四升五培优数学暑假班讲义.docx
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四升五培优数学暑假班讲义
汉中睿智教育
四年级培优数学
2014暑假班
汉中睿智教育
第1讲算式谜
专题简析：
解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点：
1．认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断；
2．利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字；
3．试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目的；
4．算式谜解出后，要验算一遍。
例1：
在下面的方框中填上合适的数字。
□76
×□□
18□□
□□□□
31□□0
分析：
由积的末尾是0，可推出第二个因数的个位是5；由第二个因数的个位是5，并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑，可推出第一人个因数的百位是3；由第一个因数为376与积为31□□0，可推出第二个因数的十数上是8。
题中别的数字就容易填了。
练习一
在□里填上适当的数。
（1）6□
（2）□2□□（3）285
×35×□6×□□
33□□□041□2□
1□8□□70□□□
□□□□□□□□□□9□□
例2：
在下面方框中填上适合的数字。
分析：
由商的十位是1，以及1与除数的乘积的最高位是1可推知除数的十位是1。
由第一次除后余下的数是1，可推知被除数的十位只可能是7、8、9。
如果是7，除数的个位是0，那么最后必有余数；如果被除数是8，除数的个位就是1，也不能除尽；只有当被除数的十位是9时，除数的个位是2时，商的个位为6，正好除尽。
完整的竖式是：
练习二
在□内填入适当的数字，使下列除法竖式成立。
例3：
下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字？
abcd
×9
dcba
分析：
因为四位数abcd乘9的积是四位数，可知a是1；d和9相乘的积的个位是1，可知d只能是9；因为第二个因数9与第一个因数百位上的数b相乘的积不能进位，所以b只能是0（1已经用过）；再由b=0，可推知c=8。
练习三
求下列各题中每个汉字所代表的数字。
（1）1华罗庚金杯
×3华=罗=庚=
华罗庚金杯1金=杯=
（2）盼望祖国早日统一
×一盼=望=祖=国=
盼盼盼盼盼盼盼盼盼早=日=统=一=
例4：
在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“＋、－”两种运算符号，使其结果等于100（数字的顺序不能改变）。
123456789=100
分析：
先凑出与100比较接近的数，再根据需要把相邻的几个数组成一个数。
比如：
123与100比较接近，所以把前三个数字组成123，后面的数字凑出23就行。
因为45与67相差22，8与9相差1，所以得到一种解法：
123＋45－67＋8－9=100
再比如：
89与100比较接近，78与67正好相差11，所此可得另一种解法：
123＋45－67＋8－9=100
练习四
（1）一个乘号和七个加号添在下面的算式中合适的地方，使其结果等于100（数字的顺序不能改变）。
123456789=100
（2）添上适当的运算符号和括号，使下列等式成立。
12345=100
例5：
在下面的式子里添上括号，使等式成立。
7×9＋12÷3－2=23
分析：
采用逆推法，从最后一步运算开始考虑。
假如最后一步是用前面计算的结果减2，那么前面式子的运算结果应等25，又因为25×3=75，而前面7×9＋12又正好等于75，所以，应给前面两步运算加括号。
（7×9＋12）÷3－2=23
练习五
在下面的式子里添上括号，使等式成立。
88＋33－11÷11×2=5
第2讲变化规律
例1：
两数相减，被减数减少8，要使差减少12，减数应有什么变化？
分析与解答：
被减数减少8，假如减数不变，差也减少8；现在要使差减少12，减数应增加12－8=4。
练习一
1、两数相减，如果被减数增加20，要使差减少12，减数应有什么变化？
2、两数相减，减数减少9，要使差增加16，被减数应有什么变化？
例2：
两个数相除，商是8，余数是20，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？
余数是多少？
分析与解答：
两数相除，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，余数扩大相同的倍数。
所以商是8，余数是20×10=200。
练习二
1、两个数相除，商是9，余数是3。
如果被除数和除数同时扩大120倍，商是多少？
