双曲线知识点总结例题.docx
《双曲线知识点总结例题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《双曲线知识点总结例题.docx（33页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
双曲线知识点总结例题
（二）双曲线知识点及巩固复习
1.双曲线的定义
如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点
间的距离），那么动点的轨迹是双曲线
若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的
距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支
Fi，F2为两定点，P为一动点，⑴若||PF|-|PF2||=2a
10<2a<|FiF2|则动点P的轨迹是
22a=|FiF2|则动点P的轨迹是
32a=0则动点P的轨迹是
（2）若|PF|-|PF2|=2a
10<2a<|FiF2|则动点P的轨迹是
22a=|FiF2|则动点P的轨迹是
3
2a=0则动点P的轨迹是
3.双曲线的性质
（1）焦点在x轴上的双曲线
标准方程
x,y的范围
顶点焦点对称轴对称中心
实半轴的长虚半轴的长焦距
渐近线焦半径公式|PFi|=
F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的
离心率e=范围e越大双曲线的开口越—乞越小双曲线
IPF2|=（F
一点）
（1）焦点在y轴上的双曲线
标准方程
x,y的范围
顶点焦点对称轴对称中心
实半轴的长虚半轴的长焦距
离心率e=范围e越大双曲线的开口越—二越小双曲线
的开口越
准线渐近线焦半径公式|PFi|=
IPF2F（F1,F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭
圆上的一点）
1.等轴双曲线特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直
卩1’③离心率为
2.共轭双曲线：
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线
特点①有共同的渐近线②四焦点共圆
—J
双曲线的共轭双曲线是
6.双曲线系
（2）共渐近线的双曲线的方程为
例题
在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支
考点1、双曲线定义
例1、已知动圆M与圆C1:
（x+4）2+y2=2外切，与圆C2:
（x—4）2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程
A.m~a
B.
D.
F2，P是两条曲线的一个交点，贝U|PF1|•|PF2|的值是
Z_=i
【例3】已知双曲线与点M（5,3）
F为右焦点，若双曲线上有一点
则
P点的坐标为
x2
①与双曲线a2-
Wb2
有共同渐近线的双曲线方程可表示为a2—b2=t（t丰0）;
2若双曲线的渐近线方程是y=±3X,则双曲线的方程可表示为a2—b2=t（tM0）;
x2y2x2y2oo
3与双曲线a2—b2=1共焦点的方程可表示为a2—k—b2+k=1（—b2VkVa2）;
x2y2
4过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为m+n=1（mnv0）;
一x2y2x2y2
5与椭圆a2+b2=1（a>b>0）有共同焦点的双曲线方程可表示为a2-入+b2-入
=1（b2VVa2）.
例4、求下列条件下的双曲线的标准方程.
x2y2
⑴与双曲线9—16=1有共同的渐近线，且过点（一3,2）;
⑵与双曲线16—y2=1有公共焦点，且过点（3,2）.
1•在双曲线的标准方程中，若x2的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果2的系数是正的,那么焦点在y轴上，且对于双曲线，a不一定大于b.
2•若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：
mx2+ny2=1（mnv0），
以避免分类讨论.
考点3、双曲线的几何性质
双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲
线的形状、大小的几个主要特征量，如a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，充分利
用双曲线的渐近线方程，简化解题过程
x2y2
例5、（12分）双曲线C:
a2—b2=1（a>0,b>0）的右顶点为A,x轴上有一点Q（2a,0）,
APPQ
若C上存在一点P,使T0,求此双曲线离心率的取值范围.
A.e>4
B.1<川
C.1■
D宀—1尺F
【例8】设户为双曲线丄」上的一点，」-是该双曲线的
两个焦点，若If、I7，则’尸也的面积为（）A."
上，则双曲线的离心率e的范围是
【评注】解题中发现△PFF2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？
可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.
将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处.
渐近线一一双曲线与直线相约天涯
对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有.双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.
【例9】过点（1,3）且渐近线为
+一X
的双曲线方程是
双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中
Jt?
_J?
_J：
.J/
—2——=1——-j-=0n一♦一—0
【评注】在双曲线中，令^即为其渐近线.根据这一点，可
<4-
以简洁地设待求双曲线为口h，而无须考虑其实、虚轴的位置
共轭双曲线一一虚、实易位的孪生弟兄
齐名“Ph
将双曲线口白的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：
.这两个双曲线就是互相
共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同;样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用
它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一
【例10】两共轭双曲线的离心率分别为
设而不求一一与借舟弃舟同理
.请看下例:
减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求
［例11】双曲线‘屮.1
的一弦中点为（
2，1），则此弦所在的直线方程为
“设而不求”具体含义是：
在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.
