高三上学期第二次模拟考试数学理 含答案.docx
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高三上学期第二次模拟考试数学理含答案
2021年高三上学期第二次模拟考试（10月）数学（理）含答案
一、选择题：
（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的）
1.设集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，集合B={x|﹣2＜x＜5}，则A∩B=（）
A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5}
C．{x|x＜﹣1或x＞4}D．{x|﹣2＜x＜5}
2.下列说法错误的是（）
A．“ac2＞bc2”是“a＞b”的充分不必要条件B．若p∨q是假命题，则p∧q是假命题
C．命题“存在x0∈R，≤0”的否定是“对任意的x∈R，2x＞0”
D．命题“对任意的x∈R”，2x＞x2”是真命题
3.指数函数且在上是减函数，则函数在R上的单调性为（）
A.单调递增B.单调递减
C.在上递增，在上递减D.在上递减，在上递增
4.若，则的值为（）
A.B.C.D.
5.已知三个向量，,共线，其中分别是的三条边和三个角，则的形状是（）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
6.函数
的部分图象如图示，将的图象向右平移个单位后得到函数的图像，则的单调递增区间为（）
A.B.C.D.
7.．在中，,则（）
A．B．C．D．
8.定义在R上的函数既是奇函数又是周期函数,若的最小正周期是，且当（）
A.B.C.D.
9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．
B．
C．
D．
10.向量均为单位向量，其夹角为，则命题“”是命题“”的（）条件.
A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件
11.设函数（且）在上既是奇函数又是增函数，则的图象是
ABCD
12．已知是抛物线上的一个动点,是圆上的一个动点,是一个定点,则的最小值为（）
A.3B.4C.5D．
二、填空题：
（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
）
13.定义运算，复数z满足
则复数在复平面对应点为P.
14．已知展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是__________
15.某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：
m），如图所示，垂直放置的标杆BC的高，仰角∠ABE=α，∠ADE=β，该小组已经测得一组，α，β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，据此算出H=m。
16.已知，若不等式对一切恒成立，则的最大值为
17.
三、解答题：
（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）函数
在一个周期内的图象如图，A为最高点，B，C为图象与x轴的交点，且
（1）求的值及的值域；
（2）若的值。
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD‖BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=AD=2，BC=1，CD=．
（Ⅰ）求证：
平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=t•MC，试确定t的值．
19.（本小题满分12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：
（单位：
人）
几何题
代数题
总计
男同学
22
8
30
女同学
8
12
20
总计
30
20
50
（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5至7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6至8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率.
（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为,求得分布列及数学期望.
附：
.
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
20．（本小题满分12分）已知椭圆的焦距为，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，点（0，1），且=，求直线的方程．
21．（本小题满分12分）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，若方程只有一解，求的值；
（3）若对所有都有，求的取值范围．
请考生在第22，23，24三题中任选一题作答．注意：
只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）选修4—1：
几何证明选讲
如图，已知，圆是的外接圆，，是圆的直径．过点作圆的切线交的延长线于点．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若,，求的面积．
23．（本小题满分10分）选修4—4：
坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，，的极坐标分别为，．
（Ⅰ）求直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设为曲线上的动点，求点到直线距离的最大值．
24．（本小题满分10分）选修4—5：
不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若关于的不等式有解，求的取值范围.
xx年下学期高三第二次模拟考试理科数学答案
时间：
120分钟满分：
150分
一、选择题：
（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的）
1.设集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，集合B={x|﹣2＜x＜5}，则A∩B=（B）
A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5}
C．{x|x＜﹣1或x＞4}D．{x|﹣2＜x＜5}
2.下列说法错误的是（D）
A．“ac2＞bc2”是“a＞b”的充分不必要条件B．若p∨q是假命题，则p∧q是假命题
C．命题“存在x0∈R，≤0”的否定是“对任意的x∈R，2x＞0”
D．命题“对任意的x∈R”，2x＞x2”是真命题
3.指数函数且在上是减函数，则函数在R上的单调性为（B）
A.单调递增B.单调递减
C.在上递增，在上递减D.在上递减，在上递增
4.若，则的值为（C）
A.B.C.C.
5.已知三个向量，,共线，其中分别是的三条边和三个角，则的形状是（D）
A．等腰三角形B．等腰直角三角形
C．直角三角形D．等边三角形
6.函数
的部分图象如图示，将的图象向右平移个单位后得到函数的图像，则的单调递增区间为（C）
A.B.C.D.
7.．在中，,则（B）
A．B．C．D．
8.定义在R上的函数既是奇函数又是周期函数,若的最小正周期是，且当时，，则的值为（A）
A.B.C.D.
