高三数学一轮复习优质学案直线平面垂直的判定与性质.docx

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高三数学一轮复习优质学案直线平面垂直的判定与性质

1．直线与平面垂直

（1）定义

如果直线l与平面α内的________直线都垂直，则直线l与平面α垂直．

（2）判定定理与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

一条直线与一个平面内的两条________直线都垂直，则该直线与此平面垂直

⇒l⊥α

性质定理

垂直于同一个平面的两条直线________

⇒a∥b

2.直线和平面所成的角

（1）定义

平面的一条斜线和________________________所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是________，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是________的角．

（2）范围：

『0，

』．

3．平面与平面垂直

（1）二面角的有关概念

①二面角：

从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面角；

②二面角的平面角：

在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作________________的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．

（2）平面和平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是________________，就说这两个平面互相垂直．

（3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

一个平面过另一个平面的______，则这两个平面垂直

⇒α⊥β

性质定理

两个平面垂直，则一个平面内垂直于________的直线与另一个平面垂直

⇒l⊥α

『知识拓展』

重要结论：

（1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

（2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线（证明线线垂直的一个重要方法）．

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．

（4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．

『思考辨析』

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.（　　）

（2）垂直于同一个平面的两平面平行．（　　）

（3）直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.（　　）

（4）若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.（　　）

（5）若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．（　　）

1．（教材改编）下列命题中不正确的是（　　）

A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β

B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ

2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

3．（2017·宝鸡质检）对于四面体ABCD，给出下列四个命题：

①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；

②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；

③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；

④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.

其中为真命题的是（　　）

A．①②B．②③C．②④D．①④

4．（2016·济南模拟）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，G为MC的中点．则下列结论中不正确的是（　　）

A．MC⊥AN

B．GB∥平面AMN

C．平面CMN⊥平面AMN

D．平面DCM∥平面ABN

5．（教材改编）在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.

（1）若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．

（2）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．

题型一　直线与平面垂直的判定与性质

例1　（2016·全国甲卷改编）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝

，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．

OD′＝

.

证明：

D′H⊥平面ABCD.

思维升华　证明线面垂直的常用方法及关键

（1）证明直线和平面垂直的常用方法有：

①判定定理；②垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）；③面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；④面面垂直的性质．

（2）证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．

　（2015·江苏）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.

求证：

（1）DE∥平面AA1C1C；

（2）BC1⊥AB1.

题型二　平面与平面垂直的判定与性质

例2　如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．

（1）求证：

CE∥平面PAD；

（2）求证：

平面EFG⊥平面EMN.

引申探究

1．在本例条件下，证明：

平面EMN⊥平面PAC.

2．在本例条件下，证明：

平面EFG∥平面PAC.

思维升华　

（1）判定面面垂直的方法

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理（a⊥β，a⊂α⇒α⊥β）．

（2）在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．

在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．

　（2016·江苏）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.

求证：

（1）直线DE∥平面A1C1F；

（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.

题型三　垂直关系中的探索性问题

例3　如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.

（1）设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：

DF∥a；

（2）若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？

若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．

思维升华　同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．

　（2016·北京东城区模拟）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点．AB＝BC，AC＝2，AA1＝

.

（1）求证：

B1C∥平面A1BM；

（2）求证：

AC1⊥平面A1BM；

（3）在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？

如果存在，求此时

的值；如果不存在，请说明理由．

17．立体几何证明问题中的转化思想

典例　（12分）如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．

求证：

（1）AN∥平面A1MK；

（2）平面A1B1C⊥平面A1MK.

思想方法指导　

（1）线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；

（2）线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；

（3）证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．

规范解答：

提醒：

完成作业　第八章　§8.5

答案精析

基础知识　自主学习

知识梳理

1．

（1）任意一条　

（2）相交　a，b⊂α　a∩b＝O　l⊥a　l⊥b　平行　a⊥α　b⊥α

2．

（1）它在平面上的射影　直角　0°

3．

（1）①两个半平面　②垂直于棱

（2）直二面角　（3）垂线　交线

思考辨析

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）×　（5）√

考点自测

1．A　2.A　3.D　4.C　5.

（1）外　

（2）垂

题型分类　深度剖析

例1　证明　由已知得AC⊥BD，AD＝CD.

又由AE＝CF得

＝

，故AC∥EF.

因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.

由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝

＝4.

由EF∥AC得

＝

＝

.

所以OH＝1，D′H＝DH＝3.

于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.

又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF⊂平面ABCD，

所以D′H⊥平面ABCD.

跟踪训练1　证明　

（1）由题意知，E为B1C的中点，

又D为AB1的中点，因此DE∥AC.

又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，

所以DE∥平面AA1C1C.

（2）因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC.

因为AC⊂平面ABC，

所以AC⊥CC1.

又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，

BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，

所以AC⊥平面BCC1B1.

又因为BC1⊂平面BCC1B1，

所以BC1⊥AC.

因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，

因此BC1⊥B1C.

因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，

所以BC1⊥平面B1AC.

又因为AB1⊂平面B1AC，

所以BC1⊥AB1.

例2　证明　

（1）取PA的中点H，连接EH，DH.

又E为PB的中点，

所以EH綊

AB.

又CD綊

AB，

所以EH綊CD.

所以四边形DCEH是平行四边形，

所以CE∥DH.

