函数的定义域和求法讲解.docx
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函数的定义域和求法讲解
函数
一、函数的定义域及求法
1、分式的分母≠0；偶次方根的被开方数≥0；
2、对数函数的真数＞0；对数函数的底数＞0且≠1；
3、正切函数：
x≠kπ+π/2,k∈Z；余切函数：
x≠kπ,k∈Z；
4、一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R；
5、定义域的相关求法：
利用函数的图象（或数轴）法；利用其反函数的值域法；
6、复合函数定义域的求法：
推理、取交集及分类讨论．
[例题]：
1、求下列函数的定义域
3、已知函数y=lg（mx2-4mx+m+3）的定义域为R，求实数m的取值范围．
[解析]：
[利用复合函数的定义域进行分类讨论]
当m=0时，则mx2-4mx+m+3=3，→原函数的定义域为R；
当m≠0时，则mx2-4mx+m+3＞0，
①m＜0时，显然原函数定义域不为R；
②m＞0，且△＝（-4m）2-4m（m+3）<0时，即０＜m＜１，原函数定义域为R，
所以当m∈[0,1）时，原函数定义域为R．
4、求函数y=log2x+1（x≥4）的反函数的定义域．
[解析]：
［求原函数的值域］
由题意可知，即求原函数的值域，
∵x≥4, ∴log2x≥2 ∴y≥3
所以函数y=log2x+1（x≥4）的反函数的定义域是[3，+∞）．
5、函数f（2x）的定义域是[-1，1]，求f（log2x）的定义域．
[解析]：
由题意可知2-1≤2x≤21 → f（x）定义域为[1/2，2]
→1/2≤log2x≤2 →√￣2≤x≤4．
所以f（log2x）的定义域是[√￣2,4]．
二、函数的值域及求法
1、一次函数y=kx+b（k≠0）的值域为R；
2、二次函数的值域：
当a＞0时，y≥-△/4a，当a＜0时，y≤-△/4a；
3、反比例函数的值域：
y≠0；
4、指数函数的值域为（0，+∞）；对数函数的值域为R；
5、正弦、余弦函数的值域为[-1，1]（即有界性）；正切余切函数的值域为R；
6、值域的相关求法：
配方法；零点讨论法；函数图象法；利用求反函数的定义域法；换元法；利用函数的单调性和有界性法；分离变量法．
[例题]：
：
求下列函数的值域
[解析]：
1、[利用求反函数的定义域求值域]
先求其反函数：
f-1（x）=（3x+1）/（x-2），其中x≠2，
由其反函数的定义域，可得原函数的值域是y∈{y∈R|y≠2}
2、[利用反比例函数的值域不等于0]
由题意可得，
因此，原函数的值域为[1/2,+∞）
4、[利用分离变量法和换元法]
设法2x＝t，其中t＞0，则原函数可化为y=（t+1）/（t-1） →t=（y+1）/（y-1）＞０
∴y>1或y<-1
5、[利用零点讨论法]
由题意可知函数有3个零点-3，1，2，
①当x<-3时，y=-（x-1）-（x+3）-（x-2）=-3x ∴y>9
②当-3≤x<1时，y=-（x-1）+（x+3）-（x-2）=-x+6 ∴5 ③当1≤x<2时，y=（x-1）+（x+3）-（x-2）=x+4 ∴5≤y<6
④当x≥2时，y=（x-1）+（x+3）+（x-2）=3x ∴y≥6
综合前面四种情况可得，原函数的值域是[5,+∞）
6、[利用函数的有界性]
三、函数的单调性及应用
1、A为函数f（x）定义域内某一区间，
2、单调性的判定：
作差f（x1）-f（x2）判定；根据函数图象判定；
3、复合函数的单调性的判定：
f（x）,g（x）同增、同减，f（g（x））为增函数，f（x）,g（x）一增、一减，f（g（x））为减函数．
[例题]：
2、设a＞0且a≠1，试求函数y=loga（4+3x-x2）的单调递增区间．
[解析]：
[利用复合函数的单调性的判定]
由题意可得原函数的定义域是（－１，４），
设u=4+3x-x2，其对称轴是x=3/2，
所以函数u=4+3x-x2，在区间（－１，3/2]上单调递增；在区间[3/2，4）上单调递减．
①a＞１时，y=logau在其定义域内为增函数，由x↑→u↑→y↑，得函数u=4+3x-x2的单调递增区间（－１，3/2]，即为函数y=loga（4+3x-x2）的单调递增区间．
②０＜a＜１时，y=logau在其定义域内为减函数，由x↑→u↓→y↑，得函数u=4+3x-x2的单调递减区间[3/2，4），即为函数y=loga（4+3x-x2）的单调递增区间．
3、已知y=loga（2-ax）在[0，1]上是x的减函数，求a的取值范围。
[解析]：
[利用复合函数的单调性的判定]
由题意可知，a＞０．设u＝g（x）=2－ax，则g（x）在［０，１］上是减函数，且x=１时，
g（x）有最小值umin=2-a．
