复习点直线平面.docx

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复习点直线平面

第一部分点、直线、平面

§3-1、3-2投影知识

1、中心投影法

1、平行投影法（正投影法斜投影法）

§4-1点的投影

一个形体是由多个侧面所围成，各侧面又相交于多条侧棱，各侧棱又相交于多各顶点，那么只要把这些点的投影画出来，再连成线就可作出一个形体的投影。

所以，点是形体的最基本元素。

且点的投影规律是线、面、体的投影基础。

一、点在三投影面体系中的投影

1、点的直角坐标与三面投影的关系

Aa”=a’az=aay=XA=A到W面的距离

Aa’=aax=a”az=YA=A到V面的距离

Aa=a’ax=a”ay=ZA=A到H面的距离

2、三投影面体系中点的投影规律

（1）a’a在同一条投影连线上，垂直于X轴。

这两个投影都反映A点的X坐标。

a’a⊥X轴

（2）a’a”在同一条投影连线上，垂直于Z轴。

这两个投影都反映A点的Z坐标。

a’a”⊥Z轴

（3）点的水平投影到X轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离。

这两个投影都反映A点的Y坐标。

aax=a”az

二、两点的相对位置

1、对于两个点在空间就有相对位置的问题了。

（1）对V面投影时，靠近V面的为后，远离V面的为前。

H、W面投影可反映出其前后关系。

（2）对H面投影时，靠近H面的为下，远离H面的为上。

V、W面投影可反映出其上下关系。

（3）对W面投影时，靠近W面的为右，远离W面的为左。

V、H面投影可反映出其左右关系。

三、重影点

当空间两点处于特殊位置，即两点恰好在同一条投影线上，此时两点在同一投影面上的投影重合，这时称两点为该投影面的重影点。

四、投影轴和投影面上点的投影

小结：

1、作空间一个点的投影①利用坐标值②利用点到投影面的距离③利用两点间的相对位置。

2、点的投影方向：

自上向下、自前向后、自左向右

3、判断重影点的可见性：

前遮后、上遮下、左遮右

§4-2、4-3、4-5直线的投影

一、直线的投影图

从几何学知道，直线是无限长的。

直线的空间位置可由线上任意两点的位置确定，即两点定一线，在次要作直线投影只要作两个点的投影即可。

二、各类直线的投影特性

1、投影面平行线

特点：

平行某一投影面，倾斜其他投影面。

分类：

正平线水平线侧平线

投影特性：

在所平行的投影面上的投影反映实长和直线对投影面的倾角，在其他投影面的投影为直线，且平行相应的投影轴。

2、投影面垂直线

特点：

垂直某一投影面，平行其他投影面。

分类：

正垂线铅垂线侧垂线

投影特性：

在所垂直的投影面上的投影积聚为一点，在其他投影面的投影为反映实长的直线。

3、一般位置直线

特点：

倾斜于三个投影面。

投影特性：

a、三面投影均为直线，但比实长短。

b、三面投影均倾斜于对应的投影轴，但与投影轴的夹角不反映直线对投影面的倾角。

三、直线上点的投影

投影特性：

点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上。

定理：

点分割直线，其线段之比投影后仍保持不变。

四、两直线的相对位置

1、平行两直线

投影特性：

三面投影均相互平行

2、相交两直线

投影特性：

三面投影均相互相交，且交点符合点的投影特性。

3、交叉两直线

投影特性：

不符合平行或相交两直线的投影特性。

五、直两直线的投影（直角定理）

定理：

空间相互垂直的两直线，垂当其中一条平行于投影面时，那么两垂直在该投影面上的投影呈直角。

例题

例1．已知线段AB的投影，试将AB分成2﹕1两段，求分点C的投影c、c。

AB为一般位置直线，利用定比定理求解。

例2．已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。

AB为侧平线（已知ab、a’b’和c），利用定比定理或求侧面投影。

例3．判断点K是否在直线上。

例4．判断图中两条直线是否平行。

（可用定比定理）

