中考数学路径问题解决方法.docx
《中考数学路径问题解决方法.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考数学路径问题解决方法.docx(10页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
中考数学路径问题解决方法
路径问题解决方法
收录于话题
涉及的知识和方法:
知识:
①相似;②三角形的两边之和大于第三边;③点到直线之间的距离垂线段最短;④点到圆上点共线有最值。
方法:
第一步:
找主动点的轨迹;第二步:
找从动点与主动点的关系;第三步:
找主动点的起点和终点;第四步:
通过相似确定从动点的轨迹,第五步:
根据轨迹确定点线、点圆最值
在此类题目中,题目或许先描述的是主动点P,但最终问题问的可以是另一点Q(从动点),根据P、Q之间存在某种联系,从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值。
瓜豆原理的内容有两个:
1、线段的一个端点在某个图形上运动的时候,线段中点的运动轨迹和这个图形位似。
位似比是1:
2。
当然,其他比也可。
如上图,点C在线段AB上运动,CD的中点的轨迹也是一条线段,并且长度与AB之比等于1:
2
如上图,点A在圆O上面运动时,AB的中点轨迹也是一个圆,并且半径之比等于1:
2
从上面的图上可以看出,线段HI上的任意一点的轨迹都和AB相似,相似等于点在分成的线段和整体的比,如下图:
位似比等于HK:
HI。
在圆上可以得到同样的结论。
2、形状确定(大小可变可不变)的三角形的一个顶点绕另一个顶点在一个图形运动时,第三顶点的轨迹和这个图形位似。
如上图,△DFE的一个顶点F不动,顶点D在△ABC上运动的时候,另一个顶点E的运动轨迹也是三角形。
动点的运动路径通常有两种:
一是线段型,二是弧型.下面我们就从这两个方面来具体说一说。
一、动点路径为线段
例1如图,P是直线BC上一动点,连接AP,取AP中点Q,当点P在BC上运动时,Q点轨迹是?
【分析】先看动图结果:
当P点轨迹是直线时,Q点轨迹也是一条直线.
可以这样理解:
分别过A、Q向BC作垂线,垂足分别为M、N:
在运动过程中,因为AP=2AQ,所以AM=2QN,即Q点到BC的距离是定值,故Q点轨迹是一条直线.
例2如图,△APQ是等腰直角三角形,∠PAQ=90°且AP=AQ,当点P在直线BC上运动时,求Q点轨迹?
【分析】动图先看结果:
当AP与AQ夹角固定且AP:
AQ为定值的话,P、Q轨迹是同一种图形.
当确定轨迹是线段的时候,可以任取两个时刻的Q点的位置,连线即可,比如Q点的起始位置Q1和终点位置Q2,连接即得Q点轨迹线段.
模型总结
【必要条件】
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值);
主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:
AQ是定值).
【结论】
P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ(当∠PAQ≤90°时,∠PAQ等于MN与BC夹角)
P、Q两点轨迹长度之比等于AP:
AQ(由△ABC∽△AMN,可得AP:
AQ=BC:
MN)
二、动点路径为弧
例1如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,Q为AP中点.当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是?
【分析】观察动图:
点Q轨迹是个圆,而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系?
考虑到Q点始终为AP中点,连接AO,取AO中点M,则M点即为Q点轨迹圆圆心,半径MQ是OP一半,任意时刻,均有△AMQ∽△AOP,QM:
PO=AQ:
AP=1:
2.
【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径,
由A、Q、P共线可得:
A、M、O三点共线,
由Q为AP中点可得:
AM=1/2AO.
Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.
例2 如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,作AQ⊥AP且AQ=AP.当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是?
【分析】动图先看结果:
Q点轨迹是个圆,可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ,故Q点轨迹与P点轨迹都是圆.接下来确定圆心与半径.
考虑AP⊥AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO;
考虑AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO.
即可确定圆M位置,任意时刻均有△APO≌△AQM.
例3 如图,△APQ是直角三角形,∠PAQ=90°且AP=2AQ,当P在圆O运动时,Q点轨迹是?
【分析】动图先看结果:
考虑AP⊥AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO;
考虑AP:
AQ=2:
1,可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:
AM=2:
1.
即可确定圆M位置,任意时刻均有△APO∽△AQM,且相似比为2.
模型总结
为了便于区分动点P、Q,可称点P为“主动点”,点Q为“从动点”.
【条件】两个定量
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值);
主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:
AQ是定值).
【结论】
(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角:
∠PAQ=∠OAM;
(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比:
AP:
AQ=AO:
AM,也等于两圆半径之比.
按以上两点即可确定从动点轨迹圆,Q与P的关系相当于旋转+伸缩.