高中数学抛物线解题方法总结归纳Word文件下载.docx
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5一般情况归纳：
方程
图象
焦点
准线
定义特征
y2=kx
k>
0时开口向右
（k/4,0）
x=─k/4
到焦点（k/4,0）的距离等于到准线x=─k/4的距离
k<
0时开口向左
x2=ky
0时开口向上
（0,k/4）
y=─k/4
到焦点（0,k/4）的距离等于到准线y=─k/4的距离
0时开口向下
题型讲解例1根据下列条件填空：
（1）过点（－3，2）的抛物线方程为；
y2=－x或x2=y，
（2）焦点在直线x－2y－4=0上的抛物线方程为y2=16x或x2=－8y，
（3）抛物线的焦点坐标为 ；
（4）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上的点到焦点F的距离为5，则抛物线方程为 ；
或或.
（5）已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,M点坐标是
例2．斜率为1的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于两点,求线段的长．
解：
法一 通法
法二设直线方程为，，
则由抛物线定义得，
又是抛物线与直线的交点，由得，
则，所以．
例3．求证：
以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切．
证明：
（法一）设抛物线方程为，则焦点，准线．设以过焦点的弦为直径的圆的圆心，、、在准线上的射影分别是、、，
则，
又，
∴，即为以为直径的圆的半径，且准线，∴命题成立．
（法二）设抛物线方程为，则焦点，准线．过点的抛物线的弦的两个端点，，线段的中点，则，
∴以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径．
点到准线的距离，∴圆与准线相切．
例4．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长．
设正三角形的顶点、在抛物线上，
且设点，，则，
，又，所以，
即，
．
∵，，，∴．
由此可得，即线段关于轴对称．
因为轴垂直于，且，所以．
∵，∴，∴．
例5A,B是抛物线y2=2px（p>
0）上的两点，满足OA^OB（O为坐标原点）求证：
（1）A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；
（2）直线AB经过一个定点
（1）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则y12=2px1,y22=2px2,
∴y12y22=4p2x1x2,
∵OA^OB,∴x1x2+y1y2=0,
由此即可解得：
x1x2=4p2,y1y2=─4p2（定值）
（2）直线AB的斜率k===,
∴直线AB的方程为y─y1=（x─）,
即y（y1+y2）─y1y2=2px,由
（1）可得y=（x─2p）,
直线AB过定点C（2p,0）
例6．定长为3的线段的两端点在抛物线上移动，设点为线段的中点，求点到轴的最小距离．
抛物线焦点，准线：
设点、、在准线上的射影分别是
、、，设点，
又，，
∴，所以，即的最小值是．
∴点到轴的最小距离是，当且仅当过点是取得最小距离
例7设抛物线y2=2px（p>
0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴证明直线AC经过原点O
分析：
证直线AC经过原点O，即证O、A、C三点共线，为此只需证kOC=kOA本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决
证法一：
设AB：
x=my+，代入y2=2px，得y2－2pmy－P2=0
由韦达定理，得yAyB=－p2，
即yB=－
∵BC∥x轴，且C在准线x=－上，
∴C（－，yB）
则kOC====kOA
故直线AC经过原点O
证法二：
如图，记准线l与x轴的交点为E，过A作AD⊥l，垂足为D
则AD∥EF∥BC连结AC交EF于点N，
则==，=
∵|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，
∴|EN|===|NF|，
即N是EF的中点从而点N与点O重合，故直线AC经过原点O
点评：
本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到yA·
yB=－p2这个重要结论还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目
例8、已知抛物线，点A（2,3），F为焦点，若抛物线上的动点到A、F的距离之和的最小值为，求抛物线方程.
分析：
在解析几何中，关于到两个定点的距离之和的最小值（或距离之差的最大值）问题，运用纯代数方法解，导致复杂运算，因而常运用几何方法与相关曲线的定义。
解：
注意到抛物线开口大小的不确定性
（1）当点A和焦点F在抛物线的异侧时，由三角形性质得
∴
∴，解得p=2或p=6。
注意到p=6时，抛物线方程为，此时若x=2，则，与点A所在区域不符合；
当p=2时，抛物线方程为，当x=2时，，符合此时的情形。
（2）当点A和焦点F在抛物线的同侧时（如图），作MN⊥准线l于点N，，
得 ∴
∴，解得 易验证抛物线符合此时情形。
于是综合
（1）、
（2）得所求抛物线方程为或.
