江苏省高考数学真题含答案.docx

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江苏省高考数学真题含答案

2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析

数学I试题

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.本试卷共4页，包含填空题（第1题一一第14题）、解答题（第15题一一第20题）。

本卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的

规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。

作答必须用0.5

毫米黑色墨水的签字笔。

请注意字体工整，笔迹清楚。

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。

参考公式:

锥体的体积公式：

V锥体=

1

Sh,其中S是锥体的底面积，h是咼。

3

一、填空题：

本大题共

置上

14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位

1、设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},AnB={3}，则实数a=_▲_

2、设复数z满足z（2-3i）=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为

3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同

的概率是_▲__.

4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取

了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质

量的重要指标），所得数据都在区间［5,40］中，其频率

分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有▲根在棉花纤维的长度小于20mm。

5、设函数f（x）=x（ex+ae-x）（xR）是偶函数，则实数a=▲

双曲线右焦点的距离是—▲

7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是▲

n-*-n+l

否

—*

s—i

n-1」

专输出百

8、函数y=x2（x>0）的图像在点（ak,ak2）处的切线与x轴交点的横坐标为ak+i,k为正整数，ai=16，

贝Vai+a3+a5=▲

22

9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆xy4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的

距离为1，则实数c的取值范围是▲

10、定义在区间0,于上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P,过点P作

PP1丄x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为▲。

11、已知函数f（x）

f（2x）的x的范围是__▲

x1,x0,则满足不等式f（1x2）

1,x0

2

12、设实数x,y满足3

3

4<—w9，则弓的最大值是

yy

ba

13、在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c,6cosC，则

ab

tanCtanC

tanAtanB

=▲。

（梯形的周长）

梯形的面积

2

-贝yS的最小值是

14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记

、解答题：

本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明或演算步骤

15、（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，点A（—1,—2）、B（2,3）、C（—2-1）。

（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

⑵设实数t满足（ABtOC）•OC=0,求t的值。

16、（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD丄平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB//DC，/BCD=90°。

（1）求证：

PC丄BC;

⑵求点A到平面PBC的距离。

17、（本小题满分14分）

某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：

m）,如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m,

仰角/ABE=，/ADE=。

（1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24,tan=1.20,请据此算出H的值；

（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d

（单位：

m），使与之差较大，可以提高测量精确度。

若电视塔的

r*产*

•rH

实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？

?

J”J

J」

丄

口*

户

rQ*

18、（本小题满分16分）

22

在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆——1的左、右顶点为A、B，右焦点为

95

M（捲，％）、N（X2,y2），其中

F。

设过点T（t,m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点

m>0,yi0,y20。

（1）设动点P满足PF2PB24,求点P的轨迹；

（2）设x12,x21，求点T的坐标；

3

（3）设t9，求证：

直线MN必过x轴上的一定点（其坐

标与m无关）。

19、（本小题满分16分）

设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，已知2a2a1a3，数列.Sn是公差为d

的等差数列。

（1）求数列an的通项公式（用n,d表示）；

（2）设c为实数，对满足mn3k且mn的任意正整数m,n,k，不等式SmSncSk

9

都成立。

求证：

c的最大值为9。

2

20、（本小题满分16分）

设f（x）是定义在区间（1,）上的函数，其导函数为f'（x）。

如果存在实数a和函数

2

h（x），其中h（x）对任意的x（1,）都有h（x）>0，使得f'（x）h（x）（xax1），则称函数f（x）具有性质P（a）。

（1）设函数f（x）lnx（x1），其中b为实数。

x1

（i）求证：

函数f（x）具有性质P（b）；（ii）求函数f（x）的单调区间。

⑵已知函数g（x）具有性质P

（2）。

给定Xi,X2（1,）*X2,设m为实数,

mxi（1m）x2,

（1m）ximx2，且1,1,

gg）I,求m的取值范围。

数学n（附加题）

21.［选做题］本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。

若多做，则按作答的前两题评分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A.选修4-1:

