离散型随机变量的均值.docx
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离散型随机变量的均值
2．3.1 离散型随机变量的均值
[学习目标] 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握两点分布、二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．
知识点一 离散型随机变量的均值
1．离散型随机变量的均值的概念
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
2．离散型随机变量的均值的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数（X是随机变量），则Y也是随机变量，且有E（aX＋b）＝aE（X）＋b.
证明如下：
如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P（Y＝axi＋b）＝P（X＝xi），i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为
Y
ax1＋b
ax2＋b
…
axi＋b
…
axn＋b
P
p1
p2
…
pi
…
pn
于是有E（Y）＝（ax1＋b）p1＋（ax2＋b）p2＋…＋（axi＋b）pi＋…＋（axn＋b）pn＝a（x1p1＋x2p2＋xipi＋…＋xnpn）＋b（p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn）＝aE（X）＋b，即E（aX＋b）＝aE（X）＋b.
思考1 离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？
答案
（1）区别：
随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化；
（2）联系：
对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．
思考2 随机变量X的数学期望E（X）是个变量，其值随X的变化而变化吗？
答案 随机变量的均值是常数，其值不随X的变化而变化．
知识点二 两点分布、二项分布的均值
1．两点分布的均值
由数学期望的定义可知，若随机变量X服从参数为p的两点分布，则E（X）＝1×p＋0×（1－p）＝p.
这表明在只有两个可能结果的随机试验中，离散型随机变量X的均值为p.
2．二项分布的均值
在n次独立重复试验中，若X～B（n，p），则E（X）＝np.
题型一 利用定义求离散型随机变量的均值
例1 袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取得一只黑球得1分，试求得分X的均值．
解 取出4只球颜色及得分分布情况是
4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，
P（X＝5）＝＝，
P（X＝6）＝＝，
P（X＝7）＝＝，
P（X＝8）＝＝，
故X的分布列如下：
X
5
6
7
8
P
∴E（X）＝5×＋6×＋7×＋8×＝（分）．
反思与感悟 求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：
（1）确定X的可能取值；
（2）计算出P（X＝k）；（3）写出分布列；（4）利用E（X）的计算公式计算E（X）．
跟踪训练1 某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：
在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分．如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立．求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值．
解 根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，则X的可能取值为－4,1,3,6.
∴P（X＝－4）＝××＝，
P（X＝1）＝××＋××＋××＝，
P（X＝3）＝××＋××＋××＝，
P（X＝6）＝××＝＝.
∴X的分布列为
X
－4
1
3
6
P
∴E（X）＝（－4）×＋1×＋3×＋6×＝.
题型二 二项分布的均值
例2 “ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：
被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动，若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．
（1）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？
（2）假定
（1）中被邀请到的3个人中恰有2个人接受挑战，根据活动规定，现记X为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求X的分布列和均值．
解
（1）∵每个人接受挑战和不接受挑战是等可能的，
∴每个人接受挑战的概率是，不接受挑战的概率也是.
设事件M为“这3个人中至少有2个人接受挑战”，
则P（M）＝C×2×＋C×3＝.
（2）∵X为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，
∴X～B.
P（X＝0）＝C×6＝，
P（X＝1）＝C××5＝，
P（X＝2）＝C×2×4＝，
P（X＝3）＝C×3×3＝，
P（X＝4）＝C×4×2＝，
P（X＝5）＝C×5×＝，
P（X＝6）＝C×6＝，
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
6
P
∴E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.
反思与感悟 将实际问题转化为独立重复试验的概率问题是解决二项分布问题的关键．
二项分布满足的条件
①每次试验中，事件发生的概率是相同的；
②每次试验中的事件是相互独立的；
③每次试验只有两种结果：
事件要么发生，要么不发生；
④随机变量X是这n次独立重复试验中某事件发生的次数．
跟踪训练2 某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率都是.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：
（1）求ξ＝2时的概率；
（2）求ξ的均值．
解
（1）依题意知：
ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是，故ξ＝2时的概率P＝C（）2（）2＝.
（2）方法一 ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，
依题意知：
P（ξ＝k）＝C（）k（）4－k（k＝0,1,2,3,4）．
∴ξ的概率分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
∴E（ξ）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
方法二 ∵ξ服从二项分布，即ξ～B（4，），
∴E（ξ）＝4×＝.
题型三 离散型随机变量均值的应用
例3 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．
（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和均值．
解 记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P（E）＝，P（）＝，P（F）＝，
P（）＝，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．
（1）记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则＝，于是P（）＝P（）P（）＝×＝，
故所求的概率为P（H）＝1－P（）＝1－＝.
