高考数学试题分析暨届高三数学复习建议.docx
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高考数学试题分析暨届高三数学复习建议
四川省2019年高考数学试题分析暨2019届高三数学复习建议
2019年四川高考数学试题，遵循2010年普通高等学校招生全国统一考试大纲的规定：
贯彻了有利于中学数学教学与有利于高校选拔人才相结合的原则，贯彻了“总体保持稳定，深化能力立意，积极改革创新”的指导思想。
试卷立足现行高中教材，在注重对基础知识和基本方法全面考查的同时，又突出了对数学思想、数学核心能力进行综合考查。
其难易程度与2019年高考数学试题相比基本一致，是一套较好的高考数学试题，试题具有以下鲜明特点。
1.突出重点、考查全面
2010年数学试题所考查知识点大致分布如下表：
内容代数三角向量立体几何解析几何概率统计极限导数
文科40分17分5分21分31分22分14分
理科40分17分5分21分26分17分24分
2019年数学试题所考查的知识点大致分布如下表：
内容代数三角向量立体几何解析几何概率统计极限导数
文科48分17分4分26分21分22分12分
理科48分17分4分26分26分17分12分
2019年数学试题所考查的知识点大致分布如下：
内容代数三角向量立体几何解析几何概率统计极限导数
文科44分22分5分27分28分12分12分
理科40分27分0分26分26分12分19分
2019年数学试题所考查的知识点大致分布如下：
内容代数三角向量立体几何解析几何概率统计极限导数
文科41分21分8分26分30分17分8分
理科40分21分8分26分30分17分7分
《考试大纲》对理科数学列出138个考点，文科数学列出122个考点，2010年的文理科试题均考查了其中的近70﹪，具有较大的覆盖面，虽然如此试题并不刻意追求知识点的平均分布，而是做到重点知识重点考查，如《考试大纲》所指出的函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、圆锥曲线、立体几何、概率与统计、导数等是中学数学的主干知识，重点章节，其中的核心模块概率与统计、三角函数、立体几何、圆锥曲线、数列、函数与导数在今年文理科试卷中解答题部分均得到较高的体现，考虑到新增内容起着中学数学与高等数学的衔接作用，加大这部分的考查有助于考生进入高校继续学习，因此今年的文理科试题仍然保持对新增内容：
向量，线性规划，概率统计、函数极限与连续、导数等内容的重点考查。
其中理科对新增内容考查了53分，占总分的35.3﹪，文科考查48分，占总分的32﹪。
2.紧扣教材、重视基础、试题不偏不怪
试题注重了考查考生对“三基”的掌握情况与系统掌握教材相结合的原则，重视基础，紧扣教材，回归课本，无偏题怪题，这对中学数学教学有很好的导向作用，让战斗在高三第一线的师生从满天飞舞的资料与题海中解脱出来，做到求真务实，抓纲务本。
整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型。
如文科试卷的第1、2、3、4、7、9、11、13、14、15、17、18
（1）、19
（1）、20
（1）、21
（1）、22
（1）共82分的试题是由教材中的例、习题改编，分值占54.7﹪；理科试卷中的1、2、3、6、10、12、13、14、15、17、18
（1）、19
（1）、20
（1）共70分的题由教材中的例、习题改编，分值占到41.7﹪，所有这些题目考查的都是现行高中教材中最基本且重要的数学知识，所用到的方法也是通性通法，这样考查既体现了高考的公平公正，也对中学数学教学和复习回归课本，重视对基础知识的掌握起到好的导向作用，尤其值得一提的是文理科试卷的第19题
（1）小问考查了教材上一个公式的推导，这在近几年的高考试题中难得一见，这对引导中学数学教学用好教材有一定的助推作用。
3.突出对数学思想和数学能力的考查
