因式分解的常用方法.docx
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因式分解的常用方法
因式分解的常用方法
第一部分：
方法介绍
因式分解：
因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，
要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：
1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：
将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
、提公因式法.：
ma+mb+mc=m（a+b+c）二、运用公式法.
例如：
2-b2-222±2ab+b2a
233
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,
（1）
2-b2=（a+b）（a-b）；
222
2±2ab+b2=（a±b）2；
3322
+b=（a+b）（a-ab+b）；
3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）．
（a+b）（a-b）=a
2
（2）（a±b）2=a
2
（3）（a+b）（a-ab+b）=a+ba
2233
（4）（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3
下面再补充两个常用的公式：
2222
（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；
（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）
例.已知ab,c是ABC的三边，且a2b2
abbcca，
则ABC的形状是（）A.直角三角形
B等腰三角形
C等边三角形
等腰直角三角形
解：
a2b2c2
abbcca
222
2a22b22c2
2ab2bc2ca
（ab）2
2
（bc）2（c
2
a）0abc
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：
amanbmbn
分析：
从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a,后两项都含有
b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：
原式=（aman）（bmbn）=a（mn）b（mn）
=（mn）（ab）
例2、分解因式：
2ax10ay5by
解法一：
第一、二项为一组；第三、四项为一组。
解:
原式=（2ax10ay）=2a（x5y）
=（x5y）（2a
*每组之间还有公因式!
练习：
分解因式1、a2
（5bybx）b（x5y）
b）=
bx
解法二：
第一、四项为一组；第二、三项为一组。
bx）
b）
b）（x
abacbe
原式=（2ax
=x（2a
（2a
、xy
（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：
xyaxay
分析：
若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组,式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：
原式
=（x2
y2）
（ax
ay）
=
（x
y）（x
y）
a（x
=
（x
y）（x
ya）
例4、
分解因式：
a2
2ab
b2
2e
解：
原式
=（a2
2ab
b2）
2e
=
（a
b）2
2e
=
（a
be）
i（ab
e）
练习：
分解因式
3、x2x
9y2
3y
综合练习：
（1）
x3
2
xy
xy2
3
y
y）
4
（2）
（3）x2
（5）a4
9y216a28a1
a29
6xy
2a3
2
ax
2
a
4a2
（10ay5by）
5y（2ab）
5y）
虽然可以提公因
2yz
bx2
6ab
bx
ax
9b2
2
12b
x4a2yb2x
4a
b2y
2
xzyzy
（m1）（m1）
（7）x22xy
（9）y（y2）
（11）a2（bc）b2（ac）c2（a
b）
22
（8）a22ab22b2ab1（10）（ac）（ac）b（b2a）2abc（12）a3b3
c33abc
（Xp）（xq）进行分解。
分解因式：
x25x6
将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于
由于6=2X3=（-2）X（-3）=1
X3的分解适合，即2+3=5。
解：
x25x6=x2（2
=（x2）（x
例5、
分析:
X6=（-1）
X（-6）
12
5。
，从中可以发现只有2
3）x2
3）
用此方法进行分解的关键：
将常数项分解成两个因数的积,的代数和要等于一次项的系数。
X
3
X2+1X3=5
且这两个因数
例6、分解因式：
x2解：
原式=x2
=（x
7x6
[
（1）（6）]x
1）（x6）
1）（
1
6）
-6
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式一一x2（Pq）xpq特点：
（1）二次项系数是1;
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：
十字相乘有什么基本规律
2
例.已知0vaw5，且a为整数，若2x3xa能用十字相乘法分解因
式，求符合条件的a.
ax2+bx+c,者E要求
解析：
凡是能十字相乘的二次三项式b24ac>0而且是一个完全平方数。
于是
98a为完全平方数，a1
（-1）+（-6）=-7
练习5、分解因式
（1）
x214x24
15a
2
36（3）x4x5
X2
2
⑵y2y15
练习6、分解因式
（1）
⑶x210x24
（二）二次项系数不为条件：
（1）
aia2
1的二次三项式
2
axbxc
ai
（2）
（3）
分解结果：
b
ax2
例7、分解因式:
分析：
C1C2
a1C2
bx
a2C1
c=（a1xc1）（a2xc2）
a
C2
Ci
aiC2a?
