初中竞赛几何必做100题高难度版.docx
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初中竞赛几何必做100题高难度版
初中竞赛几何必做100题
第一题：
已知：
ABC外接于⊙O，BAC60，AEBC，CFAB，AE、CF相交
于点H，点D为弧BC的中点，连接HD、AD.
求证：
AHD为等腰三角形.
第二题：
如图，F为正方形ABCD边CD上一点，连接AC、AF，延长AF交AC的平行线DE于
点E，连接CE,且AC=AE.
求证：
CECF.
第三题：
ABC中，ABAC，BAC20，BDCADBC.
第四题：
已知：
求证：
ABC中，D为AC边的中点，A3C，ADB45.
ABBC.
第五题：
如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点E，BAC50，ABD60，
CBD20，CAD30，ADB40，求ACD.
A
第六题：
ABC30，
ADC60，ADDC，求证：
AB2BC2BD2.
第七题：
如图，PC切⊙O于C，AC为圆的直径，PEF为⊙O的割线，AE、AF与直线PO相
交于B、D.
求证：
四边形ABCD为平行四边形.
E
P
第八题：
已知：
在求证：
ABC中，ABAC，A80，OBC10，OCA20.
ABOB.
第九题：
ABCD中，OADODA15，求证：
OBC为正三角形.
第十题：
已知：
正方形ABCD中，
接PC.
求证：
PCBC.
E、F为AD、DC的中点，连接BE、AF，相交于点P，连
第十一题：
如图，ACB与ADE都是等腰直角三角形，
交BE于F，求证：
CFD90.
A
ADEACB90，CDF45，DF
D
F
第十二题：
已知：
ABC中，CBA2CAB，CBA的角平分线BD与CAB的角平分线AD相
交于点D，且BCAD.
求证：
ACB60.
第十三题：
ABC中，ACBC，
C100，AD平分CAB.
求证：
ADCDAB.
第十四题：
已知：
ABC中，ABBC，D是AC的中点，过D作DEBC于E，连接AE，取DE
中点F，连接BF.
求证：
AEBF.
第十五题：
ABC中，A24，C30，D为AC上一点，ABCD，连接
ABBCBDAC.
第十六题：
已知：
的中点
求证：
ABCD与A1B1C1D1均为正方形，A2、B2、C2、D2分别为AA1、BB1、CC1、DD1
A2B2C2D2为正方形.
第十七题：
45，
如图，在ABC三边上，向外做三角形ABR、BCP、CAQ，使CBPCAQ
BCPACQ30，ABRBAR15.
求证：
RQ与RP垂直且相等.
第十八题：
如图，已知AD是⊙O的直径，D是BC中点，AB、AC交⊙O于点E、F，EM、FM
是⊙O的切线，EM、FM相交于点M，连接DM.
求证：
DMBC.
第十九题：
如图，三角形ABC内接于⊙O，两条高AD、BE交于点H，连接AO、OH。
若AH2，
BD3，CD1，求三角形AOH面积.
如图，DAC2x，ACB4x，ABC3x，ADBC，求BAD.
已知：
在RtABC中，ABC90，D为AC上一点，E是BD的中点，12.
求证：
ADB2ABD.
B
已知正方形ABCD，P是CD上的一点，以AB为直径的圆⊙O交PA、PB于E、F，
射线DE、CF交于点M.
求证：
点M在⊙O上.
DCBDBA30
已知，点D是ABC内一定点，且有DAC
求证：
ABC是正三角形.
如图，过正方形的顶点A的直线交BC、CD于M、N，DM与BN交于点L，BPBN，
交DM于点P.
求证：
（1）CLMN；
（2）MONBPM.
已知：
在正方形ABCD中，E是CD上一点，AE交BD于点G，交BC的延长线于点F，
连接OF，交CD于点H，连接GH.
求证：
（1）当且仅当E为CD中点时，OGGHAO；
CFCH
已知：
ABCD与AEFG均为正方形，连接CF，取CF的中点M，连接DM、ME.
求证：
MDE为等腰直角三角形.
ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且ABAD，AOOC。
请你猜想
ABBO与BCOD的数量关系，并证明你的结论.
