因式分解公式大全因式分开解公式docx.docx
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公式及方法大全
待定系数法（因式分解）
待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广
泛，这里介绍它在因式分解中的应用.
在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法.
常用的因式分解公式：
（x+α）（x+⅛）=X2+⅛+i）Λ÷α⅛
（d±A）a=dta±2a⅛+i2
（a±b）z=a3±3a2b+3ab2±b3
a2-⅛2=（df-⅛）⅛+⅛）
J±沪=（μ±A）3+λ⅛+⅛3）
a1t-bn=（K严+严E+严护十・・・+於J+fil^l）仇为正整数）
an-bn=©+3）（严-严3+（/寿-・・十严-旷】）（涵偶数）
α"+y=（a+A）（Λ1^1-fl*"⅛+a"fc⅛a——Obl^+is4）（潍为奇数）
S+b+c）'二a1+i2+/+2t≈⅛÷2⅛+2ra
«3+i3+c''-3abc=S+⅛+c）（λj+⅛2+c2一必一尿-Q
例1分解因式：
x2+3xy+2y2+4x+5y+3.
分析由于
（x2+3xy+2y2）=（x+2y）（x+y）,
若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出n，使问题得到解决.
解设
x2+3xy+2y2+4x+5y+3=（x+2y+m）（x+y+n）=X2+3xy+2y2+（m+n）x+（m+2n）y+mn比较两边对应项的系数，则有
解之得m=3,n=1.所以
原式=（x+2y+3）（x+y+1）.
说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下.
例2分解因式：
x4-2x3-27x2-44x+7.
分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1,±7（7的约数）,经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式
没有一次因式.如果原式能分解，只能分解为
（x2+ax+b）（x2+cx+d）的形式.
解设
原式=（X2+ax+b）（x2+cx+d）
=X4+（a+c）x3+（b+d+ac）x2+（ad+bc）x+bd,
所以有
由bd=7，先考虑b=1,d=7有
所以原式=（X2-7x+1）（X2+5x+7）
说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1,d=-7等可以不加以考虑.本题如果b=1,d=7代入方程组后，无法确定a，C的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止.
本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式.但利用待定系数法，使我们找到了二次因式.由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地.
求根法（因式分解）
我们把形如anxn+an-1xn-1+∙∙∙+a1x+aO（n为非负整
数）的代数式称为关于X的一元多项式，并用f（x）,g（x）,…等记号表示，女口f（x）=x2-3x+2,g（x）=x5+x2+6,…,
当x=a时，多项式f（x）的值用f（a）表示.如对上面的多项式f（x）f
（1）=12-3×
我们把形如anxn+an-ιxn-1+∙∙∙+aιx+ao（n为非负整数）的代数式称为关于X的一元多项式，并用f（x）,g（x）,…等记号表示，如
f（x）=x2-3x+2,g（x）=x5+x2+6,…，
当x=a时，多项式f（x）的值用f（a）表示.如对上面的多项式f（x）
f
（1）=12-3×1+2=0;
f（-2）=（-2）2-3×（-2）+2=12.
若f（a）=0，则称a为多项式f（x）的一个根.
定理1（因式定理）若a是一元多项式f（x）的根，即
f（a）=0成立，则多项式f（x）有一个因式x-a.
根据因式定理，找出一元多项式f（x）的一次因式的关键是求多项式f（x）的根.对于任意多项式f（x），要求出它的根
是没有一般方法的，然而当多项式f（x）的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根.
定理2
的根，则必有P是ao的约数,q是an的约数.特别地，当ao=1时，整系数多项式f（x）的整数根均为an的约数.
我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解.
例2分解因式：
x3-4x2+6x-4
分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，
必是-4的约数，逐个检验-4的约数：
±1，±2，±4，只有
f
（2）=23-4×22+6×2-4=0，
即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．
解法1用分组分解法，使每组都有因式（x-2）．
原式=（x3-2x2）-（2x2-4x）+（2x-4）
=x2（x-2）-2x（x-2）+2（x-2）
=（x-2）（x2-2x+2）．
解法2用多项式除法，将原式除以（x-2），
所以
原式=（x-2）（x2-2x+2）
说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．
例3分解因式：
9x4-3x3+7x2-3x-2．
分析因为9的约数有±1,±3,±9;-2的约数有±1,
为:
所以，原式有因式9x2-3x-2.