通览今年的文理科数学试卷，数学思想贯穿始终。
整个试卷对函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论思想、化归与整合思想，以及思维能力，运算能力，空间想向能力都作了全方位的考查。
其中理科的第2、4、6、9、14、15、20，文科的第2、3、5、7、10、14、15、21考查了数形结合思想；理科的第4、7、8、20、21、22
（1），文科的第5、8、20
（1）、21、22
（1）考查了函数与方程思想；理科的第12、18（3）、22，文科的11、22考查了等价转化思想；理科的10、17、21（3），文科的10、17、20
（2）考查了分类讨论思想。
4.稳中求变化、变化中求创新
今年的数学试题在题型结构、题量、各题型分值与内容分布等方面仍然与往年一样保持了稳定，但在平稳中求变化，变化中求创新是今年试卷又一大特点，新颖之处体现如下：
（1）试题新
今年的文理科试题有不少原创与新编的好题，这些题目素材大都源于教材，但并不是对原题的照搬，而是通过提炼，综合改造编制成一个全新的题目。
如理11文12通过考查球面距离来考查学生的空间想象能力，题干简洁明了，图形美观漂亮，构思精妙独到，考查学生综合运用知识的能力十分深刻，是难得一见的好题；理12文11这个题源于教材，但又构建出新的形式，深化了原题，让学生似曾相识但又必须经过认真分析思考才能解答；理科21题，所给递推关系新颖别致，这在近年来数列考查方面难得一见，属创新题，题意虽简单明了，但入手实不容易，本题充分考查学生综合解决问题的能力，需要学生具有很高的思维能力；再如文理22题，将函数、导数、数列、不等式有机结合，设问上层层递进，回避过去考查这方面知识的老套路，将函数的单调性，极值最值融入到试题中考查，这需要考生从问题实际出发，自己设计解题思路，沉着冷静，找到正确的方法，本题具有很强的选拔功能。
（2）考法新
文理第19题（I）①小问考查教材中一个三角公式的推导，这是继92年全国高考试卷考查异面直线间距离公式推导后，再次出现在18年后的四川卷中，命题人用意明显，取向正确，重视知识的发生发展过程符合现在的新课改精神，正是这道题一石激起千层浪，可谓是突出奇兵，又有点剑走偏锋的味道，给老师很多思考与议论的空间.
5.充分注重文、理科试卷的差异
今年的试卷仍然考虑到中学文理科学生的实际情况，从以下四个方面注重了文理科试卷的差异与联系：
（1）文科试卷有61分的试题与理科完全不同，这些试题与理科相应试题要求要低；
（2）相同的试题，在文科试卷中位置放后；
（3）在姊妹题11、13、17、18、22题中，题干基本内容相同，但设问不同；
（4）试题考虑到文科考生也有少数数学学科的优生，在第11、12、22题的压轴性上文理基本保持一致，这是符合考试说明的，考试说明中有为了有利于高校选拔人才，在压轴题上文理不能有太大差异，尤其不把文科的压轴题降低为中档题来考查。
总之，今年的试题别具匠心，不落俗套，耐人寻味，无超纲之嫌，特色鲜明，能让老师明白如何教，学生如何学，是一份难得的具有良好选拔功能的优秀试题。
二、考生答卷中所反映的主要问题
1.双基掌握不好，具体表现在：
（1）概念不清搞清概念是学好数学的基础。
但从答卷来看，一些考生尤其是差生对基本数学概念掌握混乱。
（2）公式记错一些考生对公式掌握混乱记忆不清，用向量法求点面距离时不知道用哪个向量的模作分母，数列项公式、求和公式乱写乱用等。
（3）知识理解不准确如异面直线公垂线不强调相交，反函数不注明定义域，二面角的平面角确定不来等。
2.数学素养差
具体表现在：
（1）计算能力差方法知道运算出错，如文理18题的解答中，点的坐标法向量的坐标求错。
（2）表达能力差有许多考生在解答过程中，书写潦草，格式不规范，表述不清楚，尤其在文21理20的解答中，各种计算错误五花八门。
