高中数学 向量 板块四 平面向量的应用完整讲义学生版.docx

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高中数学向量板块四平面向量的应用完整讲义学生版

2019-2020年高中数学向量板块四平面向量的应用完整讲义（学生版）

典例分析

题型一：

向量综合

【例1】设，，是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：

①②

③不与垂直④

中，

真命题是（）

A．①②B．②③C．③④D．②④

【例2】设向量满足：

，，．以的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为（）

A．B．C．D．

【例3】⑴已知，，，，求证：

．

⑵已知，．求，．

⑶已知，，若，求、的值．

【例4】关于平面向量．有下列三个命题：

①若，则．②若，，，则．

③非零向量和满足，则与的夹角为．

其中假命题的序号为　　　　．（写出所有真命题的序号）

【例5】如图，以原点和为顶点作等腰直角，使，求点和向量的坐标．

【例6】设，，为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为（）

A．B．C．D．

【例7】已知，，向量与共线.

（1）求关于的函数；

（2）是否在直线和直线上分别存在一点，使得满足为锐角时取值集合为或？

若存在，求出这样的的坐标；若不存在，说明理由.

【例8】已知向量满足，且，其中.

（1）试用表示，并求出的最大值及此时与的夹角的值；

（2）当取得最大值时，求实数，使的值最小，并对这一结果作出几何解释.

【例9】已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及＝＋t

求：

（1）t为何值时，P在x轴上？

P在y轴上？

P在第二象限？

（2）四边形OABP能否成为平行四边形？

若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.

【例10】已知A、B、C是直线上的不同的三点，O是外一点，向量满足

记.求函数的解析式；

【例11】已知

，

是两个向量集合，则（）

A．B．C．D．

题型二：

与三角函数综合

【例12】已知向量，，则向量与的夹角为（）

A．B．C．D．

【例13】已知为的三个内角的对边，向量，

．若，且

，则角．

【例14】已知向量，，且，那么与的夹角的大小是_______．

【例15】已知向量，，且.

⑴求及；

⑵求函数的最大值，并求使函数取得最大值时的值.

【例16】若，，且，其中．

（1）用表示；

（2）求当时，与所成角的大小．

【例17】已知向量和，，且，求的值．

【例18】设，，，，，与的夹角为，与的夹角为

（1）用表示；

（2）若，求的值．

【例19】已知为坐标原点，，（，，为常数），若，

（1）求关于的函数解析式；

（2）若时，的最大值为2，求的值，并指出函数的单调区间．

【例20】在锐角中，已知

，求角的度数．

【例21】设，向量

．

⑴证明：

向量与垂直；⑵当时，求角．

【例22】已知点，，，且．

⑴若，求与的夹角；

⑵若，求的值．

【例23】已知、、的坐标分别为，，．

⑴若且，求角的值；

⑵若，求的值．

【例24】已知向量

，若，且.

⑴试求出和的值；⑵求的值.

【例25】设向量

，记．

⑴求函数的最小正周期；

⑵画出函数在区间的简图，并指出该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

⑶若，函数的最小值为，试求出函数的最大值并指出取何值时，函数取得最大值．

【例26】已知向量，，且，

⑴求及；

⑵若的最小值是，求的值．

【例27】设平面上、两点的坐标分别是，，其中．

⑴求的表达式；

⑵记

，求函数的最小值．

【例28】为△的内角A、B、C的对边，，，且与的夹角为，求C；

【例29】在ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边；若向量与的夹角为，求角B的大小

【例30】已知A、B、C三点的坐标分别为、、

（1）若，求角的值；

（2）若，求的值。

【例31】已知：

A、B、C是的内角，分别是其对边长，向量，，.求角A的大小；

【例32】在中，已知角为锐角，向量

，

，．

⑴向量时，求；

⑵求的最大值．

⑶若

，求的三个内角和边的长．

【例33】如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，直线的倾斜角为，，设，．

⑴用表示点的坐标及；

⑵若，求的值．

题型三：

平面向量在平面几何

【例34】在直角坐标系中，已知点A（0，1）和点B（—3，4），若点C在∠AOB的一平分线上，且，则____________.

【例35】在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则=（）

A．B．

C．D．

【例36】若是内一点，，则是的（　　）

Ａ．内心B．外心C．垂心D．重心

【例37】若点是的外心，且，则内角的大小为____

【例38】在ΔABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则的最小值为.

【例39】已知点是的重心，，用表示．

【例40】在△ABC中，已知向量与满足且，则△ABC为（）

A．三边均不相等的三角形B．直角三角形

C．等腰非等边三角形D．等边三角形

【例41】已知，，，点C在内，且，设，则等于（）

A．　B．3C．D．

【例42】是平面内一定点，,,是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（）

A．外心　　　　B．内心C．重心D．垂心

【例43】已知：

如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线求证AC⊥BD

【例44】证明：

三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍.