（2）设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0,100,120,220.因为P（X＝0）＝P（）＝×＝，
P（X＝100）＝P（F）＝×＝，
P（X＝120）＝P（E）＝×＝，
P（X＝220）＝P（EF）＝×＝，
故所求的分布列为
X
0
100
120
220
P
均值为E（X）＝0×＋100×＋120×＋220×＝140.
反思与感悟 解答此类题目时，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应概率．
跟踪训练3 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家独立地对每位学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”和“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．令ξ表示该公司的资助总额．
（1）写出ξ的分布列；
（2）求均值E（ξ）．
解
（1）ξ的所有取值为0,5,10,15,20,25,30.
P（ξ＝0）＝，P（ξ＝5）＝，P（ξ＝10）＝，P（ξ＝15）＝，P（ξ＝20）＝，P（ξ＝25）＝，P（ξ＝30）＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
5
10
15
20
25
30
P
（2）E（ξ）＝0×＋5×＋10×＋15×＋20×＋25×＋30×＝15.
求分布列或均值的计算错误
例4 某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为，求此人试验次数ξ的均值．
错解 试验次数ξ的可能取值为ξ＝1,2,3，
P（ξ＝1）＝，
P（ξ＝2）＝×＝，
P（ξ＝3）＝××＝.
所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
所以E（ξ）＝1×＋2×＋3×＝.
错因分析 上述解答错误的主要原因是没有明确随机变量ξ取值的意义，ξ＝1表示第一次试验就成功，ξ＝2表示第一次失败，第二次成功，由于实验最多进行3次，所以ξ＝3表示前两次失败，第三次可能成功也可能失败．
所以P（ξ＝3）＝××＝.
正解 试验次数ξ的可能取值为ξ＝1,2,3，
P（ξ＝1）＝，
P（ξ＝2）＝×＝，
P（ξ＝3）＝××＝.
所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
所以E（ξ）＝1×＋2×＋3×＝.
点评 在求随机变量取各值的概率时，务必理解各取值的实际意义，以免失误．
上述错误也可以利用分布列的性质：
（1）Pi≥0（i＝1,2,3，…，n），
（2）i＝1来检验．
P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝≠1.
1．设随机变量X～B（40，p），且E（X）＝16，则p等于（ ）
A．0.1B．0.2
C．0.3D．0.4
答案 D
解析 ∵E（X）＝16，∴40p＝16，∴p＝0.4.故选D.
2.现在有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机无放回地抽取3张奖券，则此人得奖金额的数学期望为（ ）
A.6B.C.D.9
答案 B
解析 设此人得奖金额为X，则X的可能取值为6，9，12.
P（X＝6）＝＝，P（X＝9）＝＝，P（X＝12）＝＝，所以E（X）＝6×＋9×＋12×＝，故选B.
3．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的均值为（ ）
A．0.6B．1C．3.5D．2
答案 C
解析 抛掷骰子所得点数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
6
P
所以，E（ξ）＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝（1＋2＋3＋4＋5＋6）×＝3.5.
4．甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，则甲回家途中遇红灯次数的均值为________．
答案
解析 设甲回家途中遇红灯次数为X，则X～B.故甲回家途中遇红灯次数的均值为E（X）＝3×＝.
1.求离散型随机变量均值的步骤：
（1）确定离散型随机变量X的取值；
（2）写出分布列，并检查分布列的正确与否；
（3）根据公式求出均值．
2．若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E（Y）＝aE（X）＋b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值．
一、选择题
1．已知X的分布列为
X
－1
0
1
2
P
则X的均值为（ ）
A．0B．－1C.D.
答案 D
解析 E（X）＝－1×＋0×＋1×＋2×＝.
2．已知ξ～B（n，），η～B（n，），且E（ξ）＝15，则E（η）等于（ ）
A．5B．10C．15D．20
答案 B
解析 ∵E（ξ）＝n＝15，∴n＝30，
∴η～B（30，），∴E（η）＝30×＝10.
3．已知某一随机变量X的分布列如下，且E（X）＝6.3，则a的值为（ ）
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A.5B．6C．7D．8
答案 C
解析 由题意和分布列的性质得0.5＋0.1＋b＝1，
且E（X）＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，
解得b＝0.4，a＝7.
4．口袋中有编号分别为1、2、3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，取出的球的最大编号X的均值为（ ）
A.B.C．2D.
答案 D
解析 X可能取值为2,3.
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝.
所以E（X）＝×2＋×3＝＋2＝.故选D.