（3）推理证明能力差数学推理证明需要思维严谨，步步有据，但很多考生在这方面表现很差，突出表现在用几何法证明异面直线的公垂线以及寻找计算二面角的平面角时，考生推理无据，乱证垂直，线面关系不清，逻辑混乱，牵强附会，证明19
（1）时循环论证等
（4）思维能力薄弱如14题不能将其化成最简结果，在建立空间直角坐标系时不叙述理由，概率题中求什么问题的概率交代不清，文科20
（2），22
（2），理科21（3），22
（1）不能正确进行分类讨论等。
3.阅读能力差、审题能力不强。
具体表现在：
读题看题审题不仔细，不全面，粗心大意漏掉条件，如：
理科17
（1）算成甲、乙、丙都没有中奖的概率，分布列随机变量只考虑到1、2、3，文科17
（2）将至少有两人没中奖算成至少1人没中奖或仅有1人没中奖，求三棱锥M-OBC的体积求成M-ABC的体积，文科20题将前3项和为6，列式成前6项和为3等。
学生还有很多这样那样的错误，在此不一一累述，总之考生所犯各种错误均是因为其数学基本功不够、运算能力差、书写不规范、基本技能基本方法掌握不好、思维能力薄弱、解题能力不到位导致的。
三、教学建议
根据今年的高考试题特点以及考生在试卷中存在的主要问题，建议教学中要狠抓以下几点：
1.重视基础
要坚持最基础的知识才是最有用的知识的原则，狠抓基础知识、基本思想方法的教学。
在平时分析问题和练习中要注意提炼题目中的基础知识和数学思想方法在其中所起的地位和作用，不要为做题而做题。
重视课本，注意知识的发生发展过程，充分挖掘课本中每一个概念的内涵及与它相关联的知识之间的联系，形成知识网络，而不是孤立的知识点。
2.注意分层教学
今年的试题虽然有一些送分的基础题，但仍应根据学生实际，合理进行分层教学和题目讲练中的易、中、难三个层次，因为做好容易题是解决中档题的基础，应遵循学生学习中的认知规律。
3.要在重点内容上狠下功夫
对于重点内容：
函数、导数、不等式、数列、直线与平面的位置关系、直线与圆锥曲线、数学思想方法这些重点内容要充分保证教学时间，狠下功夫、下足力气、练到位、评到位、反思到位、效果到位，而对其他非重点内容要把握好度，复习中不要平均用力、面面俱到。
4.抓好评讲练
精选典型问题，不做偏题、怪题。
评讲要多在为什么这样做？
怎样思考上下功夫，要以题目为载体，在思维层面上提炼具有辐射、导向功能的结论、方法、思路和数学思想。
在立足于基本问题时，适当拓展，真正把题目做透、做活，在此基础上，还要充分重视对学生运算能力的培养，尤其是较复杂的数值运算和抽象字母运算的训练，要经常接触，不能轻视，只有这样在平时的训练中积累经验、提升心理素质，在考场上才能调动有方，操作有序，运算自如，一次成功。
5.适当接触一些新情境问题
在认真研究教材、《考试说明》的基础上，在平时教学中适当接触一些新情境问题，如新概念、新运算、新方法，有利于培养学生阅读理解和分析问题、解决问题的能力。
6.抓方法渗透
要求自觉主动地运用数学思想方法去解题是2010年高考四川卷的显著特点，因此，在复习教学中，要全面渗透各种数学思想方法，通过适当数量的题组训练，加深学生对各种思想方法的体会与提升，使学生在学习中自觉养成运用的习惯。
7.抓规范答题
每年的高考题，均要求答题过程要科学、规范，每一细节都应表达准确清楚。
这种严谨、细致的答题作风，只有通过平时的训练才能养成。
复习中，一方面学生要养成规范的答题习惯，老师也要象高考题那样，一丝不苟地批改好学生做的每一道题；在讲题时，要规范地板书，做出表率，象高考题制定的标准答案那样要求、规范学生。
四、四川省统计数据
2010年文科1卷平均35.46，2卷29.6，总平65.06，难度系数0.43；理科1卷平均39.55，2卷38.46，总平78.01，难度系数0.52。
2009年文科1卷平均36.29，2卷27.96，总平64.25，难度系数0.43；理科1卷平均43.32，2卷39.03，总平82.35，难度系数0.55。
Ⅱ.2011届高考备考复习建议
一、重视对《考试大纲》的研究，并结合对近年高考题的认真分析，深化对高考题的认识，明确考试要求
