1年高中数学教学论文-向量法搞定立体几何.doc
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向量法搞定立体几何
一、基础知识
2..法向量的求法
法向量指的是垂直于面的向量。
在用向量解题的过程中，只要遇到面便要求出它的法向量。
求法向量的步骤：
（1）设此面的法向量为（x，y，z）
（2）因为法向量垂直于面内的任意一条直线，所以在此面内任意找到两条相交直线（如：
（x1，y1，z1）,（x2，y2，z2））
则有：
（3）因为上面是建立了两个方程，但是有三个未知量，所以必须设一个量，在设的时候除了求二面角时（下面有介绍）需要来考虑方向，别的情况都可以随便设，通过上面解出的相对关系，确定那两个量，这样，法向量便解出来了。
特殊情况：
在此情况下（如图1所示），法向量可以直接设出来，而不用上述的方法求解。
（1）面OAC的法向量
我们可以直接看出此面的法向量平行于x轴，所以可以直接设
法向量为（x，0，0），其中x可以随便赋值。
（2）面OAB的法向量
我们可以直接看出此面的法向量平行于y轴，所以可以直接设
法向量为（0，y，0），其中y可以随便赋值。
（3）面OBC的法向量
我们可以直接看出此面的法向量平行于y轴，所以可以直接设法向量为（0，0，z），其中z可以随便赋值
（图1）
例一：
已知一个三棱锥，OA垂直于面OBC，OB垂直OC，且OA=OB=OC=1，如图1所示，求面ABC的法向量？
解：
设ABC的法向量为，
A（0，0，1），B（1，0，0），C（0，1，0）
则：
，
解得：
x=z；y=x；
令x=1，则有y=z=1；
则（1，1，1）为面ABC得法向量。
二、学会建立坐标系
1.对于立方体、长方体、正四棱柱可以直接建立（在此不再强调）。
2.对于不可以直接建立的立体图，要尽量建立较好求的坐标系
常用方法：
找中点（一般在题中会出现等腰三角形或者等边三角形，往往找到底边的中点，顶点与中点相连，此线便垂直于底边了，把此线作为其中的一轴）
比如例二：
2006年全国二卷第（19）（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点.
（Ⅰ）证明：
ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；
（Ⅱ）设AA1=AC=求二面角A1－AD－C1的大小.
（此图为建立完坐标系的图形）
一般的步骤：
1.找到垂直于底面的一条线，作为Z轴
2.在底面上找两条相互垂直的直线，分别作为X轴和Y轴
三、用向量法求解
1.点与点的距离
2.点到直线的距离
（1）已知直线的方程y=kx+b,那么点（x0，y0）到此直线的距离为：
（2）用面积法求解（原理：
面积相等）
图解：
求A到BC的距离
3.点到面的距离
（1）用体积法求解（原理：
体积相等。
适用于体积和面积比较好求的立体）
如前面的例一：
已知一个三棱锥，OA垂直于面OBC，OB垂直OC，且OA=OB=OC=1，如图所示，求点O到面ABC的距离？
解：
根据体积相等，设点O到面ABC的距离为d，AD为BC边的高：
则有
（2）用向量法求解
如图：
求P到面ABCD的距离，设面ABCD的法向量为，O为P在面上的投影点，OP即为P到面ABCD的距离。
A.的方向向上时
O为点P在面ABCD上的投影点，故OP便是点P到面ABCD的距离，则
B.的方向向下时
O为点P在面ABCD上的投影点，故OP便
是点P到面ABCD的距离，则
综上述两种情况，我们可以得出：
在求点到面的距离时，先在面内任意找到一点与此点构成向量（如上面A与P构成向量），则不论的方向如何，其点到面的距离为：
4.线与线的夹角
因为线与线的夹角在[0°，90°]，所以其余弦值必为正值
如果算的cosθ为负值，可通过调整其中的一个向量的方向来使的其算的值为负值。
（或者如果是在做小题无需写步骤，可直接用）
5.线与面的夹角
因为线与面的夹角在（0°，90°]，所以其的正余弦值必为正值
θ
A.法向量向上时
α
∵α（所求的角）+θ=90°
∴sinα=cosθ
B.法向量向下时
θ
α
∵θ=α（所求的角）+90°
∴sinα=sin（θ-90°）=-cosθ>0
综上总结：
不论怎么定法向量，都有。
6.面与面的夹角
这种题是唯一需要确定法向量发现的，老师们可能让大家用观察法来判断此二面角的角度范围（即为锐角还是钝角），但往往有时是判断不对的，现通过定法向量方向来确定二面角。
请观察下面两个图：
正面
θ
θ
正面
α
α
反面
反面
为了计算时不繁琐，在规定法向量方向的时候，比较想让两个法向量的夹角直接等于所求的二面角，由上面四个图我们可以看到当两个法向量都从面上射出（或射入）时，其两向量所成的角与二面角互补，所以欲使两向量的夹角恰好为二面角，则应一进一出，关于是进还是出，由Z的正负来确定（如果你设出的向量方向指向斜上方，那么Z为正值；反之，如果设出的方向为斜下方，那么Z为负值）。
需要注意面的正反面（所有的进出都是指的从正面进出），这是个难点，先通过下面图说明如何判断正反面。
反面
正面
就像海蚌一样，两个壳夹得角为二面角，其外壳为上述提到的反面，壳内部为正面（如上图所示）。
四.补充
1．如果证明两面平行那么证其法向量平行即可
2.如果证明两面垂直那么证其法向量垂直即可
3.如果证明线与面平行那么证线与面得法向量垂直即可
4.如果证明线与面垂直那么证线与面法向量平行即可
五.应用实例：
现已2008年全国卷为例：
如图，正四棱柱中，,点E在上且.
（Ⅰ）证明：
平面;
（Ⅱ）求二面角的大小.
（Ⅰ）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系．
依题设，．
，
． 3分
（Ⅰ）因为，，
故，．
又，
所以平面． 6分
（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则
，．
故，．
（解释：
第一问已经证明平面，所以可以把作为平面的法向量，的Z值是负值，可以看出是射入的，则面的法向量应该是射出的，可以明显看出射出的法向量是向下延伸的，所以取Z为负值）
令，则，，． 9分
等于二面角的平面角，
．
所以二面角的大小为． 12分
希望对大家有所帮助，可以在别的题上试试！
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