尺规作图方法大全含练习试题.docx

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尺规作图方法大全含练习试题

尺规作图

【知识回顾】

1、尺规作图的定义：

尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。

一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

2、五种基本作图：

1、作一条线段等于已知线段；

2、作一个角等于已知角；

3、作已知线段的垂直平分线；

4、作已知角的角平分线；

5、过一点作已知直线的垂线；

（1）题目一：

作一条线段等于已知线段。

已知：

如图，线段a.

求作：

线段AB，使AB=a.

作法：

（1）作射线AP；

（2）在射线AP上截取AB=a.

则线段AB就是所求作的图形。

（2）题目二：

作已知线段的中点。

已知：

如图，线段MN.

求作：

点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.

作法：

（１）分别以M、N为圆心，大于　　　

　的相同线段为半径画弧，

两弧相交于P，Q；

（２）连接PQ交MN于O．

则点O就是所求作的ＭＮ的中点。

（3）题目三：

作已知角的角平分线。

已知：

如图，∠AOB，

求作：

射线OP,使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。

作法：

（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，

分别交OA，OB于M，N；

（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于的线段长　

　为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；

（3）作射线OP。

则射线OP就是∠AOB的角平分线。

（4）题目四：

作一个角等于已知角。

已知：

如图，∠AOB。

求作：

∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB

作法：

（1）作射线O’A’；

（2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N；

（3）以O’为圆心，以OM的长为半径画弧，交O’A’于M’；

（4）以M’为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N’；

（5）连接O’N’并延长到B’。

则∠A’O’B’就是所求作的角。

（5）题目五：

经过直线上一点做已知直线的垂线。

已知：

如图，P是直线AB上一点。

求作：

直线CD，是CD经过点P，且CD⊥AB。

作法：

（1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N；

（2）分别以M、N为圆心，大于

的长为半径画弧，两弧交于点Q；

（3）过D、Q作直线CD。

则直线CD是求作的直线。

（6）题目六：

经过直线外一点作已知直线的垂线

已知：

如图，直线AB及外一点P。

求作：

直线CD，使CD经过点P，

且CD⊥AB。

作法：

（1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N；

（2）分别以M、N圆心，大于

长度的一半为半径画弧，两弧交于点Q；

（3）过P、Q作直线CD。

则直线CD就是所求作的直线。

（5）题目七：

已知三边作三角形。

已知：

如图，线段a，b，c.

求作：

△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a.

作法：

（1）作线段AB=c；

（2）以A为圆心，以b为半径作弧，

以B为圆心，以a为半径作弧与

前弧相交于C；

（3）连接AC，BC。

则△ABC就是所求作的三角形。

题目八：

已知两边及夹角作三角形。

已知：

如图，线段m，n,∠

.

求作：

△ABC，使∠A=∠

，AB=m，AC=n.

作法：

（1）作∠A=∠

；

（2）在AB上截取AB=m,AC=n；

（3）连接BC。

则△ABC就是所求作的三角形。

题目九：

已知两角及夹边作三角形。

已知：

如图，∠

，∠

，线段m.

求作：

△ABC，使∠A=∠

，∠B=∠

AB=m.

作法：

（1）作线段AB=m；

（2）在AB的同旁

作∠A=∠

，作∠B=∠

，

∠A与∠B的另一边相交于C。

则△ABC就是所求作的图形（三角形）。

2、三条公路两两相交，交点分别为A，B，C，现计划建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，问满足要求的加油站地址有几种情况？

用尺规作图作出所有可能的加油站地址。

3、过点C作一条线平行于AB。

4、如图，平行四边形纸条ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点。

张老师请同学们将纸条的下半部分平行四边形ABEF沿EF翻折，得到一个V字形图案。

请你在原图中画出翻折后的图形平行四边形A1B1FE；（用尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）。

5、如图，已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形，∠AOB画在方格纸上，请用利用格点和直尺（无刻度）作出∠AOB的平分线。

6、小芸在班级办黑板报时遇到一个难题,在版面设计过程中需将一个半圆面三等分,请你帮助他设计一个合理的等分方案，图中AB为直径，O为圆心（要求用尺规作图,保留作图痕迹）。

7、已知线段AB和CD，如下图，求作一线段，使它的长度等于AB＋2CD.

