数列推理与证明.docx

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数列推理与证明

高中数学学习材料

金戈铁骑整理制作

数列、推理与证明

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（2013·黄冈模拟）集合M＝{y|y＝lg（x2＋1），x∈R}，集合N＝{x|4x＞4，x∈R}，则M∩N等于（　　）

A．[0，＋∞）　　　　　B．[0,1）

C．（1，＋∞）D．（0,1]

【解析】　由x2＋1≥1知lg（x2＋1）≥0，所以M＝{y|y≥0}，由4x＞4知x＞1，所以N＝{x|x＞1}，

所以M∩N＝{x|x＞1}，故选C.

【答案】　C

2．如果命题“綈（p∧q）”是真命题，则（　　）

A．命题p、q均为假命题

B．命题p、q均为真命题

C．命题p、q中至少有一个是真命题

D．命题p、q中至多有一个是真命题

【解析】　命题“綈（p∧q）”是真命题，则命题“p∧q”是假命题，则命题p、q中至多有一个是真命题，故选D.

【答案】　D

3．（2013·宁波模拟）等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，使得an＞0的最小正整数n为（　　）

A．7　　　B．8　　　　

C．9　　　D．10

【解析】　由S13＝＝0得a1＋a13＝2a7＝0，所以a7＝0，又a1＝－12，故n≥8时，an＞0.

【答案】　B

4．（2013·课标全国卷Ⅱ）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝（　　）

A.B．－

C.D．－

【解析】　设公比为q，∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，

∴∴

解得a1＝，故选C.

【答案】　C

5．下列函数中与函数y＝－3|x|奇偶性相同且在（－∞，0）上单调性也相同的是（　　）

A．y＝－B．y＝log2|x|

C．y＝1－x2D．y＝x3－1

【解析】　函数y＝－3|x|是偶函数且在（－∞，0）是增函数，故选C.

【答案】　C

6．（2013·大纲全国卷）已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于（　　）

A．－6（1－3－10）B.（1－3－10）

C．3（1－3－10）D．3（1＋3－10）

【解析】　由3an＋1＋an＝0，得＝－，故数列{an}是公比q＝－的等比数列．又a2＝－，可得a1＝4.所以S10＝＝3（1－3－10）.

【答案】　C

7．已知向量a、b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·（2a＋b）的值为（　　）

A．48B．32

C．1D．0

【解析】　b·（2a＋b）＝2a·b＋b2＝2×4×4×cos120°＋42＝0.

【答案】　D

8．已知f（x）＝＋log2，则f＋f＋…＋f的值为（　　）

A．1B．2C．2013D．2014

【解析】　对任意0＜x＜1，可得f（x）＋f（1－x）＝.

设S＝f＋f＋…＋f

则S＝f＋f＋…＋f

于是2S＝＋

＋…＋[f＋f]

＝×2013＝2，所以S＝1.

【答案】　A

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上）

9．已知角α的终边与单位圆交于点，则sin2α的值为________．

【解析】　由已知得sinα＝，cosα＝－，

所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－.

【答案】　－

10．（2013·昆明模拟）已知数列{an}中a1＝1，a2＝2，当整数n＞1时，Sn＋1＋Sn－1＝2（Sn＋S1）都成立，则S15等于________．

【解析】　由Sn＋1＋Sn－1＝2（Sn＋S1）得，（Sn＋1－Sn）－（Sn－Sn－1）＝2S1＝2，即an＋1－an＝2（n≥2），数列{an}从第二项起构成等差数列，S15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.

【答案】　211

11．（2013·东城模拟）在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1（n∈N*）的个位数，则a2013的值是________．

【解析】　a1a2＝2×7＝14，所以a3＝4,4×7＝28，所以a4＝8,4×8＝32，所以a5＝2,2×8＝16，所以a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8，a11＝2，所以从第三项起，an成周期排列，周期数为6,2013＝335×6＋3，所以a2013＝a3＝4.