点评：
求解此题有两大误区：
一是不以点A所在的不同区域分情况讨论，二是在由
（1）（或
（2））导出抛物线方程后不进行检验。
事实上，在这里不论是A在什么位置，总得成立，本题进行的检验是必要的.
例9已知抛物线与直线相交于A、B两点,
①求证;
;
②当的面积等于时,求的值
分析:
根与系数的关系、弦长公式或应用向量解题。
证明:
①设;
由A,N,B共线
又
解②由得
解法2:
由OM^AB知点M的轨迹是以原点和点（2p,0）为直径的圆（除去原点）立即可求出
学生练习
1抛物线的焦点坐标为（）
ABCD
答案:
A解析:
从初中学的抛物线（二次函数）到高中的抛物线
2已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,M点坐标是
ABCD答案:
C
解析:
把转化为M到准线的距离,然后求的最小值
3过抛物线的焦点作直线交抛物线于,若,那么等于（）
A10B8C6D4
B解析:
4抛物线顶点在原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线上,则其方程为（）
A或B或
C或D不确定
C解析:
解直线与两轴交点坐标,进而求
5过点（0,2）与抛物线只有一个公共点的直线有（）
A1条B2条C3条D无数条
C解析:
相切与相交均能产生一个公共点
6一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分,它的方程为,在杯内放一个玻璃球,要使球触及到杯的底部,则玻璃球的半径的范围为（）
ABCD
设圆心A（0,t）,抛物线上的点为P（x,y）,列出转化为二次函数问题
7抛物线的动弦AB长为,则AB中点M到轴的最短距离是（）
ABCD
D解析:
可证弦AB通过焦点F时,所求距离最短
8直线过抛物线的焦点,并且与轴垂直,若被抛物线截得的线段长为4,则（）
A4B2CD
A解析:
所截线段长恰为通径
9过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q,则等于（）
ABCD
C解析:
考虑特殊位置,令焦点弦PQ平行于轴,
10设抛物线的轴和它的准线交于E点,经过焦点F的直线交抛物线于P、Q两点（直线PQ与抛物线的轴不垂直）,则与的大小关系为（）
AB
CD不确定
答案:
向量解法:
由A、F、B共线得（重要结论）,进而得出
11已知抛物线上一定点和两动点P、Q,当P点在抛物线上运动时,,则点Q的横坐标的取值范围是（）
ABC[-3,-1]D
D
12过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,则（）
ABCD
因为A、F、B三点共线所以
13在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为
AB1C2D4
答案：
C解析：
抛物线的准线方程为x=－，由抛物线的定义知4+=5，解得P=2
14设a≠0，a∈R，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为
A（a，0）B（0，a）C（0，）D随a符号而定
C解析：
化为标准方程
15以抛物线y2＝2px（p＞0）的焦半径｜PF｜为直径的圆与y轴位置关系为
A相交B相离C相切D不确定
利用抛物线的定义
16以椭圆+=1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A、B两点，则|AB|的值为___________
中心为（0，0），左准线为x=－，所求抛物线方程为y2=x又椭圆右准线方程为x=，联立解得A（，）、B（，－）
∴|AB|=
17对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）
能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________（要求填写合适条件的序号）
解析：
由抛物线方程y2=10x可知②⑤满足条件
②⑤
18抛物线的焦点弦AB,求的值
解:
由得
19设一动直线过定点A（2,0）且与抛物线相交于B、C两点,点
B、C在轴上的射影分别为,P是线段BC上的点,且适合,求的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形
设,
由得
①
又代入①式得②
由得代入②式得:
由得或,又由①式知关于是减函数且
且
所以Q点轨迹为一线段（抠去一点）:
（且）
16已知抛物线,焦点为F,一直线与抛物线交于A、B两点,且,且AB的垂直平分线恒过定点S（6,0）
①求抛物线方程;
②求面积的最大值
①设,AB中点
又得
所以依题意,
抛物线方程为
②由及,
令得
又由和得:
14
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