几何证明选讲

（本小题满分10分）

AB是圆0的直径，D为圆0上一点，过D作圆0的切线交

AB延长线于点C,若DA=DC，求证：

AB=2BC。

B.选修4-2:

矩阵与变换

（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0,0）,B（-2,0）,C（-2,1）。

设k为非零实数，矩阵

k001

M=,N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1,

0110

△A1B1C1的面积是厶ABC面积的2倍，求k的值。

C.选修4-4:

坐标系与参数方程

（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知圆p=2cosB与直线3pcos0+4psin0+a=0相切，求实数a的值。

D.选修4-5:

不等式选讲

（本小题满分10分）

［必做题］第22题、第23题，每题10分，共计20分。

请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22、（本小题满分10分）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等

品率为90%，二等品率为10%。

生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。

设生产各种产品相互独立。

（1）记X（单位：

万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；

（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。

23、（本小题满分10分）

已知△ABC的三边长都是有理数。

（1）求证cosA是有理数；

（2）求证：

对任意正整数n，cosnA是有理数。

5、［解析］考查函数的奇偶性的知识。

6、［解析］考查双曲线的定义。

MF

d

MF=4。

2010年答案

填空题

1、［解析］考查集合的运算推理。

3B,a+2=3,a=1

2、［解析］考查复数运算、模的性质。

z（2-3i）=2（3+2i）,2-3i与3+2i的模相等，z的模为

2。

3、［解析］考查古典概型知识。

4、［解析］考查频率分布直方图的知识。

100X（0.001+0.001+0.004）X5=30

g（x）=ex+ae-x为奇函数，由g（0）=0,得a=—1。

>42，d为点M到右准线x1的距离，d=2,

2

7、［解析］考查流程图理解。

12

22L243133,输出

25

S122L263。

8、［解析］考查函数的切线方程、数列的通项。

在点（ak,ak2）处的切线方程为：

yak22ak（xaQ,当y0时，解得x专,

所以ak1鱼，a%a5164121。

2

9、［解析］考查圆与直线的位置关系。

圆半径为2,

1,C的取值范围是（-13,13）。

P1P2的长即为sinx的值,

圆心（0,0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1,也

13

10、［解析］考查三角函数的图象、数形结合思想。

线段

22

且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=。

线段P1P2的长为一

33

2

11、［解析］考查分段函数的单调性。

1x2xx（1a/21）

1x20'

12、［解析］考查不等式的基本性质，等价转化思想。

x22111x3x221x3,

（）［16,81］,「［；订］,4（）2［2,27］,的最大值是27。

yxy83yyxyy

13、［解析］考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。

一题多解。

（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角

A、B和边a、

b具有轮换性。

当A=B或a=b时满足题意，此时有：

cosC

12C1cosC

tan-

321cosC

1C-2

tan

222

tanAtanB

tanCtanA

tanC=4。

tanB

bb6cosC6abcosCa2b2

2.22

abc6ab

2ab

b2,a2

b2

3c2

2

tanCtanCtanAtanB

sinC

cosC

cosBsinA

sinBcosA

sinAsin

sinCcosC

sin（AB）1sinAsinBcosC

sin2C

sinAsinB

由正弦定理，得:

上式

1c2

cosCab

122

6（ab）

2

c

1

6

3c24

2

14、［解析］考查函数中的建模应用，等价转化思想。

一题多解。

（3x）2

设剪成的小正三角形的边长为x，则：

S

1（x

1）于（1x）

4（3x）2s

4（0x

31x

1）

（方法一）利用导数求函数最小值。

S（x）

（3x）2

1x2

，S（x）

4（2x

一厂

6）（1

x2）（3x）2

（1x2）2

（2x）

4

.3

（2x

6）（1

（1

2

x）（3

2

x）（2x）

S（x）

0,0x1,x

1

当x（0,3］时，S（x）

3

故当

2（3x1）（x3）

（1x

2）2

0,递减；当x［1,1）时,

3

S（x）

0,递增;

x1时，S的最小值是込3。

33

（方法二）禾U用函数的方法求最小值。

令3xt,t

1114

（2,3）,1（3,2），则：

S.3

t2

t26t8

41

"TP

3,x1时，S的最小值是必。

833

满分

15、［解析］本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。

14分。

（1）（方法「

uuu

一）由题设知AB

uuur

（3,5）,AC（1,1），则

uuu

uur

uuu

uuur

AB

AC

（2,6）,AB

AC

（4,4）.

uuu

uur

uuu

uur

所以

|AB

AC|2.10,|AB

AC|4..2.