（一）认真研究《考试大纲》
2010年《考试大纲》强调了对数学基础的考查。
仔细研读《考试大纲》可以发现：
不仅在“考试性质”、“考试要求”（即对数学高考提出的总体的命题要求）中强调了对数学基础知识的考查，并且在对具体的“考试内容”的考查要求中突出了对数学基础知识的考查。
《考试大纲》对数学知识的要求分为三个层次：
了解、理解和掌握、灵活和综合运用。
在《考试大纲》对具体内容的要求中，对第三层次的要求占的比重相当小，仅出现以下几处：
“掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用”、“能根据条件熟练地求出直线方程”、“熟记导数的基本公式”（但实际高考命题中，属第三层次的要求还不止这些），其它的则是“了解”和“理解和掌握”。
由此可见《考试大纲》强调了对数学基础知识的考查。
《考试大纲》不仅强调对数学基础知识的考查，还“要求既全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体。
”通过仔细研读《考试大纲》对“考试内容”的具体要求，不难发现，其重点内容集中在函数、导数、三角函数、向量、概率与统计、数列、不等式、直线与平面、直线与圆锥曲线等是支撑数学学科知识体系的重点内容呢。
1.数学高考的命题原则
数学高考的命题始终贯彻“在考查基础知识的同时，注重对能力考查”的原则。
在考查学生基础知识、基本技能、基本数学思想和方法的同时，注重对思维能力、运算能力、空间想象能力、应用数学的实践能力和创新意识的考查，兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题的层次性，合理调控综合程度，试卷不刻意追求知识的覆盖面。
2.数学高考的试卷难度分析
考纲对试题易、中、难的比例有了更明确规定，以容易题、中档题为试题主体。
试卷易、中、难三种试题比例为3：
5：
2，其中选择题3：
2：
1，填空题2：
1：
1，解答题中档题和难题的比例为1：
1。
《考试大纲》适当加大了文理卷的差异度。
从中可以看出考纲力求文理科学生高考成绩平衡，文科试题将“适当拉大试题难度的分布区间，试题难度的起点应降低，而试题难度的终点应与理科相同”。
近几年来，选择题、填空题和解答题前半部分的试题难度比较低，具体表现为重视教材内容的考查，减少运算量、加大思维量，降低试题的入口难度，突出对归纳和探究能力的考查。
3.《考试大纲》的数学基础知识、思想方法考查要求分析
（1）函数和导数
函数是高中数学内容的知识主干，是高考考查的重点，函数问题多与导数相结合，主要体现在解答题的考查。
选择题和填空题主要涉及函数的性质、图象、函数的极限、连续性及导数的几何意义。
突出考查函数与方程的思想、有限与无限的思想，数形结合的思想。
（2）数列
数列是高中数学的重要内容之一。
由于数列是高等数学的重要基础，历年来，高考把数列作为重要内容加以考查，文科试卷侧重于基础知识和基本方法，命题以等差、等比数列为主，以具体思维、演绎思维为主；理科试卷则侧重于理性思维，命题设计以一般数列，如Sn与an关系，递推数列，考查以抽象思维和逻辑思维为主。
（3）不等式
不等式的考查往往以选择题、填空题形式出现，不仅考查解不等式的同解变形，更突出体现数形结合的思想和特殊与一般的思想，即特殊值法。
解不等式或证明不等式以解答题出现，往往与函数、导数、数列相综合，对能力考查的要求比较高。
（4）三角函数
高考中三角函数作为函数的一种具体形式，重点考查图象和性质，尤其是正弦型、余弦型、正切型的图象和性质。
同时，与解三角形相结合，主要涉及方程的思想和换元法。
（5）立体几何
立体几何是考查空间想象能力、逻辑推理能力的重要内容。
注意传统几何法，现代的向量法相互补充。
（6）解析几何
解析几何重点考查利用代数的方法研究几何问题，突出考查函数与方程的思想、数形结合的思想、特殊与一般的思想。
（7）概率
