届北师大版文科数学推理与证明 单元测试.docx
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届北师大版文科数学推理与证明单元测试
自检14：
推理与证明
A组 高考真题集中训练
推理与证明
1．（2017·全国卷Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：
你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：
我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
解析：
由甲说“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．
答案：
D
2．（2016·北京高考）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
解析：
法一：
取两个球往盒子中放有4种情况：
①红＋红，则乙盒中红球数加1；
②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；
③红＋黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1；
④黑＋红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1.
因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．
③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．
①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．
综上，选B．
法二：
若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C；故选B．
答案：
B
3．（2016·全国甲卷）有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：
“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：
“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
解析：
法一：
由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.
若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；
若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．
故甲的卡片上的数字是1和3.
法二：
因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.
答案：
1和3
4．（2016·山东高考）观察下列等式：
－2＋
－2＝
×1×2；
－2＋
－2＋
－2＋
－2＝
×2×3；
－2＋
－2＋
－2＋…＋
－2＝
×3×4；
－2＋
－2＋
－2＋…＋
－2＝
×4×5；
……
照此规律，
－2＋
－2＋
－2＋…＋
－2＝________.
解析：
通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的
是个固定数，
后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，
后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为
×n×（n＋1），即
n（n＋1）．
答案：
n（n＋1）
5．（2014·全国卷Ⅰ）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：
我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：
我没去过C城市；
丙说：
我们三人去过同一个城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
解析：
由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．
答案：
A
6．（2017·北京卷）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
①男学生人数多于女学生人数；
②女学生人数多于教师人数；
③教师人数的两倍多于男学生人数．
（1）若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________；
（2）该小组人数的最小值为________．
解析：
（1）若教师人数为4，则男学生人数小于8，最大值为7，女学生人数最大时应比男学生人数少1人，所以女学生人数的最大值为7－1＝6.
（2）设男学生人数为x（x∈N＋），要求该小组人数的最小值，则女学生人数为x－1，教师人数为x－2.又2（x－2）>x，解得x>4，即x＝5，该小组人数的最小值为5＋4＋3＝12.
答案：
6 12
B组 高考对接限时训练（十四）
（时间：
35分钟 满分70分）
一、选择题：
本大题共10个小题，每小题5分，共50分．
1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：
至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．
答案：
A
2．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（ ）
A．大前提：
无限不循环小数是无理数；小前提：
π是无理数；结论：
π是无限不循环小数
B．大前提：
无限不循环小数是无理数；小前提：
π是无限不循环小数；结论：
π是无理数
C．大前提：
π是无限不循环小数；小前提：
无限不循环小数是无理数；结论：
π是无理数
D．大前提：
π是无限不循环小数；小前提：
π是无理数；结论：
无限不循环小数是无理数
解析：
A中小前提不正确，C、D都不是由一般性结论到特殊性结论的推理，所以A、C、D都不正确，只有B的推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确．
答案：
B
3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：
“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证
<
a”的索因应是（ ）
A．a－b>0 B．a－c>0
C．（a－b）（a－c）>0 D．（a－b）（a－c）<0
解析：
由a>b>c，且a＋b＋c＝0可得b＝－a－c，a>0，c<0.要证
<
a，只要证（－a－c）2－ac<3a2，即证a2－ac＋a2－c2>0，即证a（a－c）＋（a＋c）·（a－c）>0，即证a（a－c）－b（a－c）>0，即证（a－c）·（a－b）>0.故求证“
<
a”索的因应是（a－c）（a－b）>0，故选C．
答案：
C
4．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一个人说了真话，只有一人偷了珠宝．甲：
我没有偷；乙：
丙是小偷；丙：
丁是小偷；丁：
我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（ ）
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：
假如甲说了真话，则乙、丙、丁都说了假话，那么丙不是小偷，丁不是小偷，丁偷了珠宝，显然矛盾，故甲说了假话，即甲是小偷，故选A．
答案：
A
5．已知“整数对”按如下规律排列：
（1,1），（1,2），（2,1），（1,3），（2,2），（3,1），（1,4），（2,3），（3,2），（4,1），…，则第70个“整数对”为（ ）
A．（3,9） B．（4,8）
C．（3,10） D．（4,9）
解析：
因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是（1,12），第68个“整数对”是（2,11），第69个“整数对”是（3,10），第70个“整数对”是（4,9）．故选D．
答案：
D
6．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：
4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：
3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：
1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：
4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ）
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：
若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确，所以选D．
答案：
D
7．两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是（ ）
A．48,49 B．62,63
C．75,76 D．84,85
解析：
由已知图形中座位的排列顺序，可得：
被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D符合条件．
答案：
D
8．已知结论：
“在正△ABC中，若D是边BC的中点，G是△ABC的重心，则
＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：
“在棱长都相等的四面体A－BCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则
等于（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：
如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM＝
，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等积法有4×
×
r＝
×
×
⇒r＝
，故AO＝AM－MO＝
－
＝
，
故AO∶OM＝
∶
＝3∶1.