故所求的两条对角线的长分别为

4.2、2.10。

（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E,则:

16、［解析］本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。

满分14分。

（1）证明：

因为PD丄平面ABCD,BC平面ABCD，所以PD丄BC。

由/BCD=90°,得CD丄BC,又PDIDC=D,PD、DC平面PCD,

所以BC丄平面PCD。

因为PC平面PCD,故PC丄BC。

（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F,连DE、DF，则：

易证DE//CB,DE//平面PBC,点D、E到平面PBC的距离相等。

又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。

由

（1）知：

BC丄平面PCD，所以平面PBC丄平面PCD于PC,因为PD=DC,PF=FC，所以DF丄PC,所以DF丄平面PBC于F。

易知DF=二2，故点A到平面PBC的距离等于、、2。

2

（方法二）体积法：

连结AC。

设点A到平面PBC的距离为ho

因为AB//DC,/BCD=90°,所以/ABC=90°。

从而AB=2,BC=1，得ABC的面积Sabc1o

11

由PD丄平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积V_SABCPD—。

33

因为PD丄平面ABCD,DC平面ABCD，所以PD丄DCo

又PD=DC=1，所以PC,PD2DC2

由PC丄BC,BC=1，得PBC的面积SPBC

1

ABC，—SvPBChV

3

故点A到平面PBC的距离等于、、2o

17、［解析］本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。

故所求的d是55-、5m。

18、［解析］本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。

考

查运算求解能力和探究问题的能力。

满分16分。

2

J1联立方程组，同时考虑到

5

3,x23，

2

分别与椭圆—

9

（1）设点P（x,y）,则:

F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。

令y0，解得：

x1。

此时必过点D（1，0）；当X1X2时，直线MN方程为：

x1，与x轴交点为D（1，0）。

所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。

此时直线MN

若X1

X2，则m

冲丄2403m

X2，则由厂

80m

的方程为X1，过点

2、、10,直线MD

20m

20m2

ND2

3m60‘牙1

20m2

因此，直线MN必过X轴上的点（1,

直线ND的斜率k

D（1,0）。

的斜率kMD

40

10m

~2

m

0）。

19、［解析］本小题主要考查等差数列的通项、

40m

80m2

2

2403m彳

1

80m2

10m

2，

40m2

得kMDkND，所以直线MN过D点。

求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、

（1）

由题意知：

d0，

S~,S；（n1）d（n1）d

2a2

a1

a3

3a2S3

3（S2S1）

S3，3[（Wd）2

a』2

化简,

得：

a

2®d

d20八q

d,a1d2

d

（n

1）dnd,Snn2d2，

当n

2时

，an

SnSn

22

1nd（n

222

1）d（2n1）d，

适合

故所求an

（2n

1）d2

（2）

（方法

一）

2.2

2.2.2.

222.2

Sm

Sn

cSk

md

ndckd

mnck，

c

分析及论证的能力。

满分16分。

2m

（,恳2d）2,

n1情形。

22mn

2恒成立。

k2

又mn3k且mn，2（m2n2）（mn）29k2

99

故c，即c的最大值为。

22

（方法二）由..a1d及、...Sna（n1）d，得d

22

0，Snnd。

于是，对满足题设的m,n,k，mn，有

222

SmSn（mn）d

（mn）d2

9d2k2

2

o

sk

9

所以c的最大值cmax9。

2

9

另一方面，任取实数a。

设k为偶数,

2

22232

2）d2d2［（-k1）2

Ik

且Sn（m

（3k

1）2]