概率、统计是高中数学的重要内容，是考查实践能力的重要素材，以应用题形式呈现，体现或然与必然的数学思想方法考查。
4.研究考纲、突出重点、构建知识网络
《考试大纲》是高考命题的依据，因而也是备考的准绳，特别是在冲刺阶段，时间更加宝贵，考纲的指导意义更加明显。
弄清个知识点的要求层次，对于要重点复习、重点突破，同时注意各部分知识各自的纵向联系，和它们之间各部分知识之间的横向联系，理清知识脉络，抓住主干知识，构建知识网络。
避免走弯路，把有限的时间用来突出重点，优化备考。
通过对本书的研读，可以看出：
《考试大纲》对函数、数列、不等式、平面向量、圆锥曲线、概率、立体几何、导数都提出了较高要求，因而这些内容是高考命题的重点和热点，高考将以这些内容为背景来命制解答题。
对这些重点内容必须重点突破，其策略是：
总结规律，明确步骤；强化训练，熟练掌握。
通过研究，可以发现高考命题的一个秘诀：
简单题+简单题=难题。
由《考试大纲》所提供的命题原则——“在知识网络交汇点设计试题”，以及本书中对样题的剖析可知，现在的高考考查能力的题目，往往是几个重点和热点考点内容的有机组合，其实它们都是来自简单题，在备考过程中，再不需要“深挖洞”——在各个考点上向深度、难度进军，而只需“广积粮”——系统掌握知识，再综合运用它们；在解题时，心中也会底气十足，再也不会一遇难题就胆怯。
现在的高考注重“在知识的交汇处命题”，因此我们必须从整体上把握这些知识，只有构建一个完整的知识网络体系、才能综合运用这些知识。
如何构建知识网络体系呢？
不妨从如下几个方面入手：
①对照《考试大纲》，理清考点。
《考试大纲》中有哪些考点？
每个考点的要求属于哪个层次？
如何运用这些考点解题？
考查这些考点的常用题型有哪些？
②对照《考试大纲》，理清联系；为了理清联系，可以画出知识网络图表，在画图表时，应注意各考点之间有哪些联系？
哪些属于知识的交汇处。
③对照《考试大纲》，理清方法：
熟练掌握常用的重要的数学思想方法，有意识地对基本思想和方法进行归纳和总结，掌握科学的方法。
只有这样，才能在高考中灵活并综合运用所学的知识。
（二）近几年数学高考试题的设计创新
数学科的考试在命题实践中，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，在试题命制和试卷结构中进行了新的创新设计。
注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，增加应用性和能力型的试题，融知识、方法、思想、能力于一体，全面检测考生的数学素养。
注重展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，发挥数学科考试的区分选拔功能和对中学数学教学的积极的导向作用。
1．重新认识数学知识的考查价值
数学知识是命题处理的对象，更是进行其他考查的基础和载体，随着数学教育改革的发展，数学科高考对基础知识进行了重新的认识和定位。
在新课程试卷的命制中强调基础的更新，减少对单纯知识、公式的记忆要求，降低对运算复杂性、技巧性的要求。
如三角函数公式记忆，指数、对数、幂计算的要求，复数的概念和计算等。
知识的作用的重新定位，就是将评价的内容更多地指向有价值的数学任务和数学活动，将纯粹的数学运算被置于问题解决的过程之中。
运用这些知识载体，不但考查学生的数学知识，而且获得理性思维的培育和美感的熏陶。
发挥知识的整体功能。
实行标准化考试的前几年对扩大覆盖中学数学知识点的刻意追求有积极意义，但因为比较注重对单个知识点的考查，不利于真实反映考生掌握知识的整体水平。
现代脑科学研究表明，人脑系统是非加和性的，不能把系统简单地视为其构成部分的迭加，这意味着通过把各知识点和能力点的测试结果迭加起来作为对人的知识和能力整体功能的衡量并不科学。