G
解：
3x2
练习7、分解因式:
11x10
3-5-2X
（-6）+（-5）=-1111x10=（x
（1）5x2
3x2
1
2）（3x
7x6
5）
2
（2）3x7x2
（3）10x2
17x3
2
（4）6y11y10
（三）二次项系数为1的齐次多项式
例8分解因式：
a28ab128b2
分析：
将b看成常数，把原多项式看成关于乘法进行分解。
1
1
a的二次三项式，利用十字相
解:
8b
-16b
8b+（-16b）=-8b
a28ab
128b2=a2[8b（16b）]a8b（16b）
（a8b）（a
16b）
练习8分解因式
（1）
2
x
2
m
3xy2y2
2
6mn8n（3）
22
aab6b
（四）二次项系数不为
例9、2x7xy
1-2y
2-3y（-3y）+（-4y）=-7y
-3
解:
原式=（x2y）（2x3y）
练习9、分解因式：
（1）15x2
的齐次多项式
6y2
22
例10、xy3xy2
把xy看作一个整体1
1-2
-1）+（-2）=
解:
7xy4y2
原式=（xy1）（xy2）
22
（2）ax6ax8
22
2）12x211xy15y2
分析：
注意到x6=（x3）2，若把单项式
x3换元，设
2=m，
（3）
（x
y）
3（xy）
10
（4）（a
b）4a
4b
3
（5）
22xy
5x
y6x
（6）
m24mn
2
4n23m
6n
2
（7）
2x
4xy
4y22x
4y
3（8）
2
5（ab）2
2
23（a2b
2）1
0（a
b）2
（9）
4x2
4xy
6x3y
2y
10（10）
2
12（xy）2
11（x2
y2）
2（x
y）2
思考：
分解
因式：
2
abcx2
（a2b2
c2）x
abc
综合练习10、
（1）8x67x31
五、换元法。
（1）、换单项式
例1
分解因式x+14x3y+49y2.
原式变形为
2
m+
32
3+7y）2.
22
14my+49y=（m+7y）=（x
（2）、换多项式
例2分解因式（x2+4x+6）+（x2+6x+6）+x2.
分析：
本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分
222
换元，设x+6=m，则X+4x+6=m+4x,x+6x+6=m+6x，原式变形为
222222
（m+4x）（m+6x）+x2=m2+10mx+24x2+x2=m2+10mx+25x2
222
=（m+5x）2=（x2+6+5x）2
22222222
m（m+2x）+x=m+2mx+x=（m+x）=（x+4x+6+x）=（x+5x+6）
222
=[（x+2）（x+3）]=（x+2）（x+3）.
另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被
称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算.对于本例，设m=寸
22222
[（X+4x+6）+（X+6x+6）]=x+5x+6,则x+4x+6=m-x,x+6x+6=m+x,
2222222
（m+x）（m-x）+x=m-x+x=m=（x+5x+6）=[（x+2）（x+3）]
=（x+2）2（x+3）2.
例3分解因式（x-1）（x+2）（x-3）（x+4）+24.
分析：
这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘,
使之转化成为两个多项式的乘积
无论如何分组，最高项都是X2,常数项
不相等，所以只能设法使一次项相同
.因此，把（x-1）（x+2）（x-3）（x+4）
分组为[（x-1）（x+2）][（x-3）（x+4）]
22
=（x+x-2）（x+x-12），从而转化成例
2形式加以解决.
我们采用“均值换元法”，设
1222
m=2[（x+x-2）+（x+x-12）]=x+x-7，
一22
则x+x-2=m+5，x+x-2=m-5，原式变形为
2222
（m+5）（m-5）+24=m-25+24=m-1=（m+1）（m-1）=（x+x-7+1）（x+x-7-
1）
=（x2+x-6）（x2+x-8）=（x-2）（x+3）（x2+x-8）.
⑶、换常数
2
例1分解因式x（x+1）-2003X2004x.