也会出漏子.请看:
但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，
/丄=1
1）平分的弦？
如果存在，求弦所在的直
【例12】在双曲线-上，是否存在被点M（1,
线方程；如不存在，请说明理由.
女口果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法:
练习
1.（2011安徽高考）双曲线2X2—y2=8的实轴长是（
B.2
x2y2
2.（2011山东高考）已知双曲线a2—b2=1（a>0，b>0）的两条渐近线均和圆C:
x2+y2
4.（金榜预测）在平面直角坐标系
xOy中，已知△ABC的顶点A（—5,0）和C（5,0），顶点B
x2y2sinB
3
A.2
2
B.3
5
C.4
4
D.5
在双曲线
16—9=1上，贝U|sinA—sinC|为（）
x2y2
5.P为双曲线9—16=1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2=4和（x—5）2+y2
=1上的点，贝U|PM|—|PN|的最大值为（）
A.6B.7C.8D.9
6.（2012南宁模拟）已知点Fi,F2分别是双曲线的两个焦点，P为该曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（）
A.+1B.+1C.2D.2
x2y2
7.方程2—mi+|m|—3=1表示双曲线•那么m的取值范围是.
&（2012大连测试）在双曲线4x2—y2=1的两条渐近线上分别取点A和B,使得|OA|OB|
=15，其中O为双曲线的中心，贝UAB中点的轨迹方程是.
x2y2b2+1
9.双曲线a2—b2=1（a>0,b>0）的离心率是2，贝V3a的最小值是.
10（2012肇庆模拟）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（—3,0）,—条渐近线的
方程是x—2y=0.
（1）求双曲线C的方程；
⑵若以k（kz0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N，且线段MN的
81
垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求k的取值范围.
11.（文用）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2,0），右顶点为（,0）.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线：
y=kx+m（k丰0,0）与双曲线C交于不同的两点M、N,且线段MN的垂
直平分线过点A（0,—1），求实数m的取值范围.
721
12已知中心在原点，顶点Al、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P（6,6）
（1）求双曲线方程，
动直线I经过△A1PA2的重心G,与双曲线交于不同的两点M、N,问是否存在直线I,使G平分线段MN，
证明你的结论.
宀X"
13•已知双曲线'，问过点A（1,1）能否作直线'，使"与双曲线交于P、Q两点，并且A为
14已知点N（1，2）,过点N的直线交双曲线
于A、B两点，且
CD-
（1）
求直线AB的方程；
（2）若过N的直线I交双曲线于C、D两点，且D四点是否共圆？
为什么？
，那么A、B、C、
2
线段PQ的中点？
若存在，求出直线'的方程，若不存在，说明理由。
（二）双曲线知识点及巩固复习
1.双曲线的定义
如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点
间的距离），那么动点的轨迹是双曲线
若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的
距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支
Fi，F2为两定点，P为一动点，⑴若||PF|-|PF2||=2a
10<2a<|FiF2|则动点P的轨迹是
22a=|FiF2|则动点P的轨迹是
32a=0则动点P的轨迹是
（2）若|PF|-|PF2|=2a
10<2a<|FiF2|则动点P的轨迹是
22a=|FiF2|则动点P的轨迹是
3
2.双曲线的标准方程
2a=0则动点P的轨迹是
3.双曲线的性质
（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程
焦半径公式|PFi|=
|PF2|=（F
一点）
1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的
x,y的范围
顶点
实半轴的长
离心率e=
渐近线
焦点对称轴对称中心
虚半轴的长焦距范围e越大双曲线的开口越越小双曲线
（2）焦点在y轴上的双曲线
标准方程
x,y的范围
顶点焦点对称轴对称中心
实半轴的长虚半轴的长焦距
离心率e=范围e越大双曲线的开口越_乞越小双曲线
的开口越—
准线渐近线焦半径公式|PFi|=
IPF2F（F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭
圆上的一点）
3.等轴双曲线:
T-特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直
4.共轭双曲线：
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线
特点①有共同的渐近线②四焦点共圆
双曲线的共轭双曲线是
=iQt^a）
y3
（4）
共渐近线的双曲线的方程为
6.双曲线系
考点1。
双曲线的定义及应用
在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支考点1、双曲线定义例1、已知动圆M与圆C1:
（x+4）2+y2=2外切，与圆C2:
（x—4）2+皆2内切，求动圆圆心M的轨迹方程
【自主解答】设动圆M的半径为r，则由已知
|MC1|=r+,|MC2匸r—，
【解析】椭圆的长半轴为5丹II叫-上严
（】）
F2，P是两条曲线的一个交点，贝U|PFi|•|PF2|的值是
双曲线的实半轴为|叫叫-―皿
（矿-卩）。
冏卜跖|=冏卜网|"P，故选A.