余数是多少？
2、两个数相除，商是8，余数是600。
如果被除数和除数同时缩小100倍，商是多少？
余数是多少？
例3：
两数相乘，积是48。
如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？
分析与解答：
一个因数扩大2倍，积扩大2倍；另一个因数缩小3倍，积缩小3倍。
所以最后的积是48×2÷3=32。
练习三
1、两数相除，商是19。
如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少？
2、两数相除，商是27。
如果被除数扩大12倍，除数扩大6倍，那么商是多少？
例4：
小华在计算两个数相加时，把一个加数个位上的1错误地写成7，把另一个加数十位上的3错误地写成8，所得的和是1996。
原来两个数相加的正确答案是多少？
分析与解答：
根据题意，一个加数个位上的1被写成了7，这样错写一个加数比原来增加了6；另一个加数十位上的3写成8，增加了50。
这样，所得的结果就比原来增加了6+50=56。
所以，原来两数相加的正确答案是：
1996－（6＋56）=1940。
练习四
1、小强在计算加法时，把一个加数十位上的7错写成1，把个位上的8错写成0，所得的和是285。
正确的和是多少？
2、小亮在计算加法时，把一个加数个位上的5错写成3，把另一个加数十位上的3错写成8，所得的和是650。
正确的和是多少？
例5：
王霞在计算题时，由于粗心大意，把被减数个位上的3错写成5，把十位上的6错写成0，这样算得差是189。
正确的差是多少？
分析与解答：
根据题意，被减数个位上的3写成5，因此增加了2；十位上的6写成0，因此减少60。
这样错写的被减数比原来减少了60－2=58。
因为减数不变，根据差的变化规律，正确的差要比错误的差多50。
正确的差是：
189＋58=247。
练习五
1、小刚在做题时，把减数个位上的9错写成6，把十位上的3错写成8，这样算得的差是268。
正确的差是多少？
2、小红在做题时，把被减数十位上的0错写成8，把减数个位上的8错写成3，这样算得的差是632。
正确的差是多少？
第3讲较复杂的和差倍问题
专题简析：
前面我们学习了和倍、差倍、和差三种应用题，有的题目需要通过转化而成为和倍、差倍、和差问题，这类问题叫做复杂的和差倍问题。
解答较复杂的和差倍问题，需要我们从整体上把握住问题的本质，将题目进行合理的转化，从而将较复杂的问题转化为一般和倍、差倍、和差应用题来解决。
例1：
两箱茶叶共重96千克，如果从甲箱取出12千克放入乙箱，那么乙箱的千克数是甲箱的3倍。
两箱原来各有茶叶多少千克？
分析与解答：
由“两箱茶叶共重96千克，如果从甲箱取出12千克放入乙箱，那么乙箱的千克数是甲箱的3倍”可求出现在甲箱中有茶叶96÷（1＋3）=24千克。
由此可求出甲箱原来有茶叶24＋12=36千克，乙箱原来有茶叶96－36=60千克。
练习一
1、甲、乙两人共储蓄2000元，甲取出160元，乙又存入240元，这时甲储蓄的钱数比乙的2倍少20元。
甲、乙两人原来各储蓄多少元？
2、某畜牧场共有绵羊和山羊3561只，后来卖了60只绵羊，又买来山羊100只，现在绵羊的只数比山羊的2倍多1只。
原来绵羊和山羊各有多少只？
例2：
甲、乙、丙三个同学做数学题，已知甲比乙多做5道，丙做的是甲的2倍，比乙多做20道。
他们一共做了多少道数学题？
分析与解答：
甲比乙多5道，丙比乙多20道，丙做的是甲的2倍，因此，20－5=15道是丙的一半，也就是甲做的道数。
丙做了15×2=30道，乙做了15－5=10道。
他们共做了：
（20－5）×（1＋2）＋[（20－5）－5]=55道。
练习二
1、甲、乙、丙三个人合做一批零件，甲比乙多做12个，丙做的比甲的2倍少20个，比乙做的多38个。
这批零件共有多少个？
2、果园里的苹果树是桃树的3倍，管理员每天能给25棵苹果树和15棵桃树洒农药。
几天后，当桃树喷完农药时，苹果树还有140棵没有喷药。
果园里共有多少棵树？
例3：
某工厂一、二、三车间共有工人280人，第一车间比第二车间多10人，第二车间比第三车间多15人。
三个车间各有工人多少人？
分析与解答：
这是多量的和差问题，解题的时候确定的标准不同，解法也就不同。
如果以第二车间的人数为标准，第一车间减少10人，第三车间增加15人，那么280－10＋15=285人是第二车间人数的3倍，由此可以求出第二车间有285÷3=95人，第一车间有95＋10=105人，第三车间有95－15=80人。
练习三
1、一个三层柜台共放皮鞋120双，第一层比第二层多放4双，第二层比第三层多7双，三层各多皮鞋多少双？
2、四个数的和是152，第一个数比第二个数多16，比第三个数多20，比第四个数少12。
第一个数和第四个数是多少？
例4：
两个数相除，商是4，被除数、除数、商的和是124。
被除数和除数各是多少？
分析与解答：