解9x4-3x3+7x2-3x-2
=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2
=X2（9x3-3x-2）+9x2-3x-2
=（9x2-3x-2）（x2+1）
=（3x+1）（3x-2）（x2+1）
说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分
数的因式化为整系数因式，如上题中的因式
可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程.
总之，对一元高次多项式f（x），如果能找到一个一次因
式（x-a），那么f（x）就可以分解为（x-a）g（x），而g（x）是比f（x）低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g（x）进行分
解了.
双十字相乘法（因式分解）
分解二次三项式时，我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式（ax2+bxy+cy2+dx+ey+f），我们也可以用十
字相乘法分解因式.例如，分解因式
2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按X降幕排列，并把
y当作常数，于是上式可变形为
2x2-（5+7y）x-（22y2-35y+3）,可
分解二次三项式时，我们常用十字相乘法.对于某些二
元二次六项式（ax2+bxy+cy2+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式.
例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式
按X降幕排列，并把y当作常数，于是上式可变形为
2x2-（5+7y）x-（22y2-35y+3）,
可以看作是关于X的二次三项式.
对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用
十字相乘法，分解为
即
-22y2+35y-3=（2y-3）（-11y+1）
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以
原式=[x+（2y-3）][2x+（-11y+1）]=（x+2y-3）（2x-11y+1）．
上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把
这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：
它表示的是下面三个关系式：
（x+2y）（2x-11y）=2x2-7xy-22y2；
（x-3）（2x+1）=2x2-5x-3；
（2y-3）（-11y+1）=-22y2+35y-3．
这就是所谓的双十字相乘法．
用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进
行因式分解的步骤是：
（1）用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相
乘图（有两列）；
（2）把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、
第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
例1分解因式：
（1）x2-3xy-10y2+x+9y-2；
（2）x2-y2+5x+3y+4；
（3）xy+y2+x-y-2；
（4）6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．
解
（1）
原式=（x-5y+2）（x+2y-1）．
（2）
原式=（x+y+1）（x-y+4）．
（3）原式中缺x2项，可把这一项的系数看成O来分解.
原式=（y+1）（x+y-2）．
（4）
原式=（2x-3y+z）（3x+y-2z）．
说明（4）中有三个字母，解法仍与前面的类似．
笔算开平方
对于一个数的开方，可以不用计算机，也不用查表，直接笔算出来，下面通过一个例子来说明如何笔算开平方，对于其它数只需模仿即可
例求316.4841的平方根.
第一步,先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗
号，分段，如把数316.4841分段成3,16.48,41.
第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一
段数字，而初商加1的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，因为12=1<3，而（1+1）2=4>3.
第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，
组成第一余数，在本例中第一余数为216.
第四步，找出试商，使（20×初商+试商）×试商不超过第一余数，而【20×初商+（试商+1）1×（试商+1）则大于第一余数第五步，把第一余数减去（20×初商+试商）×试商，并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7,第二余数为2748.依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束.若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值.
第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的
小数点位置对齐.本例的算式如下：
17.79
√3J6.48,41
1
-P
20X1=20
2
16
・第一余数
十7
27
1
89
……27X7
20X17=340
27
48
-第二余数
+
7
347
24
29
347X7
20X177=3540
3
1941…
…第「余数
+9
3549319413549×9
0
根式的概念
【方根与根式】数a的n次方根是指求一个数，它的n次方恰好等于a.a的n次方根记为「~（n为大于1的自然数）.作为代数式，“称为根式.n称为根指数，a称为根底数.在实数范围内，负数不能开偶次方，一个正数开偶次方有两个方根，其绝对值相同，符号相反.
【算术根】正数的正方根称为算术根.零的算术根规定为零.
