高二数学下114《点到直线的距离》教案沪教版.docx
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高二数学下114《点到直线的距离》教案沪教版
2019-2020年高二数学下11.4《点到直线的距离》教案沪教版
一．教学内容分析
“点到直线的距离”是“坐标平面上的直线”一章的最后一节内容.作为直线方程和向量方法的应用，教材中，点P（x0,y0）到直线l:
Ax+By+C=0的距离公式的推导经过了以下过程：
（1）作出距离PQ，
（2）利用向量的数量积，根据，利用Q点在直线l上，求出PQ，得到公式.
在推导过程中，有两个要点：
一是应用数量积的几何意义计算两点之间的距离；二是应用“若点在直线上，则点的坐标满足直线方程”进行整体代换.应用向量的方法，运算比较简捷，在此体现了向量方法的优势.
然而，解析几何的核心思想，是通过用方程表示曲线，通过研究方程的解的情况反映曲线的几何性质，所以面对“如何求点P（x0,y0）到直线l:
Ax+By+C=0的距离”这个问题，一个基本的解题思路是：
写出直线PQ的方程，求出直线PQ与直线l的交点Q的坐标，最后求出|PQ|的长度.其中，解方程组，求Q点坐标是关键，有行列式知识做铺垫，这个问题应该可以迎刃而解.
教材放弃这个方法，体现了教材编写者突出向量应用的思路.但向量法显得技巧性强，需要较高的数学思维能力.在选择向量的过程中，有些问题如“为什么选择向量？
用向量可以算出结果吗？
”等，在教学时往往一时难以清楚回答.另外，在有行列式知识背景的前提下，解方程已经变得机械而且简单，所以放弃方程，与学生的认知基础有一定的差距.但是，作为教材，也不可能就同一个问题罗列两种解法，这是一种两难的选择.
这也给教师的教学设计造成了困惑，是突出方程思想，还是突出向量思想？
如何处理？
如何选择？
才能既符合学生认知特点，又能体现新教材的特点.
二．教学目标设计
1．通过学习，学会推导点到直线的距离公式并掌握点到直线的距离公式.
2．通过对点到直线之间公式推导方法的分析、比较与体验，领悟公式推导过程中的数学思想和思维方法，培养分析问题和解决问题的能力.
3．通过对点到直线之间的距离、平行线之间距离的探究，培养理性思维能力.经历问题解决过程，体验合作精神.
三．教学重点及难点
1．教学重点：
点到直线距离公式及其推导过程.
2．教学难点：
在推导点到直线距离公式过程中，学习和领悟问题解决过程中的数学思想方法.
四．教学流程设计
五．
教学过程设计
1．引入
这是直线一章的最后一节，简要回顾本章知识，主要涉及三个问题：
1）如何用解析法表示直线？
主要介绍如何用方程表示直线，其中包括直线方程的几种形式，直线的倾斜角与斜率的关系等知识.
2）如何判断点P（x,y）与直线l:
ax+by+c=0的位置关系？
点P（x,y）与直线l:
ax+by+c=0的位置关系包括两类情况：
一是点在直线上，一是点不在直线上.主要通过点P（x0,y0）的坐标是否满足直线l的方程判断.点不在直线上这类位置关系中，若进一步提出如何刻画点与直线的相对位置，自然会想到如何求点到直线的距离这类问题.
3）如何判断直线与直线的位置关系？
两条直线的位置关系包括三种情况：
相交、平行与重合.在直线与直线相交关系中可以进一步研究两条直线的夹角问题，包括特殊情况：
垂直关系；在两条直线平行时会联想到如何求平行线间的距离，进而转化为求点到直线间的距离问题.
所以，进一步讨论点到直线的距离是理性思维的结果，是完善知识体系得需要.
引入中，从学生原有的知识基础出发，通过知识的逻辑结构说明为什么学习点到直线的距离，激发学生学习的兴趣，强调理性精神.
2．点到直线距离公式的推导
1）明确并提出问题
已知直线l：
ax+by+c=0，直线外一点P（x0,y0）.其中a、b、c、x0、y0为常数.如何表示点P到直线l的距离d?
在解决该问题前可以作如下铺垫：
可以先回顾“什么是点到直线的距离？
”从几何角度作出距离，并指出点到直线距离其实是点到直线上任意一点距离的最小值.再指出点P到直线的距离是一个确定的值，它可以用x0、y0、a、b、c表示.