例5．过C点作水平线CD与AB相交。

例6．判断图中两条直线相对位置。

（可用定比定理）

例7．作图判断ex6-1中两直线重影点的可见性。

例8．过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V面。

平面

§4-6平面的表示法：

1、不在同一直线上的三个点

2、一直线和直线外的一点

3、相交两直线

4、平行两直线

5、任意平面图形

6、平面迹线：

平面与投影面的交线。

各类平面的投影特性

1、投影面垂直面

特点：

垂直某一投影面，倾斜其它投影面。

分类：

正垂面铅垂面侧垂面

投影特性：

在所垂直的投影面上的投影积聚为直线，并反映倾角，在其他投影面的投影为平面类似形。

2、投影面平行面

特点：

平行某一投影面，垂直其它投影面。

分类：

正平面水平面侧平面

投影特性：

在所平行的投影面上的投影反映实形，在其他投影面上积聚为直线。

3、一般位置平面

特点：

倾斜于三个投影面。

投影特性：

三面投影均为平面图形，但面积缩小。

§4-7平面上的点和直线

一、点和直线在平面上的几何条件

如果空间有一个点或直线是在平面上，那么它们必须满足点和直线在平面上的几何条件。

1、点在平面上的几何条件

点如果在平面上，则该点必在平面的上的一条直线上。

2、直线在平面上的几何条件

直线如果在平面上，则该直线必过平面上的两个点或过一个点而平行于平面上的一条直线。

二、利用几何条件可解决的问题

1、在面上取点取线

2、判断点或线是否在平面上

3、在平面上作特殊位置的直线平面上

a、作投影面平行线

b、作最大斜度线

作投影面平行线应具备两个条件：

1、符合直线在平面上的几何条件

2、符合投影面平行线的投影特性

三、特殊位置平面上的点和直线

特殊位置的平面包括：

投影面垂直面、投影面平行面，这些平面可用平面迹线表示。

1、点和直线在特殊位置平面上的投影

（1）点和直线在投影面垂直面上

（2）点和直线在投影面平行面上

2、过点和直线作特殊位置平面

（1）过点作面

（2）过线作面

直线与平面、平面与平面的相对位置

直线与平面、平面与平面的相对位置有三种情况：

平行、垂直、相交这部分内容将讨论当直线与平面处于不同的相对位置时，它们的投影情况。

另外直线与平面及平面与平面当处与不同相对位置时，又可分为两种情况。

一种为特殊情况，另一种为一般情况。

特殊情况是指：

当直线与平面，平面与平面平行、垂直或相交时，其中至少有一个几何元素是垂直于投影面的。

此时几何元素会在投影面上投影有积聚性，这样利于解题。

当两几何元素对投影面都处于一般位置时，为一般情况。

§5-1平行问题

一、直线与平面平行

由几何学已知，一直线如平行于平面上的任一直线，则它必平行于该平面。

这可作为直线与平面平行的几何条件。

1、利用几何条件可解决的问题：

（1）作已知平面的平行线

（2）作已知直线的平行面

（3）判断直线与平面是否平行

2、在特殊情况下：

当平面为投影面垂直面时，则与该平面平行的直线，其一个投影应平行于该平面的有积聚性的投影。

二、平面与平面平行

1、几何条件：

一个平面如果有两条相交直线分别与另一平面上的两相交直线平行，则这两平面相互平行。

2、利用几何条件可解决的问题

（1）可判断两平面是否平行

（2）可过点作一平面与已知平面平行

3、特殊情况：

当两特殊位置平面平行时，它们有积聚性的同面投影应平行。

§5-2垂直问题

一、直线与平面垂直

对这个问题我们可分两种情况进行讨论。

1、直线垂直于一般位置平面

几何条件：

如果一直线垂直于一平面，必垂直于该平面上的两相交直线，而不管该直线是否通过两相交直线的交点。

由于平面是一般位置的那么平面上的两相交直线就可能是一般位置直线（或投影面平行线等），而与它们垂直的直线也可能是一般位置直线，这样它们的垂直关系很难在投影图上表示。

我们可以假设，如果平面上相交的两直线分别为正平线和水平线（也可为侧平线，关键是看哪个投影面），那么根据直角定理，与平面垂直的直线，在正面投影会垂直于正平线的正面投影；在水平面投影会垂直于水平线的水平投影。