【答案】　4

12．由直线y＝2与函数y＝2cos2（0≤x≤2π）的图象围成的封闭图形的面积为________．

【解析】　y＝2cos2＝cosx＋1，则所求面积为

S＝∫dx＝（x－sinx）|＝2π.

【答案】　2π

13．（2013·潍坊模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB＋bcosA＝csinC，b2＋c2－a2＝bc，则角B＝________.

【解析】　由b2＋c2－a2＝bc得cosA＝＝，所以A＝30°.

由acosB＋bcosA＝csinC得

sinAcosB＋cosAsinB＝sin2C，

即sin（A＋B）＝sin2C，

所以sinC＝sin2C.

因为0°＜C＜180°，

所以sinC＝1，

即C＝90°，

所以B＝60°.

【答案】　60°

14．（2013·淄博模拟）如图1，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n（n≥2）行的第2个数为________．

图1

【解析】　由已知得第n（n≥2）行的第2个数为3＋3＋5＋7＋…＋[2（n－2）＋1]＝3＋＝n2－2n＋3.

【答案】　n2－2n＋3

15．（2013·孝感模拟）现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10cm，最下面的三节长度之和为114cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝________.

【解析】　设对应的数列为{an}，公差为d（d＞0）．由题意知a1＝10，an＋an－1＋an－2＝114，a＝a1an，由an＋an－1＋an－2＝114得3an－1＝114，解得an－1＝38，（a1＋5d）2＝a1（an－1＋d），即（10＋5d）2＝10（38＋d），解得d＝2，所以an－1＝a1＋（n－2）d＝38，即10＋2（n－2）＝38，解得n＝16.

【答案】　16

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）（2013·安徽高考）设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N*，函数f（x）＝x＋an＋1cosx－an＋2sinx满足f′＝0.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bn＝2，求数列{bn}的前n项和Sn.

【解】　

（1）由题设可得f′（x）＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sinx－an＋2cosx.

对任意n∈N*，f′（）＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0，

即an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列．

由a1＝2，a2＋a4＝8解得{an}的公差d＝1，

所以an＝2＋1·（n－1）＝n＋1.

（2）由bn＝2＝2＝2n＋＋2知，

Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2n＋2·＋＝n2＋3n＋1－.

17．（本小题满分12分）（2013·佛山模拟）在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边，角α的终边与单位圆O的交点B在第一象限，已知A（－1,3）．

（1）若OA⊥OB，求tanα的值；

（2）若B点横坐标为，求S△AOB.

【解】　

（1）由题可知：

A（－1,3），B（cosα，sinα），

＝（－1,3），＝（cosα，sinα），

由OA⊥OB，得·＝0，

∴－cosα＋3sinα＝0，tanα＝.

（2）∵cosα＝，∴sinα＝＝，即B，

∴＝（－1,3），＝，

∴|OA|＝＝，|OB|＝1，

得cos∠AOB＝＝＝，

∴sin∠AOB＝＝，

则S△AOB＝|AO||BO|sin∠AOB＝××1×＝.

18．（本小题满分12分）（2013·青岛模拟）已知数列{an}满足a1＝1，a1＋a2＋…＋an－1－an＝－1（n≥2且n∈N*）．

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）令dn＝1＋loga（a＞0，a≠1），记数列{dn}的前n项和为Sn，若恒为一个与n无关的常数λ，试求常数a和λ.

【解】　

（1）由题知a1＋a2＋…＋an－1－an＝－1，①

所以a1＋a2＋…＋an－an＋1＝－1.②

由①－②得：

an＋1－2an＝0，即＝2（n≥2），

当n＝2时，a1－a2＝－1，

因为a1＝1，所以a2＝2，＝2，

所以，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．

故an＝2n－1（n∈N*）．

（2）因为an＝2n－1，

所以dn＝1＋loga＝1＋2nloga2.

