江苏省高考数学真题含答案.docx
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江苏省高考数学真题含答案
2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析
数学I试题
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页,包含填空题(第1题一一第14题)、解答题(第15题一一第20题)。
本卷满分160分,考试时间为120分钟。
考试结束后,请将本卷和答题卡一并交回。
2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的
规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效。
作答必须用0.5
毫米黑色墨水的签字笔。
请注意字体工整,笔迹清楚。
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。
6.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损。
参考公式:
锥体的体积公式:
V锥体=
1
Sh,其中S是锥体的底面积,h是咼。
3
一、填空题:
本大题共
置上
14小题,每小题5分,共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位
1、设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},AnB={3},则实数a=_▲_
2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i(其中i为虚数单位),则z的模为
3、盒子中有大小相同的3只白球,1只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同
的概率是_▲__.
4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取
了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质
量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率
分布直方图如图所示,则其抽样的100根中,有▲根在棉花纤维的长度小于20mm。
5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数,则实数a=▲
双曲线右焦点的距离是—▲
7、右图是一个算法的流程图,则输出S的值是▲
n-*-n+l
否
—*
s—i
n-1」
专输出百
8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+i,k为正整数,ai=16,
贝Vai+a3+a5=▲
22
9、在平面直角坐标系xOy中,已知圆xy4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的
距离为1,则实数c的取值范围是▲
10、定义在区间0,于上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P,过点P作
PP1丄x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为▲。
11、已知函数f(x)
f(2x)的x的范围是__▲
x1,x0,则满足不等式f(1x2)
1,x0
2
12、设实数x,y满足33
4<—w9,则弓的最大值是
yy
ba
13、在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c,6cosC,则
ab
tanCtanC
tanAtanB
=▲。
(梯形的周长)
梯形的面积
2
-贝yS的最小值是
14、将边长为1m正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记
、解答题:
本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文
字说明、证明或演算步骤
15、(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中,点A(—1,—2)、B(2,3)、C(—2-1)。
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;
⑵设实数t满足(ABtOC)•OC=0,求t的值。
16、(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD丄平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB//DC,/BCD=90°。
(1)求证:
PC丄BC;
⑵求点A到平面PBC的距离。
17、(本小题满分14分)
某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位:
m),如示意图,垂直放置的标杆BC的高度h=4m,
仰角/ABE=,/ADE=。
(1)该小组已经测得一组、的值,tan=1.24,tan=1.20,请据此算出H的值;
(2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d
(单位:
m),使与之差较大,可以提高测量精确度。
若电视塔的
r*产*
•rH
实际高度为125m,试问d为多少时,-最大?
?
J”J
J」
丄
口*
户
rQ*
18、(本小题满分16分)
22
在平面直角坐标系xoy中,如图,已知椭圆——1的左、右顶点为A、B,右焦点为
95
M(捲,%)、N(X2,y2),其中
F。
设过点T(t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点
m>0,yi0,y20。
(1)设动点P满足PF2PB24,求点P的轨迹;
(2)设x12,x21,求点T的坐标;
3
(3)设t9,求证:
直线MN必过x轴上的一定点(其坐
标与m无关)。
19、(本小题满分16分)
设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,已知2a2a1a3,数列.Sn是公差为d
的等差数列。
(1)求数列an的通项公式(用n,d表示);
(2)设c为实数,对满足mn3k且mn的任意正整数m,n,k,不等式SmSncSk
9
都成立。
求证:
c的最大值为9。
2
20、(本小题满分16分)