【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键
倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义
【分析】待求式中的是什么？
是双曲线离心率的
有一点P,使最小，则P点的坐标为
£1_Zl=i
【例2】已知双曲线°上丁与点M（5,3）,F为右焦点，若双曲线上
【解析】双曲线的右焦点F（6,0）,离心率
P，
.此时
f：
工=—
右准线为2.作站"于n，交双曲线右支于
|jy|=e|/W|=2|FW|=>|7W|=-^
连FP，则
叩=叫'+旳=旳\=5i=i为最小.
xTyJ=i
在’中，令尸*，得F12y.s〉「「取丄2•」.所求p点
考点2、求双曲线的方程求双曲线标准方程的方法
1
a、b、c即可求得方程.
•定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应
2•待定系数法
（2）待定系数法求双曲线方程的常用方法
一x2y2x2y2
①与双曲线a2-b2=1有共同渐近线的双曲线方程可表示为a2—b2=t（t工0）;
2若双曲线的渐近线方程是y=iax，则双曲线的方程可表示为a2—b2=t（tM0）;
一x2y2x2y2
3与双曲线a2—b2=1共焦点的方程可表示为a2—k—b2+k=1（—b2VkVa2）;
一x2y2
4过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为m+n=1（mnv0）;
一x2y2x2y2
5与椭圆a2+b2=1（a>b>0）有共同焦点的双曲线方程可表示为a2-入+b2-入
=1（b2VVa2）.
例2、求下列条件下的双曲线的标准方程.
x2y2
⑴与双曲线9—16=1有共同的渐近线，且过点（一3，2）;
x2y2
⑵与双曲线16—4=1有公共焦点，且过点（3，2）.
【自主解答】
（1）解法一：
经检验知双曲线焦点在x轴上，故设双曲线的方
x2y2c9门
所以双曲线的万程为
2
-
94
程为a2—b2=1，由题意，得=1，解得a2=4，b2=4，
（2）解法一：
设双曲线方程为a2-b2=1,由题意易求c=2,又双曲线过点（3,
2）,•••a2-b2=1•又•••a2+b2=⑵2,/.a2=12,b2=8.12-%=1.
x2y21
解法二：
设所求双曲线方程为9—16=%侍0）,将点（一3,2）代入得入=4.
x2y219y2
所以双曲线方程为9—16=4，即4—4=1.
x2y2
解法二：
设双曲线方程为16—k—4+k=1,且16—k>0,4+k>0.
将点（3,2）代入得k=4,且满足上面的不等式，所以双曲线方程为12—%=1.
1•在双曲线的标准方程中，若x2的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，且对于双曲线，a不一定大于b.
2•若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：
mx2+ny2=1（mnv0）,
以避免分类讨论.
考点3、双曲线的几何性质
双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲
线的形状、大小的几个主要特征量，如a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，充分利
用双曲线的渐近线方程，简化解题过程
APPQ
若C上存在一点P,使T-=0,
求此双曲线离心率的取值范围.
例3、（12分）双曲线C：
2—y2=1（a>0,b>0）的右顶点为A,x轴上有一点Q（2a,0）,
【规范解答】设P点坐标为（x,y）,
APPQ
则由TT=0,得APIPQ,
即P点在以AQ为直径的圆上,
3acax2y2
•••（x—2）2+y2=
（2）2.①又P点在双曲线上，得a2—b2=1•②
（a2+b2）x2—3a3x+2a4—a2b2=0.
即[（a2+b2）x—（2a3—ab2）]（x—a）=0.6分
2a3—ab2
当x=a时，P与A重合，不符合题意，舍去当x=a2+b2时，满足题意的
2a3—ab2c6
P点存在，需x=a2+b2>a,化简得a2>2b2,即卩3a2>2c2,av2.10分.••离心
c6
率e=a€（1,2）.12分
例4、【活学活用】3.（2012北京期末检测）若双曲线—y2=1（a>0,b>0）
的两个焦点分别为F1、F2,P为双曲线上一点，且|PF1=3|PF2|，贝U该双曲线的
离心率e的取值范围是.
|PF1|=3|PF2|解析：
依题意得|PF1|-|PF2|=2a,
由此解得|PF2|=a>c—a,即卩c<2a,e=a<2,
即该双曲线的离心率不超过2.