分析：
此题若按照一般思路解答，很难奏效
.注意到2003、2004两
个数字之间的关系，把其中一个常数换元.比如,
设m=2003,则2004=m+1.
于是，原式变形为
2
22
=x[（x-m）+（x-m）]=x[（x+m）（x-m）+（x-m）]
=x（x-m）（x+m+1）=x（x-2003）（x+2003+1）=x（x-2003）（x+2004）.
例13、分解因式
（1）2005x2（200521）x
（2）（x1）（x2）（x3）（x
解：
（1）设2005=a，则原式=ax2（a2
=（ax1）（x
2005
2
6）x
1）xa
a）
=（2005x1）（x2005）
（2）型如abede的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
27x6）（x
6A，则x2
22
2x）Ax=Ax）2=（x21）（x2
（2）（x2
（3）（a2
原式=（x2设x25x•••原式=（A=（A练习13、分解因式（
2
x
A
2
x
6x
xy
3x
1）2
5x6）
7x6
2Ax
6）2
2\2.z2
y）4xy（x
2x
y2）
2）（4x28x3）90
（a2
222
5）24（a23）2
例14、分解因式
（1）2x4
观察：
此多项式的特点
并且系数成“轴对称”。
这种多项式属于“等距离多项式”
x36x2
是关于x的降幕排列，每一项的次数依次少1,
o方法：
提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：
原式=x（2x
•••原式=x
1
x
2（t2
2）
x2
2t5t
（2）x44x3x2
c2
x•2x—
x
（x1）2（2x
4x
解：
原式=x2（x2
4x
则x2
1）2
—）=x
x
1
~2
x
2=x
2（x2
1
~~2
x
）（x
丄）
x
t2
2t2
10
2x
1）（x
1
=2x2
5x
x2
2x
2）=
x
x2
x2
1
~~2
x
设X—y，则x
x
二原式=x2（y2
x2（x
4y
1
练习14、
（1）6x4
（2）x4
x
7x3
2x3
212
—y2
x
2
3）=x（y1）（y
1）（x13）=x2
x
7x
2（x
36x2x21
6
X2）
3）
x1x23x1
七、待定系数法。
例16、分解因式
2x
分析：
原式的前
3项
必定可分为
（x
3y
解：
设x2
xy
6y
■-（x3y
m）（x:
6y2x13y6
2
xy6y可以分为（X3y）（x2y），则原多项式
解法
1—
拆项。
解法2
添项。
原式
=x3
13x2
3
原式=x3
3x2
4x
4x
=
（x
1）（x2x
1）3（x
1）（x1）
=x（
x23x
4）
（4x
=
（x
1）（x2x
13x
3）
=x（
x1）（x
4）
4（x
=
（x
1）（x24x
4）
=
（x
1）（x2
4x
4）
=
（x
2
1）（x2）
=
（x
1）（x
2）2
（2）
9x
63
xx
3
解：
原式=（x9
1）（x6
1）（x3
1）
=（x3
1）（x6:
x31）（x
3
1）（x3
1）（x3
1）
=（x3
1）（x6:
x31x3
1
1）
=（x
1）（x2x
1）（x62
x3
3）
练习
15、
分解因式
（1）
3x
9x8
（2）（x
1）4
（x2
1）2（x1）
4
（3）
x4
7x21
4
（4）x
x2
■2ax
1a2
（5）
4x
y4（x
y）4
（6）2a2b
2
2a2c2
2b2c2
a4
b4
4
c4
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式（
3x2
1）x3
4
4）
1）
xy
2
x
m）（x2yn）
2x13y6=（x3ym）（x2yn）
2yn）=x2xy6y2（mn）x（3n2m）ymn
222
xxy6yx13y6=x
2
xy6y（mn）x（3n2m）ymnmn1
对比左右两边相同项的系数可得
3n2m
m2
13，解得m2
n3
mn
17、
（1）当m为何值时，多项式解此多项式。
x2
2
y2
mx
5y6能分解因式，并分
（2）如果
32
xax
bx8有两个因式为
x
1和x2
，求ab的值。
（1）分析：
前两项可以分解为
（x
y）（x
y）,故此多项式分解的形式必
为（Xy
a）（x
y
b）
解：
设x2
2
ymx
5y6
=（x
ya）（x
yb）
则x2
2
ymx
5y6
2=x
2
y
（a
b）x（b
a）yab
ab
m
a2
a2
比较对应的系数可得：
ba
5
，解得
：
b3或
b3
ab
6
m1
m1
•••原式=（x3y2）（x2y3）
例
•当
当
当