8、如图，已知∠A、∠B，求作一个角，使它等于∠A-∠B.

9、如图，画一个等腰△ABC，使得底边BC=

，它的高AD=

10、如图，有A，B，C三个村庄，现要修建一所希望小学，使三个村庄到学校的距离相等，学校的地址应选在什么地方？

请你在图中画出学校的位置并说明理由（保留作图痕迹）．

11、如图，A、B两村在一条小河的的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．

（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？

（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？

请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．

.B

A.

12、如图，A为∠MON内一点，试在OM、ON边上分别作出一点B、C，使△ABC的周长最小．

13、如图，已知两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求点M、N，使PM＋MN＋NQ最短．

18．如图所示，EFGH是一矩形的台球台面，有黑白两球分别位于A、B两点位置上，试问：

怎样撞击黑球A，使黑球先碰撞台边EF反弹后再击中白球B？

2019年各区二模尺规作图分类

类型1：

作已知直线的垂线平行线

（2019朝阳二模）19．下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．

已知：

直线l及直线l上一点P．

求作：

直线PQ，使得PQ⊥l．

作法：

如图，

在直线l上取一点A（不与点P重合），分别以点P，A为圆心，AP长为半径画弧，两弧在直线l的上方相交于点B；

作射线AB，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交AB的延长线于点Q；

作直线PQ．

所以直线PQ就是所求作的直线．

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明：

连接BP，

∵_____=_____=_____=AP，

∴点A，P，Q在以点B为圆心，AP长为半径的圆上．

∴∠APQ=90°（_____）．（填写推理的依据）

即PQ⊥l．

答案：

19．

（1）图略．

（2）BP，BA，BQ，直径所对的圆周角是直角．

（2019平谷二模）19．下面是小元设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．

已知：

如图1，直线l和l外一点P．

求作：

直线l的垂线，使它经过点P．

作法：

如图2，

（1）在直线l上任取一点A；

（2）连接AP，以点P为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B（点A，B不重合）；

（3）连接BP，作∠APB的角平分线，交AB于点H；

（4）作直线PH，交直线l于点H．

所以直线PH就是所求作的垂线．

根据小元设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：

∵PH平分∠APB，

∴∠APH=．

∵PA=，

∴PH⊥直线l于H．（）（填推理的依据）

答案：

19．

（1）如图；2

（2）证明：

∵PH平分∠APB，

∴∠APH=∠BPH．3

∵PA=PB，4

∴PH⊥直线l于H．（等腰三角形三线合一）5

（2019顺义二模）19.下面是小明设计的“作三角形的高线”的尺规作图过程.

已知：

△ABC．

求作：

BC边上的高线．

作法：

如图，

①分别以A，B为圆心，大于

长为半径画弧，两弧交于点D，E；

②作直线DE，与AB交于点F，以点F为圆心，FA长为半径画圆，交CB的延长线于点G；

③连接AG．

所以线段AG就是所求作的BC边上的高线．

根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面证明.

证明：

连接DA，DB，EA，EB，

∵DA=DB，

∴点D在线段AB的垂直平分线上（）（填推理的依据）．

∵=，

∴点E在线段AB的垂直平分线上．

∴DE是线段AB的垂直平分线．

∴FA=FB．

∴AB是⊙F的直径．

∴∠AGB=90°（）（填推理的依据）．

∴AG⊥BC

即AG就是BC边上的高线．

答案：

19.解：

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

EA=EB

直径所对的圆周角是直角

（2019昌平二模）19．在数学课上，老师提出如下问题：

如何使用尺规完成“过直线l外一点P作已知直线l的平行线”．

小明的作法如下：

在直线l上取一点A，以点A为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B；

分别以P，B为圆心，以AP长为半径作弧，两弧相交于点Q（与点A不重合）；

作直线PQ．

所以直线PQ就是所求作的直线．

根据小明的作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：

∵AB=AP=_________=__________.