2）推导点到直线的距离公式
通过对问题的分析，归结为“如何计算线段|PQ|的长度？
”.因为推导公式的方法有许多种，所以可以充分发挥学生的主观能动性，通过有效组织，引导学生积极思维，寻找问题的解决方法.
主要可能有以下几类方法.
（1）计算Q点坐标.
有下列两种方法：
（i）利用数量积，计算Q点坐标.具体思路：
设Q（x１,y１），由与直线的一个方向向量垂直及两个条件联立方程组，解得x１,y１即可.
（ii）联立方程组，计算两条直线交点Q的坐标.具体思路：
写出直线PQ的方程，联立PQ与l的方程，求解Q点坐标（x1,y1）.
（2）利用向量的数量积.
因为数量积可以求向量投影的长度，，所以，其中M是直线l上某一点.特别的，，可以归结为教材提供的方法.
（3）其他方法
学生还可能想到：
利用三角比，利用三角形面积，勾股定理等平面几何知识，利用函数思想求点P到直线上任意一点距离的最小值等.
虽然方法有许多种，但是因为解析几何的核心思想是利用方程研究曲线，所以联立方程组是基本方法；又因为向量在解析几何是一个重要的知识和方法，对学生将来进一步学习空间解析几何有帮助，所以可以选择联立方程组计算点Q坐标与利用数量积计算|PQ|长度这两种方法具体讲解.
以下为两种方法解题过程：
●联立方程组，利用行列式知识求解：
，
的方程可以写成：
，
所以解方程组：
，
得；
；
.
所以
所以
.
●利用向量的数量积直接求出|PQ|的长度：
由直线方程，知l的法向量为=（a,b），设M（x/，y/）是直线l上的一点，
得，
因为
，所以
.
又点M在直线l上，所以ax/+by/+c=0，即ax/+by/=-c.得.
对上述两种方法进行回顾总结，并给出结论：
点P（x0,y0）到直线l:
ax+by+c=0的距离.
在上述两种解题方法中，都需要强调一种整体代换的思想.
3．公式的应用
回到本节课开头的问题：
如何推导两条平行线之间的距离公式.
若直线l1:
ax+by+c1=0,l2:
ax+by+c2=0,其中a,b,c1,c2为常数且c1≠c2.如何求直线l1与l2之间的距离？
这个问题可由学生独立完成，教师引导并主要介绍两个方法：
:
（１）将平行线之间的距离转化为求点到直线间的距离，利用刚刚推导的点到直线距离公式.
在直线l上取点，则，又，所以，所以
（２）利用向量数量积，直接计算
设
，得，由
，
又
，所以.
4．小结与作业
1）小结
这节课主要研究三个问题：
（1）为什么要学习点到直线之间的距离？
（2）点到直线之间的距离如何推导；（3）如何求平行线之间的距离.
主要知识有点到直线之间距离公式及其推导方法与过程，平行线之间的距离公式及其推导方法与过程.强调了方程的方法与向量的思想.
2）作业：
练习11.4，1、2、3；习题11.4，1、3、4、5、6
六．教学设计说明
1．从知识的角度讲，本节课并没有新的概念，完全是利用已经掌握的知识解决问题，获得新的结论、新的知识.所以这节课一定意义上是问题解决式教学.
2．因为问题解决的方法比较多，每种方法都面面俱到，这是不可能的，也是不现实的.如何选择成了教学的关键，这里我们从解析几何的核心思想与向量方法的重要程度考虑，选择这两种方法作为重点讲解的方法，同时也是对所学行列式知识与向量知识的一个很好的应用.在两种方法的讲解过程中，要重点引导学生体会整体代换的思想.
3．在教学的组织形式上，考虑到方法的多样性和学生思维的积极性与创造性，可以考虑充分发挥学生的主观能动性，由学生讨论并寻找问题解决方法.在寻找方法过程中，可以要求学生只谈想法，不必算出结果，但要讲清方法的来龙去脉以及解题计划，是如何想到这个方法的？
用这个方法可以算到结果吗？
在应用所给方法过程中可能会遇到什么问题.具体解题过程，可以根据这些解题设想由学生课后完成.
4．平行线之间距离公式的推导是对点到直线距离公式学习效果的巩固，既应用了公式，又可以利用向量的数量积.但考虑到教学时间和学生接受程度，平行线之间的距离公式可以作为思考题，留作学生课后思考，为下一节课作准备.