ABDC中，ABC
ACB58，CAD48，BCD30，求BDA
在ABC中，D是AB的中点，DAC2DCA，DCB30，求B的度数.
在四边形
ABCD中，ADCD，ACBD，ABAC，求BEC的度数.
D
ACB90，CAB60，CD
NCB8，求EMD的度数.
68，
如图，ABC中，BDAC于D，E为BD上一点，且ABD38，CBD
BCE14，DCE8，求DAE的度数.
N
CD为⊙O的直径，A、B为半圆上两点，DE为过点D的切线，AB交DE于E，连接
OE，交CB于M，交AC于N.
求证：
ONOM
78，求
如图，四边形ABCD中，BCCD，BCA21，CAD39，CDA
BAC的度数.
AD
20，求
如图，四边形ABCD中，ADCD，BAC10，ABD50，ACD
CBD的度数.
如图，BDCE，G、H为BC、DE中点，ABAC，FDFE，BACDFE.求证：
AF//GH
G
F
C
B
如图，在正方形ABCD中，有任意四点E、F、G、H，且EF4、GH3，四边形
EFGH的面积为5，求正方形ABCD的面积.
2C3B，2BCAB，求A.
在ABC中，ABC60，D是BC边上一点，DCAB，DAB21，求C.
在ABC中，AB
BDE2CED
求证：
BD2CD.
已知，FC是正方形ABCD和正方形AEFG上的点F、C的连线，点H是FC的中点，
连接EH、DH。
求证：
EHDH且EHDH.
第四十二题：
70
CADDAB10，CBD40，DBA20，求证：
CDB
第四十三题：
如图，E、F分别是圆内接四边形
求证：
AFDBFD
D
ADBC的对角线AB、CD的中点，若DEBCEB.
A
EFO
已知：
ABAC，ADB60，BCE30
求证：
BABE
ABC，A为直角，I为内心，BD、CE分别为两内角平分线。
IBC的面积为S。
求四边形BCDE的面积.
ABACCDDE，且BEBD，求EBD的度数.
如图，ABC≌CDE，DABC90，点B在CD上，AB、CE交于F，过B
作BGAC于G，交CE于H，连接AH并延长，交CD于I，设ABx，BCy。
（xy）
BC
求：
（1）AH的长（用x，y表示）；
（2）的值.
IC
在ABC中，ADBC，P是ABC外接圆O上一点，点P关于AB、AC的对称点为
点E、F，连接EF与AD交于点H，求证：
H是ABC的垂心.
OB.
如图，点D、E分别在AC、AB上，BD与CE交于点O，ADAE，OC
求证：
ACAB
（寻求直接证法）
以任意四边形四条边为基础向外做正方形，连接相对两正方形的中心。
求
证：
这两条线段垂直且相等.
H
F
O
I
A
N
B
P
D
C
M
如图，
ABC为一普通三角形，求证：
AB2PCAC2PBBC（AP2PBPC）
ABC中，
BEPB
ADAE；若
D、E分别在AC、AB上，BD、CE交于P，
CDPC，求证：
ABAC.（直接证明）
如图，O、I分别为ABC的外心和内心，AD是BC边上的高，I在线段OD上，
ABAC，求证：
ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径.
如图，三角形BDC和三角形BEA都是等腰直角三角形，BDCBEA90，连接AC，
取AC中点F，连接EF、DF、DE，证明三角形DEF是等腰直角三角形.
ABC中，CACB，D、E分别在
垂线分别交AB于G、H，若ACB
CA、CB上，并且CECD，过C、D作AE的
90,求证：
BGGH.
PBAPCA，D是BC中点，过点P分别作
F，求证：
D、E、F三点共线.
已知，ABC，BCA90，过C作AB的垂线，垂足为D点，设X是线段CD内部的
一个点，K在线段AX上，满足BKBC；类似地，L在线段BX上，满足ALAC。
令M为AL与BK的交点，证明：
MKML
100，DC平分
C，CAE20，求CDE
P，AD和BC的延长线交于点
ABCD内接于圆，其边AB、DC的延长线交于点
Q，过Q作该圆的两条切线，切点分别为E、F，求证：
P、E、F三点共线.