3

1,nk1，则m,n,k符合条件,

2

122

-d2（9k24）。

2

已只要9k2

疋，

2ak2，即当

2

2a9

1

时，Sm&d22ak2aSk。

2

所以满足条件的

，从而Cmax

2

9

因此c的最大值为9。

2

20、［解析］本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数

形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。

满分16分。

AK

（1）（i）f'（x）x6

12

2（xbxx（x1）2

1）

x1时，h（x）12

x（x1）2

0恒成立,

•••函数f（x）具有性质P（b）;

（ii）（方法一）设（x）x2bx1

b2

（x2）21

b2

（x）与f'（x）的符号相同。

—0,2b2时，（x）

4

0,f'（x）

故此时f（x）在区间（1,）上递增;

2时，对于x1，有f'（x）

0，所以此时

f（x）在区间（1,

）上递增;

2时，（x）图像开口向上，对称轴x

1，而（0）

对于x1，总有（X）

0,f'（x）0,

故此时f（x）在区间

（1,）上递增;

（方法二）当b

2时，对于

x1,（x）x2

2

bx1x2x1

（x1）20

所以f'（x）

0，故此时

f（x）在区间（1,

）上递增;

当b2时，（x）图像开口向上，对称轴x-1，方程（x）0的两根为：

bJb24bJb24而bJb24〔bJb24

bb24

（0,1）

当x（1,—

2

）时，（x）0，f'（x）

0，故此时

f（x）在区间

（1,—舟一4）

上递减；同理得:

f（x）在区间［bb24

）上递增。

综上所述，当b

2时，f（x）在区间（1,）上递增;

2时，f（x）在（1,bb巧上递减;

，2

f（x）在［bb24）上递增。

2，

h（x）（x1）2

⑵（方法一）由题意，得：

g'（x）h（x）（x22x1）

又h（x）对任意的x

（1,）都有h（x）>0，

所以对任意的x（1,

）都有g（x）0，g（x）在（1,

）上递增。

X1X2,

（2m1）（x1x2）。

m）x2,x2（1m）x-i（m1）x2，

1

当m尹1时，

，且x!

（m1）x!

（1

综合以上讨论，得：

所求m的取值范围是（0,1）。

（方法二）由题设知，g（x）的导函数g'（x）h（x）（x22x1），其中函数h（x）0对于任

意的x（1,）都成立。

所以，当x1时，g'（x）h（x）（x1）20,从而g（x）在区间

（1,）上单调递增。

①当m（0,1）时，有（1m）x2mx1（1m）x-ix1,

mxi（1m）X2mix?

（1m）X2x?

，得（x^x?

），同理可得（人必），所以

由g（x）的单调性知g（）、g（）（g（xj,gg）），从而有lg（）g（）l

②当

m

0时,

mx1

（1m）x2mx2（1m）x2

X2,

（1

m）x1

mx2（1

m）x1mx1x-i,于是由

1,1及g（x）的单调性知

g（

）

g（xj

gM

g（），所以|g（）g（）|>|g（xjg（x2）|,与题设不符。

③当

m

1时，

同理可得

X1,X2，进而得|g（）

g（）l>ig（xjg（x2）i,与题设

不符。

因此综合①、②、③得所求的m的取值范围是（0，1）。

21、A［解析］本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。

（方法一）证明：

连结OD，则：

OD丄DC,

又OA=OD,DA=DC，所以/DAO=/ODA=/DCO,

/DOC=/DAO+/ODA=2/DCO,

所以/DCO=300,/DOC=600,

所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。

（方法二）证明：

连结OD、BD。

因为AB是圆O的直径，所以/ADB=900,AB=2OB。

因为DC是圆O的切线，所以/CDO=900。

又因为DA=DC，所以/DAC=/DCA,

于是△ADB◎△CDO，从而AB=CO。

即2OB=OB+BC，得OB=BC。

故AB=2BC。

分。

k

0

0

1

0k

解：

由题设得

MN

0

1

1

0

10

丄0k0

2

2

0