∴四边形ABQP是菱形（______________________________）（填推理的依据）.

∴PQ∥l.

答案：

（2）BQ，PQ四条边相等的四边形是菱形

类型2：

作特殊的四边形

（2019东城二模）17.下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程.

已知：

四边形ABCD是平行四边形.

求作：

菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）.

作法：

①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；

②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；

③连接EF.

所以四边形ABEF为所求作的菱形.

　　根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

　　证明：

∵AF=AB，BE=AB，

∴________=________.

在□ABCD中，AD∥BC.

即AF∥BE.

∴四边形ABEF为平行四边形.

∵AF=AB，

∴四边形ABEF为菱形（_________________________）（填推理的依据）.

答案：

17.AF,BE；一组邻边相等的平行四边形是菱形

类型3：

作特殊的三角形

（2019丰台二模）17．下面是小明设计的“作一个含30°角的直角三角形”的尺规作图过程．

已知：

直线l．

求作：

△ABC，使得∠ACB=90°，∠ABC=30°．

作法：

如图，

①在直线l上任取两点O，A；

②以点O为圆心，OA长为半径画弧，交直线l于点B；

③以点A为圆心，AO长为半径画弧，交

于点C；

④连接AC，BC．

所以△ABC就是所求作的三角形．

根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：

在⊙O中，AB为直径，

∴∠ACB=90°（①）．（填推理的依据）

连接OC，

∵OA=OC=AC，

∴∠CAB=60°．

∴∠ABC=30°（②）．（填推理的依据）

答案：

17.

（1）略；

（2）①直径所对的圆周角是直角；

②直角三角形两个锐角互余.

（2019门头沟二模）20．下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的高作等腰三角形”的尺规作图的过程．

已知：

如图1，线段a和线段b．

求作：

△ABC，使得AB=AC，BC=a，BC边上的高为b．

作法：

如图2，

①作射线BM，并在射线BM上截取BC=a；

②作线段BC的垂直平分线PQ，PQ交BC于D；

③以D为圆心，b为半径作圆，交PQ于A；

④连接AB和AC．

则△ABC就是所求作的图形．

根据上述作图过程，回答问题：

（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；

（2）完成下面的证明：

证明：

由作图可知BC=a，AD=b．

∵PQ为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上，

∴AB=AC（　）（填依据）．

又∵AD在线段BC的垂直平分线PQ上，

∴AD⊥BC．

∴AD为BC边上的高，且AD=b．

答案：

（1）尺规作图正确；

（2）填空正确．

（2019怀柔二模）16.下面是一位同学的一道尺规作图题的过程.

已知：

线段a，b，c.

求作：

线段

，使得a：

b=c：

x.x.。

他的作法如下：

①以点O为端点画射线OM，ON；

②在OM上依次截取OA=a，AB=b；

③在ON上截取OC=c；

④联结AC，过点B作BD∥AC，交ON于点D．

所以：

线段CD就是所求的线段x．

这位同学作图的依据是.

答案：

16.平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例.