9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（B）
A．
B．
C．
D．
10.向量均为单位向量，其夹角为，则命题“”是命题“”的（B）条件.
A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件
11.设函数（且）在上既是奇函数又是增函数，则的图象是C
ABCD
12．已知是抛物线上的一个动点,是圆上的一个动点,是一个定点,则的最小值为（A）
A.3B.4C.5D．
二、填空题：
（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
）
13.定义运算，复数z满足
则复数在复平面对应点为P_（2，-1）.
14．已知展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是__________60
15.某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：
m），如图所示，垂直放置的标杆BC的高，仰角∠ABE=α，∠ADE=β，该小组已经测得一组，α，β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，据此算出H=m。
124
16.已知，若不等式对一切恒成立，则的最大值为-0.5
三、解答题：
（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）函数
在一个周期内的图象如图，A为最高点，B，C为图象与x轴的交点，且
（1）求的值及的值域；
（2）若的值。
1.[-2,2]
2.
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD‖BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=AD=2，BC=1，CD=．
（Ⅰ）求证：
平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=t•MC，试确定t的值．
【解答】证明：
（Ⅰ）证法一：
∵AD∥BC，BC=1，AD=2，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，
∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．…
证法二：
AD∥BC，BC=1，AD=2，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．
∵PA=PD，∴PQ⊥AD．
∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．
∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…
（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；
Q（0，0，0），，，．
设M（x，y，z），则，，
∵，
∴，∴
…
在平面MBQ中，，，
∴平面MBQ法向量为．…
∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，
∴，
∴t=3．…
19.（本小题满分12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：
（单位：
人）
几何题
代数题
总计
男同学
22
8
30
女同学
8
12
20
总计
30
20
50
（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5至7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6至8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率.
（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为,求得分布列及数学期望.
附：
.
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
有0.1250.5
20．（本小题满分13分）已知椭圆的焦距为，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，点（0，1），且=，求直线的方程．
20．（Ⅰ）（Ⅱ）或
试题分析：
（Ⅰ）由已知，,解得，,
所以，所以椭圆C的方程为。
……4分
（Ⅱ）由得，
直线与椭圆有两个不同的交点，所以解得。
设A（，），B（，）
则，，……7分
计算
，
所以，A，B中点坐标E（，）,
因为=，所以PE⊥AB，,所以,解得,
经检验，符合题意，所以直线的方程为或。
……12分
21．（本小题满分13分）
已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，若方程只有一解，求的值；
（3）若对所有都有，求的取值范围．
21．【解析】
（1）由已知得，（1分）
当时，，在上是单调增函数．（2分）
当时，由，得，在上是单调增函数；
由，得，在上是单调减函数．
综上可得：
当时，的单调增区间是；
当时，的单调增区间是，单调减区间是．（4分）
（2）由
（1）知，当，时，最小，即，
由方程只有一解，得，又注意到，
所以，解得．（7分）
（3）当时，恒成立，即得恒成立，即得恒成立．令（），即当时，恒成立．又，且，当时等号成立．（9分）
①当时，，所以在上是增函数，故恒成立．
②当时，若，，若，，
所以在上是增函数，故恒成立．（11分）
③当时，方程的正根为，
此时，若，则，故在该区间为减函数．
所以，时，，与时，恒成立矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是．（13分）
请考生在第22，23，24三题中任选一题作答．注意：
只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）选修4—1：
几何证明选讲
如图，已知，圆是的外接圆，，是圆的直径．过点作圆的切线交的延长线于点．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若,，求的面积．
23．（本小题满分10分）选修4—4：
坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，，的极坐标分别为，．
（Ⅰ）求直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设为曲线上的动点，求点到直线距离的最大值．
24．（本小题满分10分）选修4—5：
不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若关于的不等式有解，求的取值范围.
22．选修4—1：
几何证明选讲
解析：
（Ⅰ）连接AE，∵CE是直径，∴，
又，∴，
∵，故，……………………2分
∴，∴
又，∴.……………………5分
（Ⅱ）是的切线，
在和中，，
，，…………7分
设，则根据切割线定理有
，，
.…………10分
23．选修4—4：
坐标系与参数方程
解析：
（Ⅰ）将、化为直角坐标为、，
即、的直角坐标分别为、,
，∴直线的方程为，
即为.……………………5分
（Ⅱ）设，它到直线距离
=，（其中）
∴……………………10分
24．选修4—5：
不等式选讲
解析：
（Ⅰ）当时，，，，此时无解；
当时，，，，此时；当时，，，，
此时；综上所述，不等式的解集为.………5分
（Ⅱ）有解
由（Ⅰ）可知
；当时，；
当时，；当时，，
∴，故.………10分
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