从124里去掉商，是124－4=120，它是除数的1＋4=5倍，除数是120÷5=24，被除数是24×4=94。
练习四
1、两个数相除，商是5，余数是7，被除数、除数、商、余数的和是187，求被除数。
2、两个数相除，商是17，余数是8，被除数、除数、商和余数的和是501，求被除数和除数是多少。
例5：
甲的存款是乙的4倍，如果甲取出110元，乙存入110元，那么乙的存款是甲的3倍。
甲、乙原来各有存款多少元？
分析与解答：
由“乙存入110元，甲取出110元”，可知乙存入110元后相当于甲存款数的3倍，取出110×3=330元；而由甲的存款是乙的4倍，可知甲原有存款的3倍相当于乙原有存款的4×3=12倍，乙现在存入110元后相当于甲原有的12倍，取110×3=330元，所以，330＋110=440元，相当于乙原有的12－1=11倍。
所以，乙原有存款440÷11=40元，甲原有存款40×4=160元。
练习五
1、刘叔叔的存款是李叔叔的6倍，如果刘叔叔取出1100元，李叔叔存入1100元，那么刘叔叔的存款是李叔叔的2倍。
刘叔叔和李叔叔原来各有存款多少元？
2、有大、中、小三筐菠萝，小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装16千克，大筐装的是小筐的4倍。
大、中、小三筐各装菠萝多少千克？
第4讲错中求解
专题简析：
在加、减、乘、除式的计算中，如果粗心大意将算式中的一些运算数或符号抄错，就会导致计算结果发生错误。
这一周，我们就来讨论怎样利用错误的答案求出正确的结论。
例1：
小玲在计算除法时，把除数65写成56，结果得到的商是13，还余52。
正确的商是多少？
分析与解答：
要求出正确的商，必须先求出被除数是多少。
我们可以先抓住错误的得数，求出被除数：
13×56＋52=780。
所以，正确的商是：
780÷65=12。
练习一
1、甜甜和蜜蜜在用同一个数做被除数。
甜甜用12去除，蜜蜜用15去除，甜甜得到的商是32还余6，蜜蜜计算的结果应该是多少？
2、小虎在计算除法时，把被除数1250写成1205，结果得到的商是48，余数是5。
正确的商应该是多少？
例2：
小芳在计算除法时，把除数32错写成320，结果得到商是48。
正确的商应该是多少？
分析与解答：
根据题意，把除数32改成320扩大到原来的10倍，又因为被除数不变，根据商的变化规律，正确的商应该是错误商的10倍。
所以正确的商应该是48×10=480。
练习二
1、小马在计算除法时，把被除数1280误写成12800，得到的商是32。
正确的商应该是多少？
2、小欣在计算除法时，把被除数420错写成240，结果得到商是48。
正确的商应该是多少？
例3：
小冬在计算有余数的除法时，把被除数137错写成173，这样商比原来多了3，而余数正好相同。
正确的商和余数是多少？
分析与解答：
因为被除数137被错写成了173，被除数比原来多了173－137=36，又因为商比原来多了3，而且余数相同，所以除数是36÷3=12。
又由137÷12=11……5，所以余数是5。
练习三
1、李明在计算有余数的除法时，把被除数171错写成117，结果商比原来少了3，而余数正好相同。
求这道除法算式正确的商和余数。
2、刘强在计算有余数的除法时，把被除数137错写成174，结果商比原来多3，余数比原来多1。
求这道除法算式的除数和余数。
例4：
小龙在做两位数乘两位数的题时，把一个因数的个位数字4错当作1，乘得的结果是525，实际应为600。
这两个两位数各是多少？
分析与解答：
一个因数的个位4错当作1，所得的结果比原来少了（4－1）个另一个因数；实际的结果与错误的结果相差600－525=75，75÷3=25，600÷25=24。
所以一个因数是24，另一个因数是25。
练习四
1、小菊做两位数乘两位数的乘法时，把一个因数的个位数字1误写成7，结果得646，实际应为418。
这两个两位数各是多少？
2、李晓在计算两位数乘两位数的题目时，把一个因数十位上的3误当作8，结果得2150，这道题的正确积应是900。
这两个两位数各是多少？
例5：
方方和圆圆做一道乘法式题，方方误将一个因数增加14，计算的积增加了84，圆圆误将另一个因数增加14，积增加了168。
那么，正确的积应是多少？
分析与解答：
由“方方将一个因数增加14，计算结果增加了84”可知另一个因数是84÷14=6；又由“圆圆误将另一个因数增加14，积增加了168”可知，这个因数是168÷14=12。
所以正确的积应是12×6=72。
练习五
1、两个数相乘，如果一个因数增加3，另一个因数不变，那么积增加18；如果一个因数不变，另一个因数减少4，那么积减少200。
原来的积是多少？
2、小敏在做两位数乘两位数的题时，把一个因数的个位数字5误写成3，得出的乘积是552；另一个学生却把这个5写成8，得出的乘积是672。
正确的乘积是多少？
第5讲图形问题
专题简析：
解答有关“图形面积”问题时，应注意以下几点：
