E－A）=0得＝－1，＝－2，＝－3

设对应的特征向量为v1，则

（E－A）v1=0，得v1＝

取v1＝，同理可得v2＝，v3＝

则Ф（t）＝

从而解得

c）令=Ax的基解矩阵为Ф（t）

由det（E－A）=0得＝1，＝2

解得对应的基解矩阵为Ф（t）＝

∴Ф－1（t）＝从而Ф－1（0）＝

∴

7、假设m不是矩阵A的特征值。

试证非齐线性方程组

有一解形如

其中c，p是常数向量。

证：

要证是否为解，就是能否确定常数向量p

则p（mE－A）＝c

由于m不是A的特征值

故

mE－A存在逆矩阵

那么p＝c（mE－A）－1这样方程就有形如的解

8、给定方程组

a）试证上面方程组等价于方程组u’=Au,其中

u＝，A=

b）试求a）中的方程组的基解矩阵

c）试求原方程组满足初始条件

x1（0）=0,x1’（0）=1,x2（0）=0

的解。

证：

a）令则方程组①化为

即u’＝u’=Au①

反之，设x1=u1,x1’=u2,x2=u3则方程组②化为

b）由det（E－A）=0得＝0，＝1，＝2

由得

同理可求得u2和u3

取

则是一个基解矩阵

c）令，则①化为等价的方程组①且初始条件变为而②满足此初始条件的解为：

③

于是根据等价性，①满足初始条件的解为③式

9、试用拉普拉斯变换法解第5题和第6题。

证明：

略。

10、求下列初值问题的解：

解：

a）根据方程解得＝，＝－

∴＝t＋，＝－t＋

∵

∴0＋＝1∴＝1∴＝t＋1

∵

∴－0＋＝0∴＝0∴＝－t

综上：

＝t＋1

＝－t

b）对方程两边取拉普拉斯变换，得

解得

∴

c）对方程两边取拉普拉斯变换，得

11、假设y＝是二阶常系数线性微分方程初值问题

的解，试证是方程

的解，这里f（x）为已知连续函数。

证明：

y＝

∵y’＝

∴

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