又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD.

所以CE∥平面PAD.

（2）因为E、F分别为PB、AB的中点，

所以EF∥PA.

又因为AB⊥PA，

所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.

又因为EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，

FG⊂平面EFG.

所以AB⊥平面EFG.

又因为M，N分别为PD，PC的中点，

所以MN∥CD，又AB∥CD，

所以MN∥AB，

所以MN⊥平面EFG.

又因为MN⊂平面EMN，

所以平面EFG⊥平面EMN.

引申探究

1．证明　因为AB⊥PA，AB⊥AC，

且PA∩AC＝A，所以AB⊥平面PAC.

又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，

所以MN⊥平面PAC.

又MN⊂平面EMN，

所以平面EMN⊥平面PAC.

2．证明　因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，

所以EF∥PA，FG∥AC，

又EF⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，

所以EF∥平面PAC.

同理，FG∥平面PAC.

又EF∩FG＝F，

所以平面EFG∥平面PAC.

跟踪训练2　证明　

（1）由已知，

DE为△ABC的中位线，

∴DE∥AC，

又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，

∴DE∥A1C1，

又∵DE⊄平面A1C1F，

A1C1⊂平面A1C1F，

∴DE∥平面A1C1F.

（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，

AA1⊥平面A1B1C1，

∴AA1⊥A1C1，

又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，

∴A1C1⊥平面ABB1A1，

∵B1D⊂平面ABB1A1，

∴A1C1⊥B1D，

又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，

∴B1D⊥平面A1C1F，

又∵B1D⊂平面B1DE，

∴平面B1DE⊥平面A1C1F.

例3　

（1）证明　在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF⊄平面ACE，∴DF∥平面ACE.

又∵DF⊂平面DEF，

平面ACE∩平面DEF＝a，

∴DF∥a.

（2）解　线段BE上存在点G，且BG＝

BE，使得平面DFG⊥平面CDE.

证明如下：

取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，

连接GD，GF，

∵CF＝EF，

∴GF⊥CE.

在三棱台ABC－DEF中，

AB⊥BC⇒DE⊥EF.

由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.

又CF∩EF＝F，∴DE⊥平面CBEF，

∴DE⊥GF.

⇒GF⊥平面CDE.

又GF⊂平面DFG，∴平面DFG⊥平面CDE.

此时，如平面图所示，延长CB，FG交于点H，

∵O为CE的中点，EF＝CF＝2BC，

由平面几何知识易证△HOC≌△FOE，

∴HB＝BC＝

EF.

由△HGB∽△FGE可知

＝

，

即BG＝

BE.

跟踪训练3　

（1）证明　连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM，

在△B1AC中，

∵M，O分别为AC，AB1中点，

∴OM∥B1C，

又∵OM⊂平面A1BM，

B1C⊄平面A1BM，

∴B1C∥平面A1BM.

（2）证明　∵侧棱AA1⊥底面ABC，

BM⊂平面ABC，

∴AA1⊥BM，

又∵M为棱AC中点，AB＝BC，

∴BM⊥AC.

∵AA1∩AC＝A，∴BM⊥平面ACC1A1，

∴BM⊥AC1.

∵AC＝2，∴AM＝1.

又∵AA1＝

，

∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，

tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝

.

∴∠AC1C＝∠A1MA，

即∠AC1C＋∠C1AC＝

∠A1MA＋∠C1AC＝90°，

∴A1M⊥AC1.

∵BM∩A1M＝M，∴AC1⊥平面A1BM.

（3）解　当点N为BB1中点，

即

＝

时，

平面AC1N⊥平面AA1C1C.

证明如下：

设AC1中点为D，连接DM，DN.

∵D，M分别为AC1，AC中点，

∴DM∥CC1，且DM＝

CC1.

又∵N为BB1中点，

∴DM∥BN，且DM＝BN，

∴四边形BNDM为平行四边形，

∴BM∥DN，

∵BM⊥平面ACC1A1，

∴DN⊥平面ACC1A1.

又∵DN⊂平面AC1N，

∴平面AC1N⊥平面AA1C1C.

思想与方法系列

典例　证明　

（1）如图所示，连接NK.

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，

∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，

∴AA1∥DD1，

AA1＝DD1，

C1D1∥CD，C1D1＝CD.『2分』

∵N，K分别为CD，C1D1的中点，

∴DN∥D1K，DN＝D1K，

∴四边形DD1KN为平行四边形，『3分』

∴KN∥DD1，KN＝DD1，

∴AA1∥KN，AA1＝KN，

∴四边形AA1KN为平行四边形，

∴AN∥A1K.『4分』

∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，

∴AN∥平面A1MK.『6分』

（2）如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，

AB＝C1D1.

∵M，K分别为AB，C1D1的中点，

∴BM∥C1K，BM＝C1K，

∴四边形BC1KM为平行四边形，

∴MK∥BC1.『8分』

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，

A1B1⊥平面BB1C1C，

BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.

∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.

∵四边形BB1C1C为正方形，

∴BC1⊥B1C.『10分』

∴MK⊥B1C.

∵A1B1⊂平面A1B1C，

B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，

∴MK⊥平面A1B1C.

又∵MK⊂平面A1MK，

∴平面A1B1C⊥平面A1MK.『12分』