类型4：

作已知角的角的等角倍角半角

（2019石景山二模）17．下面是小华设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程．

已知：

∠AOB．

求作：

∠APC，使得∠APC=2∠AOB．

作法：

如图，

在射线OB上任取一点C；

②作线段OC的垂直平分线，

交OA于点P，交OB于点D；

连接PC；

所以∠APC即为所求作的角．

根据小华设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明（说明：

括号里填写推理的依据）．

证明：

∵DP是线段OC的垂直平分线，

∴OP=（）．

∴∠O=∠PCO．

∵∠APC=∠O+∠PCO（）．

∴∠APC=2∠AOB．

答案：

17．解：

（1）补全的图形如图所示：

（2）PC；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

其他：

（2019西城二模）19．下面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的

尺规作图过程．

已知：

平行四边形ABCD．

求作：

点M，使点M为边AD的中点．

作法：

如图，

①作射线BA；

②以点A为圆心，CD长为半径画弧，

交BA的延长线于点E；

③连接EC交AD于点M．

所以点M就是所求作的点．

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：

连接AC，ED．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AE∥CD．

∵AE=__________，

∴四边形EACD是平行四边形（__________）（填推理的依据）．

∴AM=MD（__________）（填推理的依据）．

∴点M为所求作的边AD的中点．

答案：

19．解：

（1）补全的图形如图所示；………………2分

（2）CD，

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，

平行四边形的对角线互相平分．……5分

（2019海淀二模）19．下面是小宇设计的“作已知直角三角形的中位线”的尺规作图过程．

已知：

在△ABC中，∠C=90°．

求作：

△ABC的中位线DE，使点D在AB上，点E在AC上．

作法：

如图，

①分别以A，C为圆心，大于

长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；

②作直线PQ，与AB交于点D，与AC交于点E．

所以线段DE就是所求作的中位线．

根据小宇设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明：

连接PA，PC，QA，QC，DC，

∵PA=PC，QA=_________，

∴PQ是AC的垂直平分线（________）（填推理的依据）．

∴E为AC中点，AD=DC．

∴∠DAC=∠DCA，

又在Rt△ABC中，有∠BAC+∠ABC=90°，∠DCA+∠DCB=90°．

∴∠ABC=∠DCB（________）（填推理的依据）．

∴DB=DC．

∴AD=BD=DC．

∴D为AB中点．

∴DE是△ABC的中位线．

答案

：

（1）补全的图形如图所示：

（作等弧交于两点P,Q点1分，直线PQ1分）

（2）QC

到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上

等角的余角相等

（2019房山二模）17.阅读下面材料：

小明遇到一个问题：

如图，∠MON，点A在射线OM上，点B在∠MON内部，用直尺和圆规作点

，使点

同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹,不必写出作法）：

a.点P到

，

两点的距离相等；

b.点P到∠MON的两边的距离相等.

小明的作法是：

1连接AB，作线段AB的垂直平分线交AB于E，交ON于F；

2作∠MON的平分线交EF于点P.

所以点P即为所求.

根据小明的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；

（2）证明：

∵EF垂直平分线段AB，点P在直线EF上,

∴PA=.

∵OP平分∠MON,

∴点P到∠MON的两边的距离相等（）（填推理的依据）.

所以点P即为所求.

答案：

（1）

（2）PB角平分线上的点到角两边的距离相等

尺规作图全搞定

尺规作图是全国中考的高频考点，看似简单，但考法新颖多变，不仅要掌握基本的尺规作图的方法，还要灵活运用几何图形的性质.

“七嘴八舌说”考情

陕西：

我们的考查题型均为解答题，题目不会明确说明作图方式，需要将题目信息转化一次，得出要作的基本图形．考查形式主要有：

①过一点作一条直线平分三角形面积；②找一点到两直线距离相等；③过一点作一条直线分三角形为两个相似三角形；④在正方形中作已知三角形的相似三角形.考查内容有：

①过一点作已知直线的垂线；②作一个角等于已知角；③作线段的垂直平分线；④作角平分线.

河北：

尺规作图为近8年的必考点,考查方式有:

①根据尺规作图及要求,判断作图顺序;②根据尺规作图,判断所给结论正确的是;③根据尺规作图痕迹补全已知和求证;④求符合要求的作图痕迹;⑤根据尺规作图判断两个人的作法正确的是;

⑥判断作图痕迹表示的作法;⑦按题目要求作图形,题型以选择题为主.考查内容有:

①作角的平分线;②作线段的垂直平分线;③作平行四边形、矩形、正方形;

④作平行线.