因为dn＋1－dn＝2loga2，

所以{dn}是以d1＝1＋2loga2为首项，以2loga2为公差的等差数列，

所以＝

＝＝λ

⇒（λ－4）nloga2＋（λ－2）（1＋loga2）＝0，

因为恒为一个与n无关的常数λ，

所以

解得λ＝4，a＝.

19．（本小题满分13分）某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第1年的维护费用是4万元，从第2年到第7年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第8年开始，每年的维护费用比上年增加25%.

（1）设第n年该生产线的维护费用为an，求an的表达式．

（2）设该生产线前n年的维护费用为Sn，求Sn.

【解】　

（1）由题意知，当n≤7时，数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列，

故an＝4＋（n－1）×2＝2n＋2.

当n≥8时，数列{an}从a7开始构成首项为a7＝2×7＋2＝16，公比为1＋25%＝的等比数列，

则此时an＝16×n－7，

所以an＝

（2）当1≤n≤7时，Sn＝4n＋×2＝n2＋3n，

当n≥8时，由S7＝70，得Sn＝70＋16××

＝80×n－7－10，

所以该生产线前n年的维护费用为

Sn＝

20．（本小题满分13分）（2013·天津模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2（n∈N*），数列{bn}满足b1＝1，且点P（bn，bn＋1）（n∈N*）在直线y＝x＋2上．

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式．

（2）求数列{an·bn}的前n项和Dn.

（3）设cn＝an·sin2－bn·cos2（n∈N*），求数列{cn}的前2n项和T2n.

【解】　

（1）当n＝1时，a1＝2，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，

所以an＝2an－1（n≥2），所以{an}是等比数列，公比为2，首项a1＝2，所以an＝2n，

又点P（bn，bn＋1）（n∈N*）在直线y＝x＋2上，所以bn＋1＝bn＋2，

所以{bn}是等差数列，公差为2，首项b1＝1，所以bn＝2n－1.

（2）由

（1）知an·bn＝（2n－1）×2n，

所以Dn＝1×21＋3×22＋5×23＋7×24＋…＋（2n－3）×2n－1＋（2n－1）×2n，①

2Dn＝1×22＋3×23＋5×24＋7×25＋…＋（2n－3）×2n＋（2n－1）×2n＋1.②

①－②得－Dn＝1×21＋2×22＋2×23＋2×24＋…＋2×2n－（2n－1）×2n＋1

＝2＋2×－（2n－1）×2n＋1

＝（3－2n）2n＋1－6，

则Dn＝（2n－3）2n＋1＋6.

（3）cn＝

T2n＝（a1＋a3＋…＋a2n－1）－（b2＋b4＋…＋b2n）

＝2＋23＋…＋22n－1－[3＋7＋…＋（4n－1）]＝－2n2－n.

21．（本小题满分13分）（2013·杭州模拟）已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－n－1＋2（n∈N*），数列{bn}满足bn＝2nan.

（1）求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式．

（2）设数列的前n项和为Tn，证明：

n∈N*且n≥3时，Tn＞.

（3）设数列{cn}满足an（cn－3n）＝（－1）n－1λn（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有cn＋1＞cn.

【解】　

（1）在Sn＝－an－n－1＋2中，令n＝1，可得S1＝－a1－1＋2＝a1，即a1＝，

当n≥2时，Sn－1＝－an－1－n－2＋2，

所以an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋n－1，

所以2an＝an－1＋n－1，即2nan＝2n－1an－1＋1.

因为bn＝2nan，所以bn＝bn－1＋1，即当n≥2时，bn－bn－1＝1.

又b1＝2a1＝1，所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．

于是bn＝1＋（n－1）·1＝n＝2nan，所以an＝（n∈N*）．

（2）由

（1）得cn＝an＝（n＋1）n，

所以Tn＝2×＋3×2＋4×3＋…＋（n＋1）n，①

Tn＝2×2＋3×3＋4×4＋…＋（n＋1）n＋1.②

由①－②得Tn＝1＋2＋3＋…＋n－（n＋1）n＋1

＝1＋－（n＋1）n＋1

＝－，

所以Tn＝3－，