有的学生对各个知识点的学习都比较完整，但解决问题，特别是解决综合性问题的能力较差，原因在于其知识的整体系统的结构不合理，较低层次的知识点和能力难以组成较高层次的功能系统，各知识点和能力在系统中不能形成耦合和互补的关系，因而一旦解决问题受阻，就无法另辟蹊径。
数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识在各自的发展过程中的纵向联系和各部分知识之间的横向联系。
要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试题的结构框架。
对数学基础知识的考查，要求全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点知识，考查时要保持较高的比例，构成数学试题的主体。
注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面。
从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使考查达到必要的深度。
在具体的情境中，在解决问题的全过程中，考查学生理解概念的水平和运用技能的程度。
对概念、公式、法则的考查更多地关注对知识系统的意义，结合具体的材料对其实际内容的理解和在理解基础上的应用。
能够在几个概念之间比较它们的异同，认识不同概念所对应的不同的解释，能够将概念从文字表述转换成符号的、图形的表述，培养和考查数学交流能力。
2．考查理性思维，揭示数学本质
现代的高校数学教育，其意义不仅仅是学习一种专业的工具，更是一种人的理性的思维品格和思辨能力的培育，是聪明智慧的启迪，是潜在能动性和创造性的开发，其价值远非传统的数学教育观所能相提并论的。
高考数学命题融入教育改革的理念，努力发挥数学科本身的特点，拓宽题材，多样化，宽角度、多视点地考查数学素养；有层次地考查数学理性思维，特别是通过解题过程对思维能力进行深入的考查。
高考数学科提出“以能力立意命题”，正是为了更好地考查数学思想，促进考生数学理性思维的发展。
因此，要加强如何更好地考查数学思想的研究，特别是要研究试题解题过程的思维方法，注意考查不同思维方法的试题的协调和匹配，使考生的数学理性思维能力得到较全面的考查。
数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛应用于相关学科和社会生活中。
因此，对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度。
考查时要从学科整体意义和思想价值立意，要有明确的目的，加强针对性，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度。
3．加强创新意识考查，实现选拔功能
高考对创新意识的考查，主要是要求考生不仅仅能理解一些概念、定义，掌握一些定理、公式，更重要的是能够应用这些知识和方法解决数学中和现实生活中的比较新颖的问题。
数学教育的目的不单单是让学生掌握一些知识，也不是把每个人都培养成数学家，而是把数学作为材料和工具，通过数学的学习和训练，在知识和方法的应用中提高综合能力和基本素质，形成科学的世界观和方法论。
因此，高考对创新意识的考查其意义已超出了数学学习，对提高学习和工作能力，对今后的人生都有重要的意义。
具有创新性质的思维活动在解题中表现为：
（1）能从题目的条件中提取有用的信息，从题目的求解（或求证）中确定所需要的信息；
（2）能在记忆系统里储存的数学信息中提取有关的信息，作为解决本题的依据，推动
（1）中信息的延伸；
（3）将
（1），
（2）中获得的信息联系起来，进行加工、组合，主要是通过分析和综合，一方面从已知到未知，另一方面从未知到已知，寻找正反两个方向的知识“衔接点”——一个固有的或确定的数学关系；
（4）将（3）中的思维过程整理，形成一个从条件到结论的行动序列。
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