山西：

我们8年4考，18年在填空题中考查，给出作图步骤求线段长，15年之前在解答题中考查，第

（1）问主要间接考查五种基本尺规作图，第

（2）问主要考查其相关证明与计算.

安徽：

我们在18年第1次考查，且与圆的相关证明及计算结合考查角平分线的作法.

河南：

我们在选择题和填空题中考查，题目会给出作图的过程，通过判断做的是什么，再根据其性质进行相关计算.涉及的作图内容有：

①作已知角的平分线；②作线段的垂直平分线.

云南：

我们曲靖还会根据尺规作图的过程判断相关结论的正确性；昆明18年与反比例函数结合考查求k值.

说来说去还得练

类型一作一条线段等于已知线段

1.作射线OP；

2.在OP上截取OA=a，OA即为所求线段

1.

已知线段a，b和m，求作三角形ABC，使BC=2a，AB=b，BC边上的中线

AD=m．（尺规作图，保留痕迹）

第1题图解：

如解图所示，△ABC即为所求；

第1题解图

【作法提示】首先画射线BM，再在BM上依次截取BD=DC=a，然后以B为顶点，b长为半径画弧，再以D为顶点，m长为半径画弧，两弧交点就是A点位置，再连接AB、AC即可.

类型二作一个角等于已知角

图示

作法步骤

性质

1.在∠α上以O为圆心，任意长为半

径作弧，分别交∠α的两边于点P、Q；

2.作射线O¢A；

3.以O′为圆心，OP长为半α径作弧，

交O'A于点M；

OP=OQ=O¢M

=O¢N

4.以点M为圆心，PQ长为半径作弧，

交步骤3所作的弧于点N；

5.过点N作射线O′B，∠AO'B即为所

求角

2.“经过已知角一边上的一点，作一个角等于已知角”的尺规作图过程如下：

此作图的依据中不含有（）

A.三边分别相等的两个三角形全等

B.全等三角形的对应角相等

C.两直线平行同位角相等

D.两点确定一条直线

C【解析】由作图可知，本题通过作CF=OD,CG=OE,FG=DE得到△CFG≌△ODE

（SSS），从而得到∠GCF=∠AOB,而确定射线CG是运用两点确定一条直线为依据，故不含有的依据是C.

类型三作一个角的平分线

图示

作法步骤

性质

1.以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于点N、M;

2.分别以点M、N为圆心，以大于1MN

2

长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；

3.作射线OP，OP即为所求角平分线

连接MP、NP、MN

1.OM=ON

2.∠MOP=

∠NOP

3.△MON为等腰三角形

4.点M、N关于直线OP对称5.△MOP≌△NOP

3.

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABC的平分线BD交AC于点D.

（1）作∠BAC的平分线AF分别交BD、BC于点E、G，交⊙O于点F；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）

在

（1）的条件下，若EG=FG=1，求AE的长.

第3题图

解：

（1）如解图所示，射线AF即为所求；

【作法提示】以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交边AB、AC于两点；分别以这两点为圆心,适当长度为半径画弧，两弧交于点M；连接AM并延长交⊙O于点F，射线AF即为所求.

第3题解图

（2）∵∠BEF是△ABE的外角，AG、BD分别是∠BAC、∠ABC的平分线，

∴∠BEF=∠BAF+∠ABE=∠CAF+∠CBD=∠CBF+∠CBD=∠EBF

∴BF=EF=EG+FG=2，

又∵∠FBG=∠FAB，∠BFG=∠AFB，

∴△BGF∽△ABF.

∴BF=GF,即

2=1,解得AF=4.

AFBFAF2

∴AE=AF-EF=2.

类型四作一条线段的垂直平分线

图示

作法步骤

性质

1.分别以点A、B为圆心，以大于

1AB长为半径，在AB两侧作弧，

2

分别交于