1、细心观察，把握图形特点，合理地进行切拼，从而使问题得以顺利地解决；
2、从整体上观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数量关系明朗化。
例1：
人民路小学操场长90米，宽45米。
改造后，长增加10米，宽增加5米。
现在操场面积比原来增加了多少平方米？
分析与解答：
用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积。
操场现在的面积是（90+10）×（45+5）=5000平方米，操场原来的面积是90×45=4050平方米。
所以，现在的面积比原来增加5000－4050=950平方米。
练习一
1、一块长方形铁板，长18分米，宽13分米。
如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米？
2、一块长方形地，长是80米，宽是45米。
如果把宽增加5米，要使面积不变，长应减少多少米？
例2：
一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米；如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米。
这个长方形原来的面积是多少平方米？
分析与解答：
由“宽不变，长增加6米，面积增加54平方米”可知，它的宽为54÷6=9米；由“长不变，宽减少3米，面积减少36平方米”可知，它的长为36÷3=12米。
所以，这个长方形原来的面积是12×9=108平方米。
练习二
1、一个长方形，如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米；如果长不变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米。
这个长方形原来的面积是多少平方米？
2、一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽减少2米，那么它的面积都减少36平方米。
求这个长方形原来的面积。
例3：
下图是一个养禽专业户用一段16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求它的占地面积。
分析与解答：
根据题意，因为一面利用着墙，所以两条长加一条宽等于16米。
而宽是4米，那么长是（16－4）÷2=6米，占地面积是6×4=24平方米。
练习三
1、用56米长的木栏围成长或宽是20米的长方形，其中一边利用围墙，怎样才能使围成的面积最大？
2、用15米长的栅栏沿着围墙围一个种植花草的长方形苗圃，其中一面利用着墙。
如果每边的长度都是整数，怎样才能使围成的面积最大？
例4：
街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是12平方米，中间花坛的面积是多少平方米？
分析与解答：
把水泥路分成四个同样大小的长方形（如下图）。
因此，一个长方形的面积是12÷4=3平方米。
因为水泥路宽1米，所以小长方形的长是3÷1=3米。
从图中可以看出正方形花坛的边长是小长方形长与宽的差，所以小正方形的边长是3－1=2米。
中间花坛的面积是2×2=4平方米。
练习一
1、四个完全相同的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形（如上图），大正方形的面积是64平方米，小正方形的面积是4平方米，长方形的短边是多少米？
2、已知大正方形比小正方形的边长多4厘米，大正方形的面积比小正方形面积大96平方厘米（如下图）。
问大小正方形的面积各是多少？
例5：
一块正方形的钢板，先截去宽5分米的长方形，又截去宽8分米的长方形（如图），面积比原来的正方形减少181平方分米。
原正方形的边长是多少？
分析与解答：
把阴影部分剪下来，并把剪下的两个小长方形拼起来（如图），再被上长、宽分别是8分米、5分米的小长方形，这个拼合成的长方形的面积是181+8×5=221平方分米，长是原来正方形的边长，宽是8+5=13分米。
所以，原来正方形的边长是221÷13=17分米。
练习五
1、一个长方形的木板，如果长减少5分米，宽减少2分米，那么它的面积就减少66平方分米，这时剩下的部分恰好是一个正方形。
求原来长方形的面积。
2、一块正方形的的玻璃，长、宽都截去8厘米后，剩下的正方形比原来少448平方厘米，这块正方形玻璃原来的面积是多大？
第6讲巧妙求和
专题简析：
某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
例1：
刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。
这本书共有多少页？
分析与解答：
根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。