O
D
C
F
B
E
在锐角ABC中，
CQAE、CP
求证：
PMAN
AC、BC切内接圆于点E、D，在AC、BC上取点Q、P，使得
BD，BQ交AP于点M，把AP与圆的交点离A近的记作点N.
D是AB的中点，DAC2DCA，DCB30，求
B
如图，MN为ABC边BC的中垂线，MN交ABC的外接圆于M、N，交BC于D，
过D做AN的平行线，P为该平行线上一点，过P作直线与PM垂直交ABC于E、F.
求证：
PEPF
ABCD是正方形，CE=EF，CEF90，连接AF，G是AF中点，连接GD、
GE。
求证：
GDGE且GDGE.
CD
设点I、H分别为锐角ABC的内心和垂心，点B1、C1为两边中点，射线B1I交边
AB于点B2（B2B），射线C1I交AC的延长线于点C2，B2C2与BC相交于K，
A1为BHC的外心.
求证：
A、I、A1三点共线的充要条件是BKB2和CKC2面积相等.
ABC的内切圆I切AB、BC、AC于点D、E、F，直线EF与AI、BI
M、N、K.
DMKEDNKF
四边形ABCD内接于⊙O，两对角线交于H两组对边分别相交于P、Q.
求证：
H为OPQ的垂心
AB
AC，BAC80，PBC20，
PCB40，求APB的大小.
过圆外一点A作圆的切线AC、AD，再作割线AEF，分别经E、F作圆的切线相交于B，
求证：
B、C、D三点共线.
两个半径不等的圆满K1、K2交于A、
B两点，C、
D为K1、K2上两点且ACAD，
EF的中垂线交于P.
CB交⊙K2于F，DB交⊙K1于E，CD、
求证：
CA、PA、
EP构成直角三角形.
如图，ABC中，BAC60，AB2AC，点PABC内，且PA3，PB
PC2，求ABC的面积.
CD2
若ABC为等边三角形，O为其内接圆，D为O上一点，证明或否证：
AD2BD2
为定值.
ABC的内切圆I切BC于D，M是高AH的中点，DM交圆于R，求证：
DR平分
BRC.
A
R
M
I
DB、
如图，正三角形ABC，以A为顶点向外作两个正三角形ADE和AGF，连接EF、
CG，取EF、DB、CG中点M、K、N连接.
求证：
三角形KNM为正三角形.
AFC，G是AF上的点，直线BG、CG分
DFA.
如图，F为三角形ABC内一点，AFB
别交AC、AB于D、E，求证：
EFA
A
F
E
D
如图，ABC中，分别在AB、AC上取点D、E，使得BDCE，连接BE、CD相交于点P，点M
是BC的中点，
BAC的平分线AQ与PM相交于点Q，
DQ与BE交于点K，EQ与CD交于点T.
求证：
（1）四边形
BPCQ是平行四边形
2）
BKBE
CT
SBKQ
CD
3）SABK
SBKQSACTSCTQ
4）
SCTQ
AB
AC
如图，平行四边形ABCD，E、F、H分别为BC、AD、BD中点，G为DC上任一
点，GE、DB延长线交于J点，连接JF，取JF上的点I，使得IH//AD，连接IE，
求证：
IE//FG.
如图，四边形ABCD是圆满内接四边形，对角线ACBD，E是AB、DC交点，F是AD、
LM和EF
BC交点，L、M是AC、BD的中点，连接
LM求证：
EF
如图，四边形ABCD各边都相等，ABC60，FD与BA延长线交于E点，延长BC至
F，连接FA、CE，交点为M，连接CA
求证：
CA2CMCE
M
如图，三角形ABC，D为BC上的点，过B作BEAE，交AD延长线于E，作CFAD
求证：
FGGE.
三角形ABC，O重心，过O作任一直线交AB、AC于X、Y，求证：
OX≤2OY.