设f(x)是定义在区间(1,)上的函数,其导函数为f'(x)。
如果存在实数a和函数
2
h(x),其中h(x)对任意的x(1,)都有h(x)>0,使得f'(x)h(x)(xax1),则称函数f(x)具有性质P(a)。
(1)设函数f(x)lnx(x1),其中b为实数。
x1
(i)求证:
函数f(x)具有性质P(b);(ii)求函数f(x)的单调区间。
⑵已知函数g(x)具有性质P
(2)。
给定Xi,X2(1,)*X2,设m为实数,
mxi(1m)x2,
(1m)ximx2,且1,1,
gg)I,求m的取值范围。
数学n(附加题)
21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答。
若多做,则按作答的前两题评分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A.选修4-1:
几何证明选讲
(本小题满分10分)
AB是圆0的直径,D为圆0上一点,过D作圆0的切线交
AB延长线于点C,若DA=DC,求证:
AB=2BC。
B.选修4-2:
矩阵与变换
(本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,0),B(-2,0),C(-2,1)。
设k为非零实数,矩阵
k001
M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1,
0110
△A1B1C1的面积是厶ABC面积的2倍,求k的值。
C.选修4-4:
坐标系与参数方程
(本小题满分10分)
在极坐标系中,已知圆p=2cosB与直线3pcos0+4psin0+a=0相切,求实数a的值。
D.选修4-5:
不等式选讲
(本小题满分10分)
[必做题]第22题、第23题,每题10分,共计20分。
请在答.题.卡.指.定.区.域.内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22、(本小题满分10分)某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为80%,二等品率为20%;乙产品的一等
品率为90%,二等品率为10%。
生产1件甲产品,若是一等品则获得利润4万元,若是二等品则亏损1万元;生产1件乙产品,若是一等品则获得利润6万元,若是二等品则亏损2万元。
设生产各种产品相互独立。
(1)记X(单位:
万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润,求X的分布列;
(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。
23、(本小题满分10分)
已知△ABC的三边长都是有理数。
(1)求证cosA是有理数;
(2)求证:
对任意正整数n,cosnA是有理数。
5、[解析]考查函数的奇偶性的知识。
6、[解析]考查双曲线的定义。
MF
d
MF=4。
2010年答案
填空题
1、[解析]考查集合的运算推理。
3B,a+2=3,a=1
2、[解析]考查复数运算、模的性质。
z(2-3i)=2(3+2i),2-3i与3+2i的模相等,z的模为
2。
3、[解析]考查古典概型知识。
4、[解析]考查频率分布直方图的知识。
100X(0.001+0.001+0.004)X5=30
g(x)=ex+ae-x为奇函数,由g(0)=0,得a=—1。
>42,d为点M到右准线x1的距离,d=2,
2
7、[解析]考查流程图理解。
12
22L243133,输出
25
S122L263。
8、[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。
在点(ak,ak2)处的切线方程为:
yak22ak(xaQ,当y0时,解得x专,
所以ak1鱼,a%a5164121。
2
9、[解析]考查圆与直线的位置关系。
圆半径为2,
1,C的取值范围是(-13,13)。
P1P2的长即为sinx的值,
圆心(0,0)到直线12x-5y+c=0的距离小于1,也
13
10、[解析]考查三角函数的图象、数形结合思想。
线段
22
且其中的x满足6cosx=5tanx,解得sinx=。
线段P1P2的长为一
33
2
11、[解析]考查分段函数的单调性。
1x2xx(1a/21)
1x20'
12、[解析]考查不等式的基本性质,等价转化思想。
x22111x3x221x3,
()[16,81],「[;订],4()2[2,27],的最大值是27。
yxy83yyxyy
13、[解析]考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用,等价转化思想。
一题多解。
(方法一)考虑已知条件和所求结论对于角
A、B和边a、
b具有轮换性。
当A=B或a=b时满足题意,此时有:
cosC
12C1cosC
tan-
321cosC
1C-2
tan
222
tanAtanB
tanCtanA
tanC=4。
tanB
bb6cosC6abcosCa2b2
2.22
abc6ab
2ab
b2,a2
b2
3c2
2
tanCtanCtanAtanB
sinC
cosC
cosBsinA
sinBcosA
sinAsin
sinCcosC
sin(AB)1sinAsinBcosC
sin2C
sinAsinB
由正弦定理,得:
上式
1c2
cosCab
122
6(ab)
2
c
1
6
3c24
2
14、[解析]考查函数中的建模应用,等价转化思想。
一题多解。
(3x)2
设剪成的小正三角形的边长为x,则:
S
1(x
1)于(1x)
4(3x)2s
4(0x
31x
1)
(方法一)利用导数求函数最小值。
S(x)
(3x)2
1x2
,S(x)
4(2x
一厂
6)(1
x2)(3x)2
(1x2)2
(2x)
4
.3
(2x
6)(1
(1
2
x)(3
2
x)(2x)
S(x)
0,0x1,x
1
当x(0,3]时,S(x)
3
故当
2(3x1)(x3)
(1x
2)2
0,递减;当x[1,1)时,
3
S(x)
0,递增;
x1时,S的最小值是込3。
33
(方法二)禾U用函数的方法求最小值。
令3xt,t
1114
(2,3),1(3,2),则:
S.3
t2
t26t8
41
"TP
3,x1时,S的最小值是必。
833
满分
15、[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查运算求解能力。
14分。
(1)(方法「
uuu
一)由题设知AB
uuur
(3,5),AC(1,1),则
uuu
uur
uuu
uuur
AB
AC
(2,6),AB
AC
(4,4).