【例45】四边形中，

（1）若，试求与满足的关系式；

（2）满足

（1）的同时又有，求的值及四边形的面积。

【例46】求证：

已知点是的重心，过作直线与、两边分别交于、两点，且设，，则．

【例47】非正的外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为，，求实数的值．

【例48】如图，设为的重心，过的直线与分别交于和，已，，与的面积分别为和．求证：

⑴；⑵．

题型四:

平面向量的实际应用（含物理中的应用）

【例49】如果一架向东飞行200km，再向南飞行300km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则（）

A．s>|a|B．s<|a|C．s=|a|D．s与|a|不能比大小

【例50】一个30º的斜面上放有一个质量为1kg的球，若要保持球在斜面上静止不动，应沿斜面方向给球多大_________力;若表示球的重力的向量为p，球对斜面的压力为ω，则球的重力沿斜面方向的分力f=___________保持球在斜面上静止不动的推力f′=

【例51】点P在平面上作匀速直线运动，速度向量=（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为||个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为（）

A．（－2，4）B（10，－5）C（－30，25）D（5，－10）

【例52】设炮弹被以初速v0和仰角抛出（空气阻力忽略不计）.当初速度v0的大小一定时，发射角多大时，炮弹飞行的距离最远.

【例53】某人骑车速度，方向往东，此时感到风从正北方吹来，若将速度加快一倍，则感到风从东北方向吹来，求风速与风向.

【例54】在静水中划船的速度是每分钟40，水流的速度是每分钟20，如果船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处？

【例55】已知三个力

的合力，求。

【例56】已知两个力的夹角是直角，且已知它们的合力与的夹角为，，求的大小。

【例57】一条河的两岸平行，河宽，一小船从处出发航行到对岸，小船速度为，水流速度为。

（1）当之间的夹角为多少时，小船才能到达正对岸处，此时位移的大小，方向怎样？

时间是多少？

（2）当之间的夹角为多少时，小船航行的时间最短？

此时位移的大小方向怎样？

时间是多少？

【例58】如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西的方向处，此时两船相距海里．当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里?

题型五：

与解析几何结合

【例59】如图，抛物线上有两点、，且，又，

⑴求证：

；

⑵若，求所在直线方程．

【例60】已知向量，，若与的夹角为，则直线与圆

的位置关系是（）

A．相交但不过圆心．相交且过圆心C．相切D．相离

【例61】已知，若动点满足，求动点P的轨迹方程.

【例62】已知两点，且点使成公差小于的等差数列.

（1）点的轨迹是什么曲线？

（2）若点的坐标为，记为与的夹角，求.

【例63】如图，给出定点和直线，是直线上的动点，的平分线交于点，求点的轨迹方程.

【例64】如图，设点为抛物线上非原点的两个动点，已知，，求点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？

【例65】已知射线OA、OB的方程分别为，，动点M、N分别在OA、OB上滑动，且。

（1）若，求P点的轨迹C的方程；

（2）已知，，请问在曲线C上是否存在动点P满足条件，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由。

【例66】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，若点C满足

，点C的轨迹与抛物线交于A、B两点；

（1）求点C的轨迹方程；

（2）求证：

；

（3）在x轴正半轴上是否存在一定点，使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

【例67】已知定点，动点在轴上运动，过点作交轴于点，并延长到点，且．

（Ⅰ）求点的轨迹；

（Ⅱ）直线与的轨迹交于两点，若，且，求直线的斜率的取值范围．

【例68】

（Ⅰ）求M（）的轨迹C；

（Ⅱ）过点（0，3）作直线与曲线交于A,B两点，，是否存在直线使OAPB为矩形．

【例69】已知=（x,0），=（1，y），（+）（–）．

（I）求点（x，y）的轨迹C的方程；

（II）若直线l：

y=kx+m（m0）与曲线C交于A、B两点，D（0，–1），且有|AD|=|BD|，试求m的取值范围．

题型六：

在代数中的应用

【例70】已知

，且x，y，z，a，b，c为非零实数，求证。

【例71】已知，求证。

【例72】已知a，b，c，且，求证。

【例73】求函数的最大值。

【例74】求函数的最大值。

【例75】求函数的最小值。

【例76】设（i＝1，2，……，xx）为正实数，且

，试求

的最小值。

【例77】已知，求

的最小值。

【例78】设a、b、c、d均为正数，求证

【例79】若，求证：

【例80】求证：

若和都是正数，则

【例81】求函数的最大值。

【例82】求函数的值域。

【例83】已知x>0,y>0，且x+y=1，求的最大值

【例84】已知x>0,y>0，且x+y=1，求证：

。

【例85】求证：

【例86】设任意实数x，y满足，，求证：

【例87】设a，b为不等的正数，求证

【例88】