【基本性质】由方根的定义，有
（烷y7■畅
国根式运算
【乘积的方根】乘积的方根等于各因子同次方根的乘积；
反过来，同次方根的乘积等于乘积的同次方根，即
【分式的方根】分式的方根等于分子、分母同次方根相除,
即
【根式的乘方r"-'≥o）
【根式化简】
∖∕c+^∙fd++^∙∕b'）（"运+∖id]（λ∕^+^∙∕b）
f>∕^^fb（V^γ-+-7^"）◎_b
∖fc+-∕dVff+^Zb
（QOQM工切≥0,d≥0）
（a>QQ>OJa≠b&
≥0,d≥0）
（亦+而X亦-柘）_（JC+77）（亦-^jb）（∙^y^η+—λ∕⅛）Ct—b
【同类根式及其加减运算】根指数和根底数都相同的根式称为同类根式，只有同类根式才可用加减运算加以合并.
国进位制的基与数字
任一正数可表为通常意义下的有限小数或无限小数，各数字的值与数字所在的位置有关，任何位置的数字当小数点向右移一位时其值扩大10倍，当小数点向左移一位时其值缩小10倍•例如
173.246=IXIOa+7xlO+3+2xlO-1+4xlO-a+6xlO-s
一般地，任一正数a可表为
a=aA^'^aιaQa-ιa-2
=QJtXIQJe+βs,1×10ji'1+---+β1×10+∣30
+u_iX101+CX_2X10'+…
这就是10进数，记作a（10），数10称为进位制的基，式中ai在｛0,1,2,L,9｝中取值，称为10进数的数字，显然没有理由说进位制的基不可以取其他的数•现在取q为任意大于1的正整数当作进位制的基，于是就得到q进数表示
Q⑷二Q严囲……二诃++-→α17+α0+知g“+康+…
（1）
式中数字ai在｛0,1,2,...,q-1｝中取值，anan-1...a1a0称为q进数a（q）的整数部分，记作[a（q）];
a-1a-2...称为a（q）的分数部分，记作｛a（q）｝.常用进位制，除
10进制外，还有2进制、8进制、16进制等，其数字如下
2进制0,1
8进制0,1,2,3,4,5,6,7
16进制0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
0,12,3,4/
各种进位制的相互转换
1q→10转换适用通常的10进数四则运算规则，根据公式
⑴，可以把q进数a（q）转换为10进数表示例如
743（S）=7x8a+4x8+3=448+32+3^483（IOj
IOIrIOItaJ=IX23+0x2a+Ix2+l+lx2^1+θx2"a+lx2^
=11.625（IOJ
210→q转换转换时必须分为整数部分和分数部分进行.
对于整数部分其步骤是：
（1）用q去除［a（10）］，得到商和余数.
（2）记下余数作为q进数的最后一个数字.
⑶用商替换［a（10）］的位置重复⑴和
（2）两步，直到商等于零为止.
对于分数部分其步骤是：
（1）用q去乘｛a（10）｝.
（2）记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字.
⑶用乘积的分数部分替换｛a（10）｝的位置，重复⑴和⑵两步，直到乘积变为整数为止，或直到所需要的位数为止•例如：
103.118（10）=147.074324…（8）
整数部分的分数部分的
草式草式
J188
3AA
7,552
3P→q转换通常情况下其步骤是：
a（p）→a（10）→a（q）.如果p,q是同一数S的不同次幂，其步骤是：
a（p）→a（s）→a（q）.例如，8进数127.653（8）转换为16进数时，由于8=23，16=24，所以s=2，其步骤是：
首先把8进数的每个数字根据8-2转换表转换为2进数（三位一组）
127.653（8）=001010111.110101011
（2）
然后把2进数的所有数字从小数点起（左和右）每四位一组分
组，从16-2转换表中逐个记下对应的16进数的数字，即
127.653（S）=OlolOllIlIOlOlOlIOoOp）=57.358（Io）
正多边形各量换算公式
n为边数R为外接圆半径a为边长燎为内切圆半径为
圆心角S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形
各量换算公式表各量正三角形
n为边数R为外接圆半径
a为边长燎为内切圆半径
r_360八必为圆心角I丹丿S为多边形面积
重心G与外接圆心O重合
正多边形各量换算公式表
各
量
正三角
形
正方形
正五边形
正六边
形
正n边
形
图
形
A
∕j∖
□1
P
0
0
S
4
4
3矽
La
2，
i√25+10√5t?
1
3$a
a
2
⅛
2
2√3?