答案：
C
9．（2017·广州模拟）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”．
1 2 3 4 5…2013 2014 2015 2016
3 5 7 9…………4027 4029 4031
8 12 16………………8056 8060
20 28……………………16116
………………………………
该表由若干行数字组成，从第二行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ）
A．2017×22013 B．2017×22014
C．2016×22015 D．2016×22014
解析：
当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为3＝3×1＝3×20；
当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为8＝4×2＝4×21；
当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为20＝5×4＝5×22；
当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为48＝6×8＝6×23；
归纳推理得，当第一行为2016个数时，最后一行仅一个数，为2017×22014.故选B．
答案：
B
10．“一支医疗救援队里的医生和护士，包括我在内，总共是13名，下面讲到人员情况，无论是否把我计算在内，都不会有任何变化，在这些医务人员中：
①护士不少于医生；②男医生多于女护士；③女护士多于男护士；④至少有一位女医生．”由此推测这位说话人的性别和职务是（ ）
A．男护士 B．女护士
C．男医生 D．女医生
解析：
设女护士人数为a，男护士人数为b，女医生人数为c，男医生人数为d，则有：
（一）a＋b≥c＋d
（二）d＞a
（三）a＞b
（四）c≥1
得出：
d＞a＞b＞c≥1，
假设：
c＝1，仅有：
a＝4，b＝3，d＝5，c＝1时符合条件，
又因为使a、b、c、d中一个数减一符合条件，只有b－1符合，即男护士；假设：
c＞1，则没有能满足条件的情况.综上，这位说话的人是男护士，故选A．
答案：
A
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分．共20分．
11．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，观察下列等式：
[
]＋[
]＋[
]＝3，
[
]＋[
]＋[
]＋[
]＋[
]＝10，
[
]＋[
]＋[
]＋[
]＋[
]＋[
]＋[
]＝21，
…
按照此规律第n个等式的等号右边的结果为________．
解析：
因为[
]＋[
]＋[
]＝1×3，
[
]＋[
]＋[
]＋[
]＋[
]＝2×5，
[
]＋[
]＋[
]＋[
]＋[
]＋[
]＋[
]＝3×7，
…，
以此类推，第n个等式的等号右边的结果为n（2n＋1），即2n2＋n.
答案：
2n2＋n
12．（2017·临沂一模）对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：
23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是31，则m的值为________．
解析：
∵23＝3＋5，是从3开始的2个奇数的和；33＝7＋9＋11，是从5的下一个奇数7开始的3个奇数的和；…；而31之前除了1以外的奇数有15个，又2＋3＋4＋5＝14，∴63＝31＋33＋35＋37＋39＋41.故m的值应为6.
答案：
6
13．如图，在单位圆中，用三角形的重心公式G
研究内接正三角形ABC（点A在x轴上），有结论：
cos0＋cos
＋cos
＝0.有位同学，把正三角形ABC按逆时针方向旋转α角，这时，可以得到的一个结论是__________．
解析：
在把正三角形ABC按逆时针方向旋转α角的过程中，三个角始终相差
，所以得到cosα＋cos
＋cos
＝0.
答案：
cosα＋cos
＋cos
＝0
14．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子（每层三角形边茭草束数，等价于层数）几何？
”中探讨了“垛枳术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，……，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层茭草束数），则本问题中三角垛底层茭草总束数为________．
解析：
由题意，第n层茭草束数为
1＋2＋…＋n＝
，
∴1＋3＋6＋…＋
＝680，
即为
＝
n（n＋1）（n＋2）＝680，
即有n（n＋1）（n＋2）＝15×16×17，
∴n＝15，∴
＝120.
答案：
120
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