又双曲线的离心率大于1，
【例5】直线占过双曲线
因此该双曲线的离心率e的取值范围是（1,2].
的右焦点，斜率k=2.若*与双曲线的两个交点分别在左右两支
上，则双曲线的离心率e的范围是（）
皿的倾斜角为B.显然。
当3>a时直线/与双曲线的两
个交点分别在左右两支上.由
【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是:
.设;
|眄"|32,则"陋的面积为（）
|码卜兔肉卜"二・|円?
|-朋|=2a=2_二
于是
I邛I=6」禺日二册「曲率「=52二嗣「
故知△PF1F2是直角三角形，/FPF2=90°.
—二訥I网1=扫“"
选B.
【评注】解题中发现△PFF2是直角三角形，是事
前
不曾想到的吧？
可是，这一美妙的结果不是每个考生都能
临场发现的.
将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维
能力，这正是命题人的高明之处.
渐近线一一双曲线与直线相约天涯
对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有.双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.
双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中
y=±-jc
【例7】过点（1,3）且渐近线为的双曲线方程是
1解析_:
八⑴
4-^=1号一負2王±#“
【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可
将双曲线口
的实、虚轴互易，所得双曲线方程为:
.这两个双曲线就是互相
共轭双曲线一一虚、实易位的孪生弟兄
共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一
样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用
1丄
［例8】两共轭双曲线的离心率分别为％岂，证明：
7勺=1.
【证明】双曲线
双曲线
考点5、直线与双曲线位置关系
设而不求一一与借舟弃舟同理
减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例:
【例9】双曲线=1的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（）
A.J=B.y=2x-2C.p=D.>=2x+3
则有:
兀十％=4
丹!
>2'.故直线的斜率
【解析】设弦的两端分别为
则所求直线方程为:
P—H>l故选C.
“设而不求”具体含义是：
在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.
但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：
【例10】在双曲线-上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？
如果存在，求弦所在的直
线方程；如不存在，请说明理由.
如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：
【错解】假定存在符合条件的弦AB,其两端分别为：
A（X"yj，B（X2,y2）.那么：
叫廿形=2
A*J5=2
代入
（1）；2（斗一町）一（卅一=
VM（1,1）为弦AB的中点,
故存在符合条件的直线AB,其方程为：
”这个结论对不对呢？
我们只须注意如下两点就够了：
其一：
将点M（1,1）代入方程，发现左式=1-2-<1，故点M（1,1）在双曲线
的外部；其二：
所求直线AB的斜率—‘，而双曲线的渐近线为尸一心“.这里以血，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的
问题岀在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件
【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由
2-^=1,,_
2=>2r3=2=>2x3-4r+3=0
（2）
*=2归
这里A-162110，故方程
（2）无实根，也就是所求直线不合条件
此外，上述解法还疏忽了一点：
只有当F\时才可能求出k=2.若妆
说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件
结论；不存在符合题设条件的直线.
练习
1.（2011安徽高考）双曲线2X2—y2=8的实轴长是（）
A.2B.2
C.4D.4
x2y2
解析：
2x2—y2=8化为标准形式：
4—8=1，/•a2=4.「.a=2.二实轴长2a=4.
x2y2
2.（2011山东高考）已知双曲线a2—b2=1（a>0，b>0）的两条渐近线均和圆C:
x2+y2
—6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）
x2y2A.5—4=1
x2y2
B.4—5=1
x2y2x2
C.3—6=1D.6—
解析：
由题意得,
x2y2
a2—b2=1（a>0,b>0）的两条渐近线方程为
b
y=也x,
即bxiay=0,又圆C的标准方程为：
（x—3）2+y2=4,半径为
2，圆心坐标为（3,0）.
x2y2
的方程为5—4=1.
内）上的任意一点,
•a2+b2=32=9,且a卵b2=2,解得
a2=5,b2=4.二该双曲线
x2
3.（2012嘉兴测试）如图，P是双曲线4—y2=1右支（在第一象限
Ai,
A分别是左、右顶点，O是坐标原点，直线PAi,PO,FA2的斜率分
别为ki，k2，k3,
则斜率之积kik2k3的取值范围是（）
A.（0,1）
1
B.（0,8）
11
C.（0,4）D.（0,2）
解析：
设P（x,y）,则x€（0,2）,且
y3y
x2—4=4y2（x>0,y>0）,•k1k2k3=x（x2—4=4x€（0,
1
8）.
4.（金榜预测）在平面直角坐标系
xOy中，已知△ABC的顶点A（—5,0）和C（5,0），顶点B
x2y2sinB
在双曲线16—9=1上，贝U
升级会员 