5．
6．
7．
2019-2020年高二数学下册《12.4椭圆的性质》第1课时教案沪教版
质量抽查试卷讲评
【教学目标】
巩固本次质量抽查中涉及的曲线和方程概念，进一步熟练以简单的几何轨迹问题为练习对象，将求曲线方程的方法和步骤进一步扎实。
总结练习中所犯错误的原因，为一下阶段的圆锥曲线章节的学习打好基础。
【教学过程】
第8题：
直线
，则其倾斜角的取值范围是______________
解：
直线的斜率
，由直线的斜率与倾斜角的关系，
[说明]该题中，对直线的斜率与倾斜角的关系进行了考核，有一定数量的学生都得到了接近正确答案的结果，但总有些小细节没有注意到。
通过讲评，巩固练习，加深学生对这一问题的认识。
（3）设直线与圆交于点，若，求：
此时圆的标准方程
解：
（1），
（2）令，
所以
同理，，
（3）
垂直平分
，
所以→
当时，圆，
当时，圆（舍）
[说明]该题总分值10分，从第一小题求圆的标准方程，到第三小题求圆的圆心，考核了多个圆的性质问题，综合性强，需要学生对圆这一节的知识有系统的熟悉程度和应用能力。
*课堂巩固练习*：
1.直线
的倾斜角范围是__________________。
2．已知两圆和相交于两点，则直线的方程是___________________
3、当点A在曲线上运动时，联结点A与定点，求：
的中点M的轨迹方程。
4、已知动点M和两点，若，求：
动点M的轨迹方程
5、圆
与直线交于P、Q两点，，求常数的值
6、已知直线
，给出下列四个命题：
（1）直线的倾斜角为；
（2）无论如何变化，直线不过原点；
（3）无论如何变化，直线总和一个定圆相切；
（4）与它垂直的直线总可写成。
其中正确命题的序号是____________
12.4椭圆的性质
【教学目标】
掌握椭圆的对称性，顶点，范围等几何性质.能根据椭圆的几何性质对椭圆方程进行讨论，在此基础上会画椭圆的图形．学会判断直线与椭圆的位置，能够解决直线与椭圆相交时的弦长问题，中点问题等.在对椭圆几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化，学会分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；培养探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心.
【教学重点与难点】
重点：
椭圆的几何性质及初步运用
难点：
直线与椭圆相交时的弦长问题和中点问题
第一课时——椭圆的性质
（1）
【教学过程】
新知引入：
“曲线与方程”是解析几何中最重要最基本的内容，其中有两类基本问题：
一是由曲线求方程，二是由方程画曲线．前面由椭圆定义推导出椭圆的标准方程属于第一类问题，本节课将研究第二类问题，由椭圆方程画椭圆图形，为使列表描点更准确，避免盲目性，有必要先对椭圆的范围、对称性、顶点进行讨论.
[说明]曲线方程与曲线性质关系是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从曲线方程中的系数与曲线的顶点、焦点、长轴、短轴等性质进行分析，让学生在对椭圆几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化，学会分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；培养探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心.
概念形成
一.对称性
问题1：
观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性？
代后方程不变，说明椭圆关于轴对称；
代后方程不变，说明椭圆曲线关于轴对称；
、代，后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称；
问题2：
从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？
以把x换成－x为例，如图在曲线的方程中，把x换成－x方程不变，相当于点P（x，y）在曲线上，点P点关于y轴的对称点Q（－x，y）也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．其它同理.
相关概念：
在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
二.顶点
问题1：
观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标？
在椭圆的标准方程中，令，得，，得
顶点概念：
椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点.
顶点坐标；，.
相关概念：
线段分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
在椭圆的定义中，表示焦距，这样，椭圆方程中的就有了明显的几何意义.
问题2：
在椭圆标准方程的推导过程中令能使方程简单整齐，其几何意义是什么？
表示半焦距，表示短半轴长，因此，联结顶点和焦点，可以构造一个直角三角形，在直角三角形内，，即.
三.范围
问题1：
结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围？
即确定两个变量的允许值范围．
变形为：
这就得到了椭圆在标准方程下的范围：
同理，我们也可以得到的范围：
问题2：
思考是否还有其他方法？
方法一：
可以把看成，利用三角函数的有界性来考虑的范围；
方法二：
椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以，同理可以得到的范围
由椭圆方程中的范围得到椭圆位于直线和所围成的矩形里.
[说明]可根据学生情况，以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力.通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体验合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，学生逐渐体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质
例题讲解：
例1已知椭圆的方程为.
求它的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标;
写出与椭圆有相同焦点的至少两个不同的椭圆方程.
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