uuu
uur
uuu
uur
所以
|AB
AC|2.10,|AB
AC|4..2.
故所求的两条对角线的长分别为
4.2、2.10。
(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则:
16、[解析]本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何体的体积,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。
满分14分。
(1)证明:
因为PD丄平面ABCD,BC平面ABCD,所以PD丄BC。
由/BCD=90°,得CD丄BC,又PDIDC=D,PD、DC平面PCD,
所以BC丄平面PCD。
因为PC平面PCD,故PC丄BC。
(2)(方法一)分别取AB、PC的中点E、F,连DE、DF,则:
易证DE//CB,DE//平面PBC,点D、E到平面PBC的距离相等。
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。
由
(1)知:
BC丄平面PCD,所以平面PBC丄平面PCD于PC,因为PD=DC,PF=FC,所以DF丄PC,所以DF丄平面PBC于F。
易知DF=二2,故点A到平面PBC的距离等于、、2。
2
(方法二)体积法:
连结AC。
设点A到平面PBC的距离为ho
因为AB//DC,/BCD=90°,所以/ABC=90°。
从而AB=2,BC=1,得ABC的面积Sabc1o
11
由PD丄平面ABCD及PD=1,得三棱锥P-ABC的体积V_SABCPD—。
33
因为PD丄平面ABCD,DC平面ABCD,所以PD丄DCo
又PD=DC=1,所以PC,PD2DC2
由PC丄BC,BC=1,得PBC的面积SPBC
1
ABC,—SvPBChV
3
故点A到平面PBC的距离等于、、2o
17、[解析]本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
故所求的d是55-、5m。
18、[解析]本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。
考
查运算求解能力和探究问题的能力。
满分16分。
2
J1联立方程组,同时考虑到
5
3,x23,
2
分别与椭圆—
9
(1)设点P(x,y),则:
F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。
令y0,解得:
x1。
此时必过点D(1,0);当X1X2时,直线MN方程为:
x1,与x轴交点为D(1,0)。
所以直线MN必过x轴上的一定点D(1,0)。
此时直线MN
若X1
X2,则m
冲丄2403m
X2,则由厂
80m
的方程为X1,过点
2、、10,直线MD
20m
20m2
ND2
3m60‘牙1
20m2
因此,直线MN必过X轴上的点(1,
直线ND的斜率k
D(1,0)。
的斜率kMD
40
10m
~2
m
0)。
19、[解析]本小题主要考查等差数列的通项、
40m
80m2
2
2403m彳
1
80m2
10m
2,
40m2
得kMDkND,所以直线MN过D点。
求和以及基本不等式等有关知识,考查探索、
(1)
由题意知:
d0,
S~,S;(n1)d(n1)d
2a2
a1
a3
3a2S3
3(S2S1)
S3,3[(Wd)2
a』2
化简,
得:
a
2®d
d20八q
d,a1d2
d
(n
1)dnd,Snn2d2,
当n
2时
,an
SnSn
22
1nd(n
222
1)d(2n1)d,
适合
故所求an
(2n
1)d2
(2)
(方法
一)
2.2
2.2.2.