又因为u＝g（x）＝2－ax＞０，所以，只要umin=2-a＞０则可，得a＜２．
又y=loga（2-ax）在[0，1]上是x减函数，u＝g（x）在［０，１］上是减函数，
即x↑→u↓→y↓，所以y=logau是增函数，故a＞１．
综上所述，得１＜a＜2．
４、已知f（x）的定义域为（０，＋∞），且在其上为增函数，满足f（xy）=f（x）+f（y），f
（2）=1，试解不等式f（x）+f（x-2）<3．
［解析］：
［此题的关键是求函数值３所对应的自变量的值］
由题意可得，f（4）=f
（2）+f
（2）=2，3=2+1=f（4）+f
（2）=f（4×2）=f（8）
又f（x）+f（x-2）=f（x2-2x）
所以原不等式可化成f（x2-2x）
所以原不等式的解集为｛x|2四、函数的奇偶性及应用
1、函数f（x）的定义域为D，x∈D，f（-x）=f（x）→f（x）是偶函数；f（-x）=-f（x）→是奇函数
2、奇偶性的判定：
作和差f（-x）±f（x）=0判定；作商f（x）/f（-x）=±1,f（x）≠0判定
3、奇、偶函数的必要条件是：
函数的定义域关于原点对称；
4、函数的图象关于原点对称 奇函数；
函数的图象关y轴对称 偶函数
5、函数既为奇函数又为偶函数 f（x）=0,且定义域关于原点对称;
6、复合函数的奇偶性：
奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇．
[例题]：
[解析]：
①[利用作和差判断]
由题意可知，函数的定义域是R，设x为R内任意实数，
即，f（x）=-f（x），∴原函数是奇函数．
②［利用作商法判断］
由题意可知，函数的定义域是R，设x为R内任意实数，
（２）∵f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f[1-（1-x）]＝f[1+（1-x）]，x∈R， 即f（x）＝f（2-x），
又∵f（x）在R上为偶函数，→f（-x）＝f（x）＝f（2-x）＝f（2+x）
∴f（x）是周期的函数，且2是它的一个周期．
五、函数的周期性及应用
1、设函数y=f（x）的定义域为D，x∈D,存在非0常数T，有f（x+T）=f（x） →f（x）为周期函数，T为f（x）的一个周期；
2、正弦、余弦函数的最小正周期为2π，函数y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）的最小正周期是T=2π/|ω|；
3、正切、余切函数的最小正周期为π，函数y=Atan（ωx+φ）和y=Acot（ωx+φ）的周期是T=π/|ω|；
4、周期的求法：
定义域法；公式法；最小公倍数法；利用函数的图象法；
5、一般地，sinωx和cosωx类函数加绝对值或平方后周期减半，tanωx和cotωx类函数加绝对值或平方后周期不变（如：
y=|cos2x|的周期是π/2，y=|cotx|的周期是π．
[例题]：
1、求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期．
[解析]：
[利用周期函数的定义]
y=|sinx|+|cosx|=|-sinx|+|cosx|
=|cos（x+π/2）|+|sin（x+π/2）|
即对于定义域内的每一个x，当x增加到（x+π/2）时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是π/2．
3、求函数y=sin3x+tan（2x/5）的最小正周期．
[解析]：
[最小公倍数法和公式法]，
（设f（x）、g（x）是定义在公共集合上的两上三角周期函数，T1、、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f（x）±g（x）的最小正周期等于T1、、T2的最小公倍数．）
（注：
分数的最小公倍数=分子的最小公倍数/分母的最大公约数）．
由题意可知，sin3x的周期是T1=2π/3，tan（2x/5）的周期是T2=5π/2，
∴原函数的周期是T=10π/1=10π．
4、求函数y=|tanx|的最小正周期．
[解析]：
[利用函数的图象求函数的周期]
函数y=|tanx|的简图如图：
由函数y=|tanx|的简图可知，
其最小正周期是π．
5、设f（x）是（-∞，+∞）上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x,求f（7.5）
［解析］：
[利用周期函数的定义]
由题意可知，f（2+x）=f（x）
∴ f（7.5）＝f（8-0.5）＝f（-0.5）＝－f（0.5）＝－０.５
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