X
如图，三角形ABC，以AB、AC为底边向外作等腰ABD和ACE，ADBD，
AECE，DABEAC，F、G、H、I、J分别为AD、AE、EC、BD、BC中点，连接FH、IG、AJ，求证：
FH、IG、AJ三线共点.
如图，A为圆外一点，AB、AC为圆两条切线，切点为B、C，ADE为圆任意一条割
线，交圆于D、E，在圆上取一点F，连接BF使得BF//DE，连接CF交DE于G.求
证：
G为DE中点.
O
D
F
如图，以任意ABC三边分别向内侧作三个正三角形BCD、ABE、ACF，连接AD
并延长与CE相交于G，求证：
F、B、G三点共线.
S，另过A、B分别作圆
如图，AC、BD为圆内两条不平行的弦，分别延长后相交于点
的两条切线PA、PB，相交于P，连接BC、AD，交点为Q，求证：
P、Q、S三点共
线.
P是是圆O外一点，过P点作圆O的两条切线PA、PB，切点为A、B，M为弦AB中
点，C为圆O上优弧AB上的任一点，连接CM、CP.
求证：
ACPBCM.
H是ABC垂心，BDAC，O是ABH外心，点M是AH中点，CM、C作CE//GH，交AH延长线于E.
ODDE.
已知，锐角于点求证：
ABC的外接圆为⊙
O，AD是直径，过点B、C作BC垂线交直线CA、BA
F.
BED
ADF.
第八十八题：
设A、B、C、D是圆上四点，点P满足条件APCBPD，AC与BD交于点E，
⊙PAB与⊙PCD交于P、F两点，求证：
APEFPD.
如图，AB为⊙O的任意一条弦，E、F为AB三等分点，P为劣弧AB上一点，延长PE、
PF分别交⊙O于C、D.
证明；ACBDCDEF.
如图，
求证：
PB、PC交矩形ABCD的对角线于E、F，DE与AF交于点Q.
PQBC.
AEF、CED、BDF垂心分别
D、E、F分别是BC、AC、AB上三点，
求证：
SDEFSGIH.
如图，在ABC中，ABAC，内切圆I与边BC切于点D，AD交内切圆I于另一点E，
圆I的切线EP交BC的延长线于点P，CF//PE，交AD于点F，直线BF交圆I于点
M、N.
证明：
ENPENQ.
ABC
已知，BAC90，AHBC于点H，点J、I、S分别是ABH、ACH、的旁心，S在BC上的射影是E，过J、I分别作JE、IE作垂线交于点G.
求证：
（1）四边形EJGI是正方形；
（2）SG//AE且SGAE.
如图，四边形ABTG、ACDE是正方形，线段BC的中点是K，求证：
TEK的面积
=GDK的面积.
如图，在ABC中，设ABAC，过A作ABC的外接圆的切线l，又以A为圆心，AC
为半径作圆分别交线段AB于D；交直线l于E、F.
求证：
直线DE、DF分别通过ABC的内心与一个旁心.
A
F
E
D
第九十六题：
如图，ABCD是圆内接四边形，AC与BD的交点为P，E是弧AB上一点，连接EP并
延长交DC于点F，点G、H分别在CE，DE的延长线上，满足EAGFAD，
EBHFBC，求证：
C、D、G、H四点共圆.
如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段
AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M.
求证：
若OKMN，则A、B、C、D四点共圆.
如图，圆I内切于圆O，切点为
点M，MN为圆O的直径，过点
共线.
P，圆O的弦AB切圆I于点Q，PQ的延长线交圆O于
P作PA的垂线交AN于点C，求证：
C、I、Q三点
2013年中国西部数学奥林匹克几何题
BOG、
已知PB、PC是⊙O的切线，点G在⊙O上，PGEF，其中OE、OF分别是
COG的角平线.
求证：
EGGF.
第一百题：
设ABC中，BAC60，ATC
BTCCTA120，点
M是BC的中点.
求证：
TATBTC2AM.
第一百零一题：
如图：
O、H是ABC的外心和垂心，D、F分别是BC、AB的中点；P、Q分别在BA、
BC上，且满足DPDH，FQFH.
求证：
PQOH
D
C
F
O
H
B
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