-R^SmJ
2
2Gfnrtan—
2
a
R
2应sin—
2
R
3
√2——a
2
a
丄
2吨
1
—a
2
羽—a
2
αQi
-COt—
22
或许你还对作图感兴趣：
正多边形作图
所谓初等几何作图问题，是指使用无刻度的直尺和圆规来作图.若使用尺规有限次能作出几何图形，则称为作图可能，或者说欧几里得作图法是可能的，否则称为作图不可能
很多平面图形可以用直尺和圆规作出，例如上面列举的
正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等.而另一些就不能作出，例如正七边形、正九边形、正十一边形等，这些多边形只能用近似作图法•如何判断哪些作图可能，哪些作图不可能呢？
直到百余年前，用代数的方法彻底地解决了这个问题，即给出一个关于尺规作图可能性的准则：
作图可能的充分必要条件是，这个作图问题中必需求出的未知量能够由若
干已知量经过有限次有理运算及开平方运算而算出•几千年
来许多数学家耗费了不少的精力，企图解决所谓“几何三大问题”：
立方倍积问题，即作一个立方体，使它的体积二倍于一已知立方体的体积.
三等分角问题，即三等分一已知角.
化圆为方问题，即作一正方形，使它的面积等于一已知圆的面积.
后来已严格证明了这三个问题不能用尺规作图.
代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切.许多代数
式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、
求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法.下面结合例题逐一介绍.
1.利用因式分解方法求值
因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求
值中，经常被采用.
分析X的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出X后，再求值，将会很麻烦.我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件.
解已知条件可变形为3x2+3x-仁O，所以
6x4+15x3+1Ox2
=（6x4+6x3-2x2）+（9x3+9x2-3x）+（3x2+3x-1）+1
=（3x2+3x-1）（2z2+3x+1）+1
=0+1=1
说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程（或方程组），而要将所要
求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答.
例2已知a，b，C为实数，且满足下式:
a2+b2+c2=1，①
求a+b+c的值.
解将②式因式分解变形如下
即
所以
a+b+c=0或bc+ac+ab=0.
若bc+ac+ab=0，贝U
（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（bc+ac+ab）
=a2+b2+c2=1,
所以a+b+c=±1.所以a+b+c的值为0,1,-1.
说明本题也可以用如下方法对②式变形：
前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成
1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式.
2.利用乘法公式求值
例3已知x+y=m,x3+y3=n,m≠0，求x2+y2的值.解因为x+y=m,所以
m3=（x+y）3=x3+y3+3xy（x+y）=n+3m∙y,
所以
求x2+6xy+y2的值.
分析将X,y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知
中X,y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与Xy的值，由此得到以下解法.
解x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy
2
=（x+y）+4xy
3.设参数法与换元法求值
如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数（也叫辅助未知数），以便沟通数量关系，这叫作设参数法.有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法.
分析本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式.
X=（a-b）k,y=（b-c）k,Z=（c-a）k.所以
x+y+z=（a-b）k+（b-c）k+（c-a）k=0u+v+w=1,①
由②有
把①两边平方得
u2+v2+w2+2（uv+vw+wu）=1所以u2+v2+w2=1,即
两边平方有
所以
4.利用非负数的性质求值
若几个非负数的和为零，贝U每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用.
例8若x2-4x+∣3x-y∣=-4，求yx的值.
分析与解X,y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解.
因为x2-4x+∣3x-y∣=-4，所以
x2-4x+4+∣3x-y∣=0,
即（x-2）2+∣3x-y∣=0.
所以yx=62=36.
例9未知数X,y满足
（x2+y2）m2-2y（x+n）m+y2+n2=0,其中m,n表示非
零已知数，求X,y的值.
分析与解两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式.
将已知等式变形为
m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0,
（m2x2-2mxy+y2）+（m2y2-2mny+n2）=0，即
22
（mx-y）+（my-n）=0．
5．利用分式、根式的性质求值
分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．
例10已知xyzt=1，求下面代数式的值：
分析直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．
解根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．
同理
分析计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，
计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这
里所言的对称性是
分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．
同样（但请注意算术根！
）
将①，②代入原式有
练习六
2．已知x+y=a，x2+y2=b2，求x4+y4的值．
3．已知a-b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）的值．
5．设a+b+c=3m，
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