1时，原多项式可以分解；
1时，原式=（xy2）（xy3）；
1时，原式=（xy2）（xy3）
x3ax2bx8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如解：
设x3
则x3
2）分析：
x
ax2bx8=（x
ax2bx8=x3
c的一次二项式。
1）（x2）（xc）
（3c）x2
（2
7
3c）x2c
•b23c
解得
14，
•a
2c8
b=21
练习17、
（1）分解因式
（2）分解因式（3）已知：
x
x23xy
x23xy
22xy
10y2
2y2
3y26x14y之积，求常数p并且分解因式。
x9y
5x7y
p能分解成两个一次因式
（4）k为何值时，x2xyky3x5y2能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。
第二部分：
习题大全
经典
一、填空题
1.把一个多项式化成几个整式的
的形式，叫做把这个多项式分解
因式。
2分解因式:
m〔4m=
3.分解因式:
2,2
-4y=一
4、分解因式:
x24x
nc
5.将x-yn
解因式
的结果为（X2+y2）（x+y）（x-y）
6、若xy5,xy6，则x
22
yxy=
2x2
2y2=
二、选择题
7、
322
多项式15mn5mn
23
20mn的公因式是（
A、
5mnB、5m2n2c
22
、5mnD、5mn
8、
下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是
A、
a3a3a9
B
a2
b2
C、
2
a4a5aa45
2m
10.下列多项式能分解因式的是（
22
（A）x-y（B）x+1（C）x
2:
+y+y
）
（D）x
2
-4x+4
12•下列各个分解因式中正确的是（
A.
B.
C.
D.
）
222
10abc+6ac+2ac=2ac（5b+3c）
222
（a—b）—（b—a）=（a-b）（a-b+1）
x（b+c—a）—y（a—b—c）—a+b—c=（b+c—a）（x+y—1）
2
（a—2b）（3a+b）—5（2b—a）=（a—2b）（11b—2a）
13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么
.4C
三、把下列各式分解因式：
k应为（
14、
nx
ny
15
4m29n2
16、
17
a3
2a2bab2
18、
X2
16x2
19
、9（m
22
n）216（mn）2；
五、
解答题
20、如图，在一块边长a=6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长b=3.33cm的正方形。
求纸片剩余部分的面积。
21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径
d45cm，外径D75cm长I3m。
利用分解因式计算浇制一节这样
的管道需要多少立方米的混凝土（取，结果保留2位有效数字）
22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第（5）个等式。
x21x
（1）x2
x41x2
⑵x4
⑶x8
2
x1x1x1
经典二：
—I,/、•
1.通过基本思路达到分解多项式的目的
例1.分解因式x5x4x3x2x1
x2（x2）
（x2）（x2
2）
（x1）（x
2）2
解二：
将常数4拆成
13，则有
分析：
这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x5x4x3和x2x1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x5x4，x3x2，x1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
x3（x2x
1）
（x2
x
1）
32
（x31）（x2
x
1）
（x1）（x2
x
1）（x2
x
1）
解二：
原式=（x5x4）
（x3
x2）
（x
1）
x4（x1）
x2（x1）
（x
1）
（x1）（x4
x
1）
（x1）[（x4
2x
21）
x2
]
（x1）（x2
x
1）（x2
x
1）
通过变形达到分解的目的
例1.分解因式x33x2
4
解一：
将3x2拆成2x2
2x，
则有
原式x32x2（x2
4）
1）
x
（x
2）（x2）
2.
（x2
解一：
原式（x5x4x3）
原式x3
（x
（x
1（3x23）
1）（x2
1）（x2
1）（x1）（
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