（1）、由以上得出直线与一般位置平面垂直的投影特性：

直线的正面投影垂直于这个平面上的正平线的正面投影；直线的水平投影垂直于这个平面上的水平线的水平投影；直线的侧面投影垂直于这个平面上的侧平线的侧面投影。

（2）、利用投影特性可解决的问题

1、作已知面的垂线

2、作已知线的垂面

3、求点到平面的距离

4、判断平面与直线是否垂直

直线垂直于特殊位置平面

投影特性：

（1）、直线垂直于投影面垂直面时，它必然是一条投影面平行线，平行于该平面所垂直的投影面。

（2）、直线垂直于投影面平行面时，它必然是一条投影面垂直线，垂直于该平面所平行的投影面。

利用这个投影特性可解决的问题：

可求点到平面的距离

二、两平面垂直

几何条件：

如直线垂直于一平面，则包含这直线的一切平面都垂直于该平面。

由几何条件可分三种情况进行讨论。

两特殊位置平面垂直

投影特性：

两平面的有积聚性的投影，在同面投影上相互垂直。

§5-3相交问题

（一）直线与平面相交

直线与平面相交必产生交点，因此解决问题的关键是求交点并判断可见性。

对这个问题我们可分特殊情况和一般情况来讨论。

1、特殊情况：

2、一般情况：

（二）平面与平面相交

平面与平面相交必产生交线，因此解决问题的关键是求交线并判断可见性。

对这个问题我们可分特殊情况和一般情况来讨论。

1、特殊情况：

2、一般情况：

§5-4投影变换

如何使几何元素与投影面的相对位置处于有利解题位置的方法称为投影变换。

一、投影变换的方法

投影变换的方法，通常采用两种方法即：

变换投影面法（换面法）和旋转法，我们一般用换面法，在此只给同学们介绍换面法。

二、变换投影面法（换面法）

引言：

对于特殊位置的直线和平面，它们的投影具有显实性和积聚性，能够通过投影直接表达出空间平面和直线的实形或实长以及与投影面的真实夹角，但对于一般位置的直线和平面则不能。

为了解决这一问题可以通过变换投影面的方法，使一般位置的直线和平面处于特殊位置，从而可以利用特殊位置直线和平面的投影特性进行解题。

（强调体会特殊位置直线和平面的投影特性）

（一）、新投影面的选择原则

1.必须对空间物体处于最有利的解题位置：

平行或垂直。

2.必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的新两投影体系。

（二）、点的换面规律

1．点的新投影和与它对应的原投影的连线，必垂直于新投影轴。

2．点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。

aa1X1a1ax1=aax

（三）、换面法解决的六个问题

1.把一般位置直线变换成投影面平行线（一次换面）；

换面的目的：

求实长和倾角

作图的关键：

让新的投影轴平行于直线的一个投影。

2、把投影面平行线变换成投影面垂线（一次换面）；

作图的关键：

让新的投影轴垂直于直线反应实长的投影。

3、把一般位置直线变换成投影面垂线（两次换面）；

换面的目的：

有利于解题

作图的关键：

先把一般位置直线变换成投影面平行线，再经过二次换面

把该直线变换成投影面垂直线。

4、把一般位置平面变换成投影面垂直面（作一平行线，一次换面）；

换面的目的：

有利于解题

作图的关键：

在平面内找投影面平行线。

5、把投影面垂直面变换成投影面平行面（一次换面）；

换面的目的：

求平面实形

作图的关键：

新的投影轴应平行于平面有积聚性的投影。

6、把一般位置直线变换成投影面平行面（两次换面）；

换面的目的：

求平面实形。

作图的关键：

先把一般位置平面变换成投影面垂直面，再经过二次换面

把该平面变换成投影面平行面。

。

（四）、换面法的应用

1、求距离问题

2、求角度问题

3、解决其他几何作图问题

例题

例1：

求点C到直线AB的距离，并求垂足D。

例2：

已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度为MN，且AB为水平线，求CD及MN的投影。

第六章曲线、曲面