222.2
Sm
Sn
cSk
md
ndckd
mnck,
c
分析及论证的能力。
满分16分。
2m
(,恳2d)2,
n1情形。
22mn
2恒成立。
k2
又mn3k且mn,2(m2n2)(mn)29k2
99
故c,即c的最大值为。
22
(方法二)由..a1d及、...Sna(n1)d,得d
22
0,Snnd。
于是,对满足题设的m,n,k,mn,有
222
SmSn(mn)d
(mn)d2
9d2k2
2
o
sk
9
所以c的最大值cmax9。
2
9
另一方面,任取实数a。
设k为偶数,
2
22232
2)d2d2[(-k1)2
Ik
且Sn(m
(3k
1)2]
3
1,nk1,则m,n,k符合条件,
2
122
-d2(9k24)。
2
已只要9k2
疋,
2ak2,即当
2
2a9
1
时,Sm&d22ak2aSk。
2
所以满足条件的
,从而Cmax
2
9
因此c的最大值为9。
2
20、[解析]本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识,考查灵活运用数
形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。
满分16分。
AK
(1)(i)f'(x)x6
12
2(xbxx(x1)2
1)
x1时,h(x)12
x(x1)2
0恒成立,
•••函数f(x)具有性质P(b);
(ii)(方法一)设(x)x2bx1
b2
(x2)21
b2
(x)与f'(x)的符号相同。
—0,2b2时,(x)
4
0,f'(x)
故此时f(x)在区间(1,)上递增;
2时,对于x1,有f'(x)
0,所以此时
f(x)在区间(1,
)上递增;
2时,(x)图像开口向上,对称轴x
1,而(0)
对于x1,总有(X)
0,f'(x)0,
故此时f(x)在区间
(1,)上递增;
(方法二)当b
2时,对于
x1,(x)x2
2
bx1x2x1
(x1)20
所以f'(x)
0,故此时
f(x)在区间(1,
)上递增;
当b2时,(x)图像开口向上,对称轴x-1,方程(x)0的两根为:
bJb24bJb24而bJb24〔bJb24
bb24
(0,1)
当x(1,—
2
)时,(x)0,f'(x)
0,故此时
f(x)在区间
(1,—舟一4)
上递减;同理得:
f(x)在区间[bb24
)上递增。
综上所述,当b
2时,f(x)在区间(1,)上递增;
2时,f(x)在(1,bb巧上递减;
,2
f(x)在[bb24)上递增。
2,
h(x)(x1)2
⑵(方法一)由题意,得:
g'(x)h(x)(x22x1)
又h(x)对任意的x
(1,)都有h(x)>0,
所以对任意的x(1,
)都有g(x)0,g(x)在(1,
)上递增。
X1X2,
(2m1)(x1x2)。
m)x2,x2(1m)x-i(m1)x2,
1
当m尹1时,
,且x!
(m1)x!
(1
综合以上讨论,得:
所求m的取值范围是(0,1)。
(方法二)由题设知,g(x)的导函数g'(x)h(x)(x22x1),其中函数h(x)0对于任
意的x(1,)都成立。
所以,当x1时,g'(x)h(x)(x1)20,从而g(x)在区间
(1,)上单调递增。
①当m(0,1)时,有(1m)x2mx1(1m)x-ix1,
mxi(1m)X2mix?
(1m)X2x?
,得(x^x?
),同理可得(人必),所以
由g(x)的单调性知g()、g()(g(xj,gg)),从而有lg()g()l②当
m
0时,
mx1
(1m)x2mx2(1m)x2
X2,
(1
m)x1
mx2(1
m)x1mx1x-i,于是由
1,1及g(x)的单调性知
g(
)
g(xj
gM
g(),所以|g()g()|>|g(xjg(x2)|,与题设不符。
③当
m
1时,
同理可得
X1,X2,进而得|g()
g()l>ig(xjg(x2)i,与题设
不符。
因此综合①、②、③得所求的m的取值范围是(0,1)。
21、A[解析]本题主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证能力。
(方法一)证明:
连结OD,则:
OD丄DC,
又OA=OD,DA=DC,所以/DAO=/ODA=/DCO,
/DOC=/DAO+/ODA=2/DCO,
所以/DCO=300,/DOC=600,
所以OC=2OD,即OB=BC=OD=OA,所以AB=2BC。
(方法二)证明:
连结OD、BD。
因为AB是圆O的直径,所以/ADB=900,AB=2OB。
因为DC是圆O的切线,所以/CDO=900。
又因为DA=DC,所以/DAC=/DCA,
于是△ADB◎△CDO,从而AB=CO。
即2OB=OB+BC,得OB=BC。
故AB=2BC。
分。
k
0
0
1
0k
解:
由题设得
MN
0
1
1
0
10
丄0k0
2
2
0