5．在某校篮球队的首轮选拔测试中，参加测试的5名同学的投篮命中率分别为，，，，，每人均有10次投篮机会，至少投中6次才能晋级下一轮测试．假设每人每次投篮相互独立，则晋级下一轮的大约有（ ）
A．2人B．3人C．4人D．5人
答案 B
解析 5名同学投篮各10次，相当于各做了10次独立重复试验，他们投中的次数服从二项分布，则他们投中的期望10×＝6,10×<6,10×>6,10×>6,10×<6，故晋级下一轮的大约有3人．
6．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值E（X）等于（ ）
A.B.C.D.
答案 B
解析 根据题意易知X＝0,1,2,3.分布列如下：
X
0
1
2
3
P
所以E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.故选B.
7.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，a，b，c∈（0，1），已知他投篮得分的数学期望是2，则＋的最小值为（ ）
A.B.
C.D.
答案 D
解析 由数学期望的定义可知3a＋2b＝2，所以＋＝（3a＋2b）·＝≥＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取得等号，故选D.
二、填空题
8．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E（X）＝________.
答案 1.75
解析 P（X＝0）＝（1－0.9）×（1－0.85）＝0.1×0.15＝0.015；
P（X＝1）＝0.9×（1－0.85）＋0.85×（1－0.9）＝0.22；
P（X＝2）＝0.9×0.85＝0.765.
∴E（X）＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.
9．设随机变量X的分布列为P（X＝k）＝C·（）k·（）300－k（k＝0,1,2，…，300），则E（X）＝________.
答案 100
解析 由P（X＝k）＝C·（）k·（）300－k，
可知X～B（300，），∴E（X）＝300×＝100.
10.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________.
答案
解析 由题意知，试验成功的概率p＝，故X～B，所以E（X）＝2×＝.
11．某电视台智力闯关游戏节目中，准备从甲、乙、丙三名幸运观众中确定一人免费参加“台湾十日游”活动，方案是：
甲、乙两人轮流抛掷一对骰子，甲先掷，乙后掷，然后甲再掷，…，规定先得到两颗骰子点数之和等于7的一方获得免费参加“台湾十日游”活动，一旦决出胜负游戏便结束，且限定每人最多掷两次，若甲、乙均未获得，则由丙获得，则游戏结束时抛掷次数ξ的均值为________．
答案
解析 抛掷一次出现的点数共有6×6＝36种不同结果，其中“点数之和为7”包含了（1,6），（2,5），（3,4），（4,3），（5,2），（6,1）共6个结果，
∴抛掷一次出现的点数之和为7的概率为＝.
∵ξ可取1,2,3,4，
P（ξ＝1）＝，
P（ξ＝2）＝×＝，
P（ξ＝3）＝2×＝，
P（ξ＝4）＝3×1＝，
∴ξ的概率分布列为：
ξ
1
2
3
4
P
∴E（ξ）＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
三、解答题
12．若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137,359,567等）．
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次．得分规则如下：
若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得－1分，若能被10整除，得1分．
（1）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
（2）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和均值E（X）．
解
（1）个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.
（2）根据题意，知全部“三位递增数”的个数为C＝84，随机变量X的可能取值为0，－1,1，因此
P（X＝0）＝＝，
P（X＝－1）＝＝，
P（X＝1）＝1－－＝.
所以X的分布列为
X
0
－1
1
P
则E（X）＝0×＋（－1）×＋1×＝.
13.乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：
回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响．求：
（1）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（2）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与均值．
解
（1）记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”（i＝0,1,3），
则P（A3）＝，P（A1）＝，P（A0）＝1－－＝.
记Bj为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为j分”（j＝0,1,3），
则P（B3）＝，P（B1）＝，P（B0）＝1－－＝.
记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．
由题意，D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3，
由事件的独立性和互斥性，得
P（D）＝P（A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3）
＝P（A3B0）＋P（A1B0）＋P（A0B1）＋P（A0B3）
＝P（A3）P（B0）＋P（A1）P（B0）＋P（A0）P（B1）＋P（A0）P（B3）
＝×＋×＋×＋×＝，
所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.
（2）由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6，
由事件的独立性和互斥性，得
P（ξ＝0）＝P（A0B0）＝×＝，
P（ξ＝1）＝P（A1B0＋A0B1）＝P（A1B0）＋P（A0B1）
＝×＋×＝，
P（ξ＝2）＝P（A1B1）＝×＝，
P（ξ＝3）＝P（A3B0＋A0B3）＝P（A3B0）＋P（A0B3）＝×＋×＝，
P（ξ＝4）＝P（A3B1＋A1B3）＝P（A3B1）＋P（A1B3）＝
×＋×＝，
P（ξ＝6）＝P（A3B3）＝×＝.
可得随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
6
P
所以均值E（ξ）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.
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