要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。
这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11，因此可以很快得解：
（30＋60）×11÷2=495（页）
想一想：
如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？
练习一
1、胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？
2、丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？
例2：
30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？
分析与解答：
开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。
所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。
练习二
1、有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。
一共有几把锁的钥匙搞乱了？
2、有10只盒子，44只羽毛球。
能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？
例3：
某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。
那么共握了多少次手？
分析与解答：
假设51个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了50次，第二个依次和剩下的人握手，共握了49次，第三个人握了48次。
依次类推，第50个人和剩下的一人握了1次手，这样，他们握手的次数和为：
50＋49＋48＋…＋2＋1=（50＋1）×50÷2=1275（次）
练习三
1、在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。
那么一共握了多少次手？
2、假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？
例4：
求1~99这99个连续自然数的所有数字之和。
分析与解答：
首先应该弄清楚这题是求99个连续自然数的数字之和，而不是求这99个数之和。
为了能方便地解决问题，我们不妨把0算进来（它不影响我们计算数字之和）计算0~99这100个数的数字之和。
这100个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等，是9+9=18，一共有100÷2=50对，所以，1~99这99个连续自然数的所有数字之和是18×50=900。
练习四
1、求1~999这999个连续自然数的所有数字之和。
2、求1~3000这3000个连续自然数的所有数字之和。
第7讲还原问题
专题简析：
已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果，要求原数，这类问题叫做还原问题，还原问题又叫逆运算问题。
解决这类问题通常运用倒推法。
遇到比较复杂的还原问题，可以借助画图和列表来解决这些问题。
例1：
小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁。
小刚的奶奶今年多少岁？
分析与解答：
从最后一个条件恰好是100岁向前推算，扩大10倍后是100岁，没有扩大10倍之前应是100÷10=10岁；加上2之后是10岁，没有加2之前应是10－2=8岁；没有缩小9倍之前应是8×9=72岁；减去7之后是72岁，没有减去7前应是72＋7=79岁。
所以，小刚的奶奶今年是79岁。
练习一
1、在□里填上适当的数。
20×□÷8＋16=26
2、一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘上2，结果得60。
这个数是多少？
例2：
某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台。
这个商场原来有洗衣机多少台？
分析与解答：
从“下午售出剩下的一半还多20台”和“还剩95台”向前倒推，剩下的95台和下午多卖的20台合起来，即95＋20=115台正好是上午售后剩下的一半，那么115×2=230台就是上午售出后剩下的台数。
而230台和10台合起来，即230＋10=240台又正好是总数的一半。
那么，240×2=480台就是原有洗衣机的台数。
练习二
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