高中数学抛物线测试题.docx
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高中数学抛物线测试题
高中数学-抛物线测试题
一、选择题
1.抛物线按向量e平移后的焦点坐标为（3，2），则平移后的抛物线顶点坐标为（ ）
A．（4，2） B．（2，2） C．（－2，－2） D．（2，3）
2.已知双曲线C：
的左准线为，右焦点为F，以为准线，F为焦点的抛物线与双曲线C的一个交点为P，则|PF|等于 A. B.9 C.16 D.32
3.抛物线上一点的纵坐标为４，则点与抛物线焦点的距离为
（A）２ （B）３（C）４ （D）５
4.抛物线的焦点到准线的距离为 （ ）
A．2 B． C．4 D．8
5.抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
6.点到曲线（其中参数）上的点的最短距离为
（A）0 （B）1 （C） （D）2
7.设抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过作它的弦.若，则的长为 （ ）
A. B. C. D.
8.准线方程为x=3的抛物线的标准方程为 （ ）
A．y2=－6x B．y2=6x C．y2=－12x D．y2=12x
9.设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为（ ）A． B． C． D．
10.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为
. . . .
11.已知抛物线
，过点
）作倾斜角为
的直线
，若
与抛物线交于
、
两点，弦
的中垂线交
轴于点
，则线段
的长为（）
A.
B.
C.
D.
12.如图，F为抛物线
的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，
若
，则
等于
A．6B．4C．3D．2
二、填空题
13.抛物线
的焦点到准线的距离是.
14.已知抛物线，圆与轴相切于点，圆心在抛物线上，圆在轴上截得的弦长为，则的坐标为 ；
15.已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．
16.设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为________.
三、解答题
17.已知抛物线
：
上一点
到其焦点
的距离为
．（I）求
与
的值；
（II）设抛物线
上一点
的横坐标为
，过
的直线交
于另一点
，交
轴于点
，过点
作
的垂线交
于另一点
．若
是
的切线，求
的最小值．
18.
已知抛物线：
，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．（Ⅰ）证明：
抛物线在点处的切线与平行；
（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
19.
如图，曲线G的方程为y2=20（y≥0）.以原点为圆心，以t（t>0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.
（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；
（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：
直线CD的斜率为定值.
20.
如图，已知点F（1，0），直线l:
x=-1,P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且·（I）求动点P的轨迹C的方程;
（II）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M.
（1）已知的值;
（2）求||·||的最小值.
答案
一、选择题
1.答案：
2.答案：
B
3.答案：
D
4.答案：
C
5.答案：
A
6.答案：
B
7.答案：
A
8.答案：
C
9.答案：
B
解析：
（利用圆锥曲线的第二定义）过A作轴于D，令，
则，，。
10.答案：
C
11.A
12.A
二、填空题
13.解析：
焦点
（1，0），准线方程
，∴焦点到准线的距离是2
14.答案：
15.【解析】 2 由抛物线的焦点坐标为为坐标原点得，，
则与坐标轴的交点为，则以这三点围成的三角形的面积为。
16.答案：
解析：
过A作轴于D，令，则，，。
三、解答题
17.解析：
（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：
，根据抛物线定义
点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得
抛物线方程为：
，将代入抛物线方程，解得
（Ⅱ）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为。
则，当 则。
联立方程，整理得：
即：
，解得或
，而，直线斜率为
，联立方程
整理得：
，即：
，解得：
，或
，
而抛物线在点N处切线斜率：
MN是抛物线的切线，，整理得
，解得（舍去），或，
18.解法一：
（Ⅰ）如图，
设，，把代入得，
由韦达定理得，，
，点的坐标为．
设抛物线在点处的切线的方程为，
将代入上式得，
直线与抛物线相切，
，．
即．
（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，
．
由（Ⅰ）知
．
轴，．
又
．
，解得．
即存在，使．
解法二：
（Ⅰ）如图，设，把代入得
．由韦达定理得．
，点的坐标为．，，
抛物线在点处的切线的斜率为，．
（Ⅱ）假设存在实数，使．
由（Ⅰ）知，则
，
，，解得．
即存在，使．
19.本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．本小题满分12分．
解析：
（Ⅰ）由题意知，．
因为，所以．
由于，故有．
（1）
由点的坐标知，
直线的方程为．
又因点在直线上，故有，
将
（1）代入上式，得，
解得．
（Ⅱ）因为，所以直线的斜率为
．
所以直线的斜率为定值．
20.本小题考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分.
解析：
解法一：
（I）设点P（x,y）,则Q（-1，y）,由得：
（x+1,0）·（2,-y）=（x-1,y）·（-2,y）,化简得C：
y2=4x.
（II）
（1）设直线AB的方程为：
x=my+1（m≠0）.
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,又M（-1,-）.
联立方程组,消去x得：
y2-4my-4=0,
△ =（-4m）2+12>0,
由得：
，整理得：
∴
=
=-2-
=0.
解法二：
（I）由
∴·，
∴=0,
∴
所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：
y2=4x.
（II）
（1）由已知
则：
…………①
过点A、B分别作准l的垂线，垂足分别为A1、B1,
则有：
…………②
由①②得：
（II）
（2）解：
由解法一：
·＝（）2|y1-yM||y2-yM|
=（1+m2）|y1y2-yM（y1+y2）|+yM2|
=（1+m2）|-4+ ×4m+|
=
=4（2+m2+） 4（2+2）=16.
当且仅当，即m=1时等号成立，所以·最小值为16.
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